Соотношение неопределённостей

Квант 1985, №7 с. 2-6 Тег QC66

Соотношение неопределенностей

Доктор физико-математических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

С квантовой механикой в школе стalkиваются совсем немного. Но даже такая краткая встреча оставляет глубокий след — уж слишком необычен квантовый мир. И хочет, чтобы вы сразу увлеклись этой наукой, лежащей в основе современной физической картины мира. Поэтому давайтеUCTром здесь еще одно свидетель. Будем надеяться, что для некоторых из вас оно послужит поводом к более глубокому знакомству с квантовой механикой в будущеем.

Импульс и координата

Немецкий физик Вернер Гейзенберг, открытый соотношение неопределенностей в 1927 году, формулировал его следующим образом: если, исследуя какое-то тело, нам удалось определить проекцию имплуса тела с неопределенностью Δp_x, то мы не смогем одновременно определить соответствующее координату тела с точностью, больше чем Δx≈h/Δp_x, где h=h/2π=1,054·10⁻³⁴ Дж·с — постоянная Планка.

Поначалу это соотношение может вызвать чувство недоумения. Ведь законы Ньютона, которые изучают в школе, позволяют найти закон движения тела, то есть расчитать зависимость координат от времени. Зная закон движения, можно найти проекции скорости тела v (производные от координат по времени) и проекции его имплуса p=mv. Получается, что можно одновременно определить координату и имплусь, и никакого соотношения неопределенностей нет. Действительно, в классической физике все проинсходит именно так, а вот в микромире дело обстоит иначе (рис. 1).

Представьте себе, что надо следить за движением электона. Как это сделать? Глаз — инструмент для этих целей неподходящий. Его разрешающее силы недостаочно, чтобы разгладеть электон. Ну что же, посмотрим на электрон в микросопп. Разрешаюшая способность микросоппа определяется длиной волны света, в котором ведется наблюдание. Для общного видимого света эта величины порядка 1000 ангстрем (≈10⁻⁵ см), и частицы меньше размеров в микросопп не разгладились. Атомы имеют размеры порядка ангстрема, так что найдется различить их, а тем более отделные электроны, не приходит.

No daßйте пофантазируем.

Предположим, что нам удалось сконструировать микрокопп, использующий невидимый свет, а электромагнитные волны с меняющей длиной волны, например рентгеновское или даже γ-излучение. Чем жечече соответствует длина волны, тем меньше объекты можно наблюдаать. Казалось бы, такой воображаемый γ-микрокопп был бы идеальным инструментом для наблюдения за электромом. С его помощью можно было бы измерить координату электрона сколь угодно точно. Причем же тут соответствие неопределенностей?

Вдумаемся глубже в этот мысленный эксперимент. Для того чтобы мы получили информацию о положении электрона, от него должен отражаться хотя бы один γ-квант — носитель минимальной порции энергии $\hbar \omega^*$ ). Чем меньше длина волны, тем больше частота излучения $\omega$ и тем больше порция энергии, которое обладает квант. А импульс кванта пропорционален его энергии. Сталкиваясь с электромом, γ-квант обязательно передает ему часть своего импульса. Таким образом, измеряя координату, мы всегда восемим неопределенность в импульс электрона, и чем точнее мы хотим проверсти измерение, тем больше будет неопределенность. Подробный анализ этого процесса показывает, что произведение неопределенностей $\Delta x \times \Delta p_x$ нельзя сделать меньше, чем постоянная Планка.

Может создаться впечатление, что мы рассмотрели только частный случай, придумали «плохой» прибор для измерения координаты, и можно проверсти измерение города тонше, не «толкая» электрон, не изменя его состояние. Но увы это не так.

Лучшие умы (среди них и А. Эйнштейн) пытались придумать такой прибор, который смог бы измерить координату тела и его импульс одновременно с точностью, большей, чем позволяет соответствие неопределенностей. Но никаку не удалось это сделать. Сделать это просто нельзя. Таков закон приоды.

