Как получаются симметричные неравенства

33

Как получаются симметричные неравенства

Кандидат физico-mатематических наук
С. В. ДВОРЯНИНОВ,
кандидат педагогических наук
Э. А. ЯСИНОВЫЙ

Во многих задачках по алгебре и анализу, на математических олимпiadах, а иногда и на экзаменах встречаются задачи, в которых требуется доказать неравенство с несколькими переменными. Самые простые из них доступны ученикам 5—6 класса. Разнообразным методам их доказательства, общим теоремам о заменательных неравенствах посвящены многочисленные математические статики, обзоры, монографии. Немало статей о неравенствах накопилось и в портфеле нашего «Математического кружка».

В этой заметке рассказывается о теореме Мюрхеда про неравенства, связывающей симметрические многочлены специального вида (суммы всевозможных однолетов с одинаковыми показателями). Эта теорема, доказанная в 1903 году, заменительная не только своей общностью и окончательностью, но и тем, что возникало в связи с ней комбинаторные понятия («диаграммы Юнга» и их сравнение — «мажоризация») столбже естественного появления в различных разделах теоретической и прикладной математики, активно развивающихся в последнее время.

Введение

Мы будем заниматься неравенствами такого типа:

$$x^2 + y^2 \geq 2xy,$$
(1)
$$x^5 + y^5 \geq x^3y^2 + y^3x^2,$$
(2)
$$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx,$$
(3)
$$x^3 + y^3 + z^3 \geq 3xyz,$$
(4)

$$x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 \geq x^2yz + y^2xz + z^2xy,$$
(5)
$$x^4 + y^4 + z^4 + w^4 \geq 4xyzw.$$
(6)

Эти неравенства справедливы при всех неотрицательных значениях входящих в них букв. Для случая двух переменных также неравенства легко доказать группировкой слагаемых и разложением на множители. Доказем, например, что при любых неотрицательных x и y выполено неравенство (2). Для этого рассмотрим разность

$$x^5 + y^5 - x^3y^2 - y^3x^2 = x^3(x^2 - y^2) - y^3(x^2 - y^2) = (x^3 - y^3)(x^2 - y^2).$$

После нее произведение, очевидно, неотрицательно; обе скобки не меньше 0 при $x \geq y \geq 0$ и не больше 0 при $y \geq x \geq 0$.

Волlee трудно допусться до симметричного доказательства неравенства с темя или большим числом переменных. Продемонстрируем общую идею пока на одном примере (5). Здесь удобно, пересечя все члены в левую часть неравенства, умножить их на 2 и собрать в три группы:

$$x^2(y^2 - 2yz + z^2) + y^2(x^2 - 2xz + z^2) + z^2(x^2 - 2xy + y^2) = x^2(y - z)^2 + y^2(x - z)^2 + z^2(x - y)^2 \geq 0.$$

Уражение 1. Постраайте доказать неравенства (1), (3) и (6).

Чтобы научиться доказать всевозможные неравенства такого типа и формулировать общую теорему, необходимо познакомиться с неотрицательными новыми понятиями. Сейчас мы их опишем.

Симметризация одночлена

Пусть у нас есть несколько неотрицательных переменных — для определения, три переменных x, y и z. Кроме того, пусть задан набор из такого же количество целых неотрицательных чисел, $\alpha = (k; j; i)$, где $k \geq j \geq i$; назовем их показателем. Нарисуем таблицу из трех квадратов и в верхнем правом углу каждой напишем соответствующий показатель. В эти квадраты випщем три буквы x, y, z и, глядя на таблицу, напишем одночлен $x^k y^j z^i$. Теперь в ту же таблицу випщем переменные в другом

34

Порядке; получим, например, такой одночлен $y^k x^j z^i$, и так далее (рис. 1).
(Нетрудно соччитать, сколько всего разных одночленов у нас получится. В первый квадрат можно поместить любую из трех букв $x, y, z$ — это дает три варианта; во второй квадрат — любую из двух оставшихся букв, так что всего имеет $3 \cdot 2 = 6$ вариантов.) Затем сложим все написанные одночлены; получившийся многочлен от трех переменных $x, y, z$ обозначим через $T_{(k,j,i)}(x,y,z)$, или $T_u(x,y,z)$, или просто $T_u$ (T — от слова «таблица»). Этот многочлен будет, как говоря, «симметрический» он не меняется при любых перестановках переменных. Степень каждого его одночлена равна $s=k+j+i$.

Например,

$$T_{(2;1;0)}(x, y, z) = x^2 y + y^2 x + z^2 x + x^2 z + z^2 y;$$

$$T_{(3;1;1)}(\dot{x}, y, z) = x^3 y z + y^3 x z + z^3 x y + x^3 z y + y^3 z x + z^3 y x;$$

$$T_{(2;2;2)}(x, y, z) = 6 x^2 y^2 z^2.$$

Последение два примера показывают, что когда среди показателей есть равные, в многочлен $T_u$ можно привести подобные члены и записать его короче.

Если набор показателей $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ состоит из $n$ чисел, то надо нарисовать таблицу с $n$ квадратами и взять $n$ переменных $x_1, x_2, \dots, x_n$. При этом в многочлене $T_u(x_1, \dots, x_n)$ до приведения подобных будет $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ одночленов.

