Mối quan hệ không chắc chắn

2

Mối quan hệ không chắc chắn

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. G. ASLAMAZOV

Cơ học lượng tử rất ít được gặp ở trường. Nhưng ngay cả cuộc gặp gỡ ngắn ngủi như vậy cũng để lại ấn tượng sâu sắc - thế giới lượng tử quá khác thường. Và anh ấy muốn bạn ngay lập tức bị mê hoặc bởi môn khoa học này, môn khoa học làm nền tảng cho bức tranh vật lý hiện đại về thế giới. Vậy hãy có thêm một nhân chứng nữa ở đây. Hy vọng rằng đối với một số bạn, nó sẽ dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc hơn về cơ học lượng tử trong tương lai.

1. Động lượng và vị trí

Nhà vật lý người Đức Werner Heisenberg, người đã phát hiện ra mối quan hệ bất định vào năm 1927, đã phát biểu nó như sau: nếu, trong khi nghiên cứu một vật thể, chúng ta có thể xác định hình chiếu của xung động của vật thể với độ bất định Δp_x, thì chúng ta sẽ không thể xác định đồng thời tọa độ tương ứng của vật thể với độ chính xác lớn hơn Δx≈h/Δp_x, trong đó h=h/2π=1.054·10⁻³⁴ Js là hằng số Planck.

Tỷ lệ này ban đầu có vẻ khó hiểu. Xét cho cùng, các định luật Newton, được học ở trường, giúp tìm ra định luật chuyển động của một vật, tức là tính sự phụ thuộc của tọa độ vào thời gian. Biết định luật chuyển động, người ta có thể tìm được hình chiếu của vận tốc v của vật (đạo hàm của tọa độ theo thời gian) và hình chiếu của xung lực p=mv của vật. Hóa ra có thể xác định đồng thời tọa độ và xung lực, và không có mối quan hệ bất định. Thật vậy, trong vật lý cổ điển, mọi thứ diễn ra chính xác theo cách này, nhưng trong thế giới vi mô thì mọi chuyện lại khác (hình 1).

Hãy tưởng tượng rằng bạn cần theo dõi chuyển động của một electron. Làm thế nào để làm điều này? Mắt không phải là một công cụ thích hợp cho những mục đích này. Khả năng phân giải của nó không đủ để làm phẳng electron. Nào, chúng ta hãy nhìn vào electron trong microsopp. Độ phân giải của kính hiển vi được xác định bởi bước sóng của ánh sáng mà việc quan sát được thực hiện. Đối với tổng ánh sáng khả kiến, giá trị này vào khoảng 1000 angstrom (≈10⁻⁵ cm) và các hạt có kích thước nhỏ hơn không được làm mịn trong kính hiển vi. Các nguyên tử có kích thước cỡ một angstrom nên không thể phân biệt được giữa chúng, huống chi là các electron riêng lẻ.

3

Hãy cứ mơ đi.

Giả sử chúng ta có thể chế tạo một microcoppe sử dụng ánh sáng vô hình và sóng điện từ có bước sóng khác nhau, chẳng hạn như tia X hoặc thậm chí là tia γ. Bước sóng càng ngắn thì có thể quan sát được vật thể càng nhỏ. Có vẻ như một γ-microcopp tưởng tượng như vậy sẽ là một công cụ lý tưởng để quan sát điện cực. Với sự trợ giúp của nó, người ta có thể đo tọa độ của electron một cách chính xác như mong muốn. Sự tương ứng của sự không chắc chắn có liên quan gì đến nó?

Chúng ta hãy suy nghĩ sâu hơn về thí nghiệm tưởng tượng này. Để chúng ta có được thông tin về vị trí của electron, ít nhất một lượng tử γ phải được phản xạ từ nó - chất mang phần năng lượng tối thiểu $\hbar \omega^*$). Bước sóng càng ngắn thì tần số bức xạ $\omega$ càng cao và phần năng lượng mà lượng tử có càng lớn. Và động lượng của lượng tử tỉ lệ thuận với năng lượng của nó. Khi va chạm với một electron, lượng tử γ nhất thiết phải truyền một phần động lượng của nó cho nó. Do đó, khi đo tọa độ, chúng ta luôn đưa độ bất định vào động lượng của electron và chúng ta muốn kiểm tra phép đo càng chính xác thì độ bất định sẽ càng lớn. Một phân tích chi tiết về quá trình này cho thấy rằng tích của độ không đảm bảo $\Delta x \times \Delta p_x$ không thể nhỏ hơn hằng số Planck.