Все это может показаться несколько туманным, и трудно сразу

*) Энергия кванта $E = hv = \hbar \omega$ , где $\omega = 2\pi v$ угловая частота.

Рис. 1. Измерение координаты частцы с точностью $\Delta x$ , определением шириной щелки, через которой частца продает, приводит к неопределенности соответствующего проекции импульса частцы $\Delta p$ .

определения координаты ( $\Delta x \sim 10^{-8}$ см — атомные размеры), то неопределность в скорости становится сравнимой с самой скоростью микрочастицы. При описании электронов в atomе соответствие неопределностей уже работает в полной мере, с ним не считаться нельзя. И это приводит к удивительным следствиям.

Волны верятности

В простейшей модели atom — модели Резерфора — электроны крупется по орбитам вокруг ядра подбно тому, как планеты движут вокруг Солнца. Но электроны — загруженные частицы, и при их вращении обязательно создаются переменные электрические и магнитные поля — возникает излучение, приводяще к потери энергии. Вот почему в планетарной модели электроны желет независая судьба — они обязательно упадут на ядро, и atom разрушится. Но ведь стабильность atom — это твердо установленный экспериментальный факт.

Нужно было «подправить» модель Резерфора, и сделал это Нильс Бор в 1913 году. Электронам в модели Бора разрешается врашаться только по определенным орбитам, где они обладают строго заданным энергиями. Изменять эту энергию электроны могут только скачком, излучая и поглощая кванты при переходе с одной орбиты на другую. Такое «квантовое» поведение электронов в atomе позволяет объяснить многое — в частиности, устойчивость atom и atomные спектры, но оно противоречит соответствию неопределению. Ведь при движении даже по квантовой орбите импульс и координата могут быть определены одновременно, а в микромире, как мы теперь знаем, такого быть не может.

Пришлось отказаться и от этой модели atom. Картина, описывающая поведение электрона в atomе, оказалась еще более сложной.

Представьте себе, что нам удалось определить положение электрона в atomе в какой-то момент времени. Сможем мы точно сказаать, где он будет в следующий момент (для определенности, скажем, через одну секунд)? Нет, изменение координаты,

которые мы привыкли в общий жизни. По образному выражению А. Эйнштейна, приходится «играть в кости» для того, чтобы предсказывать поведение электронов. Без этого, увы, обойтись нельзя.

Итак, в микромире состояние электрона определяется заданием вероятности его обнаружения в разных точках пространства. В нашей наглядной модели меры вероятности будет плотность меток, и можно представить себе, что эти метки образуют некое подобие облака, определяющего образ жизни электрона.

Как устройства облака вероятности? Аналогично тому, как в классической механике законы Ньютона определяют движения тел, в квантовой механике имеет свое уравнение, из которого можно найти «размазку» электрона в пространстве. Такое уравнение придумал в 1925 году авторский физик Эрвин Шредингер (заметьте, раньше, чем было открыто соответствие неопределенностей, то есть раньше, чем проясилась причина размазки микрочастиц — такое в физике бывают). Уравнение Шредингера количественно, точно и подробно описывает atomные явления. Но расскаазать об этом без сложной математики нельзя. Мы приведем здесь просто ответы — показем точные портреты размазки электрона в некоторых случаях.

На рисунке 2 показана схема опыта по дифракции электронов и фотография системы полос, возникающей на экране. Картина совершенню аналогична той, которая возникнет при дифракции света. Если считать, что электрон

Рис. 3. Это, конечно, не фотография реальных электронов, а результат расчета, показывающих, как «размазаны» электроны в atomе. Симметрия этих картинок во многом определяет симметрию молекул и кристаллов. Можно даже сказаать, что здесь находится ключи к попианию красоты упорядоченных форм животной природы.