Có vẻ như chúng tôi chỉ xem xét một trường hợp đặc biệt, đã nghĩ ra một thiết bị đo tọa độ “xấu” và có thể kiểm tra phép đo của một thành phố một cách chính xác hơn mà không cần “đẩy” electron, không thay đổi trạng thái của nó. Nhưng than ôi, đây không phải là trường hợp.

Những bộ óc giỏi nhất (trong số đó có A. Einstein) đã cố gắng tạo ra một thiết bị có thể đo đồng thời vị trí của một vật thể và động lượng của nó với độ chính xác lớn hơn mức độ tương ứng của độ không chắc chắn cho phép. Nhưng không có cách nào để làm điều này. Điều này đơn giản là không thể thực hiện được. Đây là quy luật của thời đại.

Tất cả điều này có vẻ hơi mơ hồ và khó hiểu ngay lập tức.

*) Năng lượng lượng tử $E = hv = \hbar \omega$, trong đó tần số góc $\omega = 2\pi v$.

Hình 1. Đo tọa độ của hạt với độ chính xác $\Delta x$, xác định độ rộng của khe mà hạt được bán qua, dẫn đến sự không chắc chắn trong hình chiếu tương ứng của xung hạt $\Delta p$.

4

xác định tọa độ ($\Delta x \sim 10^{-8}$ cm - kích thước nguyên tử), thì độ không đảm bảo về tốc độ trở nên tương đương với tốc độ của chính vi hạt. Khi mô tả các electron trong nguyên tử, sự tương ứng của độ không đảm bảo đã hoạt động đầy đủ và không thể bỏ qua. Và điều này dẫn đến những hậu quả đáng ngạc nhiên.

2. Làn sóng tự tin

Trong mô hình nguyên tử đơn giản nhất, mô hình Rutherfor, các electron nằm rải rác trên quỹ đạo xung quanh hạt nhân, tương tự như cách các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời. Nhưng các electron là các hạt được nạp và khi chúng quay, điện trường và từ trường xen kẽ nhất thiết phải được tạo ra - bức xạ xảy ra, dẫn đến mất năng lượng. Đó là lý do tại sao, trong mô hình hành tinh, các electron có số phận độc lập - chúng chắc chắn sẽ rơi vào hạt nhân và nguyên tử sẽ sụp đổ. Nhưng tính ổn định của nguyên tử là một thực tế thực nghiệm đã được xác lập chắc chắn.

Cần phải “sửa” mô hình của Rutherfort, và Niels Bohr đã làm điều này vào năm 1913. Các electron trong mô hình Bohr chỉ được phép quay trong những quỹ đạo nhất định, nơi chúng có những năng lượng xác định nghiêm ngặt. Các electron chỉ có thể thay đổi năng lượng này một cách đột ngột, phát ra và hấp thụ lượng tử khi chuyển từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác. Hành vi “lượng tử” này của các electron trong nguyên tử cho phép chúng ta giải thích rất nhiều điều - đặc biệt là tính ổn định của nguyên tử và quang phổ nguyên tử, nhưng nó mâu thuẫn với sự tương ứng với tính không chắc chắn. Rốt cuộc, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo lượng tử, động lượng và tọa độ có thể được xác định đồng thời, nhưng trong thế giới vi mô, như chúng ta biết hiện nay, điều này không thể xảy ra.

Tôi cũng phải từ bỏ mô hình nguyên tử này. Bức tranh mô tả hành vi của một electron trong nguyên tử hóa ra còn phức tạp hơn nữa.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta có thể xác định được vị trí của một electron trong nguyên tử tại một thời điểm nào đó. Chúng ta có thể nói chính xác anh ấy sẽ ở đâu trong khoảnh khắc tiếp theo không (để chắc chắn, hãy nói trong một giây)? Không, thay đổi tọa độ,

5

mà chúng ta đã quen thuộc trong cuộc sống chung. Theo cách diễn đạt tượng hình của A. Einstein, người ta phải “chơi xúc xắc” để dự đoán hành vi của các electron. Thật không may, chúng tôi không thể làm mà không có điều này.

Vì vậy, trong thế giới vi mô, trạng thái của electron được xác định bằng cách đặt xác suất phát hiện ra nó tại các điểm khác nhau trong không gian. Trong mô hình đo xác suất trực quan của chúng ta sẽ có mật độ vết và người ta có thể tưởng tượng rằng những vết này tạo thành một loại đám mây quyết định đường sống của electron.

Các thiết bị đám mây xác suất như thế nào? Giống như trong cơ học cổ điển, các định luật Newton xác định chuyển động của các vật thể, cơ học lượng tử có phương trình riêng mà từ đó người ta có thể tìm ra “vết bẩn” của một electron trong không gian. Một phương trình như vậy được phát minh vào năm 1925 bởi nhà vật lý ban đầu Erwin Schrödinger (lưu ý, trước khi sự tương ứng của độ không đảm bảo được phát hiện, tức là trước khi lý do làm mờ các hạt vi mô trở nên rõ ràng - điều này xảy ra trong vật lý). Phương trình Schrödinger mô tả các hiện tượng nguyên tử một cách định lượng, chính xác và chi tiết. Nhưng không thể nói về điều này nếu không có toán học phức tạp. Chúng tôi sẽ trình bày ở đây một cách đơn giản đáp số - chúng tôi sẽ hiển thị chân dung chính xác của vết bẩn điện tử trong một số trường hợp.

hình 2 thể hiện sơ đồ một thí nghiệm về nhiễu xạ điện tử và ảnh chụp hệ thống sọc xuất hiện trên màn hình. Hình ảnh hoàn toàn giống với hình ảnh xuất hiện trong quá trình nhiễu xạ ánh sáng. Nếu chúng ta giả sử rằng electron

Hình 3. Tất nhiên, đây không phải là ảnh chụp các electron thật mà là kết quả của các phép tính cho thấy các electron bị “bôi” như thế nào trong nguyên tử. Tính đối xứng của những bức ảnh này quyết định phần lớn tính đối xứng của các phân tử và tinh thể. Người ta thậm chí có thể nói rằng đây là chìa khóa để đánh giá vẻ đẹp của các dạng trật tự của bản chất động vật.

6

các ngai vàng di chuyển theo quỹ đạo thẳng, như trong trường hợp này chúng được cho là theo các định luật vật lý cổ điển, trải nghiệm này không thể giải thích được. Nhưng nếu chúng trải rộng trong không gian thì có thể hiểu được kết quả của thí nghiệm. Hơn nữa, theo kinh nghiệm thì đám mây niềm tin có đặc tính sóng. Chúng ta cũng gặp phải những làn sóng niềm tin trong cuộc sống nói chung - ví dụ như những làn sóng dịch bệnh, tỷ lệ sinh, tính đại diện, v.v. Ở nơi mà biên độ của làn sóng là tối đa thì khả năng xảy ra điều gì đó là lớn nhất. Trong trường hợp của chúng tôi, điện tử có thể được phát hiện một cách chắc chắn nhất ở những nơi này và các khu vực trong ảnh cũng trở nên sáng hơn.

hình 3 cho thấy sự bôi nhọ electron ở các trạng thái khác nhau của nguyên tử hydro, được tìm thấy trên cơ sở các phép tính toán học chính xác. Vùng càng sáng thì càng có nhiều khả năng gặp phải một electron trong đó. Hình chứa đầy hình ảnh về sóng đứng phát sinh khi quá trình sóng xảy ra trong một vùng không gian giới hạn. Dấu chỉ đức tin có thể có những hình thức tuyệt vời biết bao! Và những bức tranh trừu tượng tuyệt đẹp này thực sự xác định hành vi của các electron trong nguyên tử và giải thích, ví dụ, mức năng lượng và mọi thứ liên quan đến liên kết hóa học.