троны движутся по прямолинейным траекториям, как им положено в данном случае по законам классической физики, объяснить этот опыт нельзя. А вот если они размазны в пространстве, то результат опыта можно понять. Более того, из опыта следует, что облако верятности обладает волновыми свойствами. С волнами верятности мы встречемся и в общей жизни — например, волны эпидемии, рождаемости, представности и т. п. В том месте, где амплитуда волны максимальная, — наиболее верятность чем-то произойти. В нашем случае в этих местах с наиболее верятностью можно обнаружить электрон, и также области на фотографии получаются более светлими.

На рисунке 3 представлена размазка электрона в различных состояниях atoma водорода, найденная на основе точных математических расчетов. Чем светлее область, тем верятнее встретить в ней электрон. Рисунки наполняют картины стоящих волн, возникших, когда волновой процесс происходит в ограниченной области пространства. Какие удивительные формы могут принимать обласка верятности! И эти красивые абстрактные картики действительно определяют поведение электронов в atome и объясляют, например, уровня энергии и все, что касается химической связи.

Не вдаваться в детали устройства обlakов верятности, можно с помощью соответствия их характерный размер. Если обlakо верятности имеет размер порядка $\Delta x$ , то бессмысленно говорить о большей, чем $\Delta x$ , неопределенности в координате частицы. Следовательно, неопределенность импульса частицы $\Delta p_x$ не может быть меньше, чем $\hbar/\Delta x$ . По порядку величины это же выражение определяет и минимальное значение импульса частицы.

Чем меньше размер обlakа верятности, тем больше становится импульс и, следовательно, тем быстрее движения внутри обlakа локализации. Оказывается, что уже этих общих рассудений достаточно, чтобы правильно оценить размер atoma.

Электрон в atome обладает кинетическая энергия электрона — это энергия его движения. Она связана с импульсом по известной формуле $E_k = (mv^2/2) = (p^2/2m)$ . Потенциальная энергия — это энергия кулоновского взаимодействия с ядром. Для нее также имеется формула: $E_\pi = (-Ke^2/r)$ , где знак минус соответствует притяжению, $e$ — заряд электрона, $r$ — расстояние от электрона до ядра, $K$ — коэффициент, зависимости от выбора единиц измерения.

В каждом состоянии у электрона имеется определенное значение полной энергии $E$ . Состояние с минимальным энергийным называется основным (невозобуденным) состоянием. Оценим размер atoma в основном состоянии.

Пусть электрон размазан в некоторой области размер $\sim r_0$ . Приженение электрона к ядру стремится уменьшить $r_0$ , «схлопнуть» облако верятности. Это соответствует уменьшению энергии электрона, которая по порядку величины равна $-Ke^2/r_0$ (при уменьшении $r_0$ растет модель отрицательной величины). Если бы электрон не обладает кинетической энергейой, то он упал бы на ядро. Но, как вы уже знаете, кинетическая энергия у локализованной частицы всегда является сследствие соответствия неопределенностей. Оно и «мешает» электрону упасть на ядро!

При уменьшении $r_0$ увеличивается минимальный импульс частицы $p_0 \sim \hbar/r_0$ , а, следовательно, растет кинетическая энергия $\sim \hbar^2/2mr^2$ . Из условия равенства нулю производной от полной энергии частицы получаем, что ее минимуму соответствует значению $r_0 \sim \hbar^2/Kme^2$ .

которое определяет характерный размер обlakа локализации электрона в основном состоянии, то есть размер atoma. Величина $(\hbar^2/Kme^2)$ равна 0,5 ангстрем, а мы знаем, что такое по порядку величины размеры atомов в действительности. Ясно, что соответствие неопределенностей, позвольшее правление оценить размер atомов, — один из самых глубоких законов микромира.

Для сложных atomов существует определенная закономерность, также неопределенное вытекающая из соответствия неопределенностей. Экспериментально довольно точно определяется работа, которая надо совершить, чтобы выравить электрон из atoma (она равна энергии инцизации $E_\pi$ ).