Không đi sâu vào chi tiết về thiết kế của các đám mây, bạn có thể so sánh kích thước đặc trưng của chúng. Nếu đám mây xác suất có kích thước theo thứ tự $\Delta x$, thì sẽ không có ý nghĩa gì khi nói về độ không đảm bảo lớn hơn $\Delta x$ trong tọa độ hạt. Do đó, độ bất định của động lượng hạt $\Delta p_x$ không thể nhỏ hơn $\hbar/\Delta x$. Theo thứ tự độ lớn, biểu thức tương tự cũng xác định giá trị nhỏ nhất của động lượng hạt.

Kích thước của đám mây tin cậy càng nhỏ thì động lượng càng lớn và do đó, chuyển động trong đám mây nội địa hóa càng nhanh. Hóa ra những cân nhắc chung này đủ để ước tính chính xác kích thước của nguyên tử.

Một electron trong nguyên tử có động năng của electron - đây là năng lượng chuyển động của nó. Nó liên quan đến động lượng theo công thức nổi tiếng $E_k = (mv^2/2) = (p^2/2m)$. Thế năng là năng lượng của tương tác Coulomb với hạt nhân. Ngoài ra còn có một công thức cho nó: $E_\pi = (-Ke^2/r)$, trong đó dấu trừ tương ứng với lực hút, $e$ là điện tích của electron, $r$ là khoảng cách từ electron đến hạt nhân, $K$ là hệ số, tùy thuộc vào việc lựa chọn đơn vị đo.

Ở mỗi trạng thái, electron có một giá trị tổng năng lượng nhất định $E$. Trạng thái có năng lượng tối thiểu được gọi là trạng thái cơ bản (không bị kích thích). Hãy ước tính kích thước của nguyên tử ở trạng thái cơ bản.

Để electron trải rộng trên một vùng có kích thước nhất định $\sim r_0$. Sự gắn kết của một electron vào hạt nhân có xu hướng giảm $r_0$, làm “làm sụp đổ” đám mây niềm tin. Điều này tương ứng với sự giảm năng lượng của điện tử, có độ lớn bằng $-Ke^2/r_0$ (khi $r_0$ giảm, mô hình giá trị âm tăng). Nếu electron không có động năng thì nó sẽ rơi vào hạt nhân. Nhưng, như bạn đã biết, động năng của một hạt định xứ luôn là hệ quả của sự tương ứng của độ bất định. Nó “ngăn” electron rơi vào hạt nhân!

Khi $r_0$ giảm, động lượng tối thiểu của hạt $p_0 \sim \hbar/r_0$ tăng và do đó, động năng $\sim \hbar^2/2mr^2$ tăng. Từ điều kiện đạo hàm của tổng năng lượng của hạt bằng 0, ta thu được cực tiểu của nó tương ứng với giá trị $r_0 \sim \hbar^2/Kme^2$.

xác định kích thước đặc trưng của đám mây định vị electron ở trạng thái cơ bản, nghĩa là kích thước của nguyên tử. Giá trị của $(\hbar^2/Kme^2)$ bằng 0,5 angstrom và chúng ta biết thứ tự độ lớn kích thước của các nguyên tử trong thực tế là bao nhiêu. Rõ ràng là sự tương ứng của độ bất định, cho phép hội đồng ước tính kích thước của các nguyên tử, là một trong những định luật sâu sắc nhất của thế giới vi mô.

Đối với các nguyên tử phức tạp, có một khuôn mẫu nhất định, cũng xuất phát từ sự tương ứng của độ không đảm bảo. Công cần thực hiện để sắp xếp một electron khỏi nguyên tử được xác định khá chính xác bằng thực nghiệm (nó bằng năng lượng đốt cháy $E_\pi$).