Итак, каждому набору целых чисел $\alpha = (\alpha_1; \alpha_2; \dots; \alpha_n)$, где $\alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \alpha_3 \geqslant \dots \geqslant \alpha_n \geqslant 0$ соответствует многочлен $T_u$ — «симметризация» одночлена с показателями $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$.

Будем каждый такой набор $\alpha$ изображать в виде лесенки из $n$ ступенек: высота каждого ступенки равна соответствующему показателю, ширина — единица. Такую лесенку удобно рисовать на клетчатой бумаге; общее число клеточки — «кирпичей» $1 \times 1$, из которых состоит лесенка, равно $s = \alpha_1 + \dots + \alpha_n$ — степени многочлена $T_u$. На рисунке 2 изображены лесенки, соответствующие некоторым из многочленов $T_u$, встречалось в наших неравенствах.

Научное название этих лесенок, которые оказываются полезными в разных задачах комбинаторики, алгебры и анализа — «диаграммы Юнга» (см. [3]).

Упражнение 2. Напишите многочлены $T_u$ и нарисуйте соответствующие им лесенки для следующих наборов $\alpha$: (3, 2); (3, 2, 1); (3, 3, 0, 0); (4, 1, 1, 0); (5, 0, 0, 0, 0); (1, 1, 1, 1, 1).

Сравнение диаграмм Юнга

На рисунке 3 изображены пары лесенок, соответствующие неравенствам (1)—(6) из введения. Мы видим, что больше ему из двух многочленов соответствует более крупная лесенка: вторую, более пологую, можно получить из первого, связав несколько киппей направо — вниз (см. рис. 4). Сформулируем точнее, что ознакомит здесь слова «более крупная»,— сначала для лесенок из трех ступеней.

Пусть $\alpha = (\alpha_1; \alpha_2; \alpha_3)$ и $\beta = (\beta_1; \beta_2; \beta_3)$ — два набора целых чисел с одинаковой суммой $s = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = \beta_1 + \beta_2 + \beta_3; \alpha_1 \geqslant \alpha_2 \geqslant \alpha_3 \geqslant 0$ и $\beta_1 \geqslant \beta_2 \geqslant \beta_3 \geqslant 0$. Будем считать, что $\alpha > \beta$ (а максимует $\beta$), если выполнен такое условие:

$\beta$ можно получить из $\alpha$, продолжав несколько раз (быть может,

35

Между наборами лишь частичный — бывает, что два набора с одинаковой суммой не сравнимы (см. упражнение 6).

Упражнения

3. Проверьте, что для пар диаграмм Юнга на рис. 3 выполены условия (*) и (**).

4. Докажите, что условия (*) и () эквивалентны (то есть если выполены неравенства (), то набор β можно получить из α «свальванением кирпичей», и обратно).

5. Нарисуйте все лесенки из s=4 кирпичей в порядке убывания, начиная от самой крутоей (4;0;0;0) и кончая самой пологой (1;1;1;1); то же — для лесенок из 5 кирпичей.

6. a) Проверите, что диаграммы Юнга (4;1;1) и (3;3;0) не сравнимы,— ни одна из них не максимрует другую. Есть ли еще такие неравенные наборы с суммой 6?

6. Найдите все такие пары наборов для s=7.

Teорема Мюрхеда

Теперь все готово для формирования основной теоремы.

Пусть α=(α1;α2;…;αn) и β=(β1;β2;…;βn) — два набора показателей с одинаковой суммой. Если α>β, то при всех неоргцательных x1, x2, …,xn
Tα(x1, x2, …, xn)>Tβ(x1, x2, …, xn).
Обратно, если выполено такое неравенство, то α>β.

Мы не будем приводить формульного доказательства теоремы в общем виде (его можно найти в книгах [1], [2] — вторая из них целиком посвящена различным вариантом отношения «максимизации», его применением и обобщениям), вместе этого опшем его основные идеи и продемонстрируем их на конкретных примерах.

Доказательство второй части утверждения теоремы — необходимости условия α>β — вытекает из того простого факта, что из двух многочленов от одной переменной t (с положительным старшим коэффициентами) при больших значениях t больше тот, у которого больше степени (см. упражнение 8).

Доказательство достаточности условия α>β основано на двух идеях. Первая — «свальванние кирпичей»: два набора α>β можно соединить целочкой наборов так, что соседи наборы в этой целочке отличия лишь в двух местах, так что от каждой набора к следующему можно перейти, «свальванный кирпич» с одной ступенки на другую на соответствующей лесенке. Вторая — «симметричная группировка»: разность многочленов для соседи наборов можно записать как сумму (по всем параметровх x, y) одинаковых групп вида
(xp+r yq+p r xq−p r yq+p r)Z
(см. рис. 5), где Z — произведение остальных переменных, соответствующих одинаковым показателям в соседних наборах. Последнее вы-

36

Рис. 5.

разжение раскладывается на множество и как легко видеть, при $p > q$, $r \geq 0$, неотрицательно. (Проверьте!)
Все это станет понятным для тех, кто внимаетно, подробно выписывая все выкладки, разберет несколько примеров. Мы приведем два.

Неравенство между средними арифметическими и средним геометрическим трех неотрицательных чисел

$$\frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} \geq \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3}$$

после переобозначений $a_1 = x^3$, $a_2 = y^3$, $a_3 = z^3$ превращается в неравенство (4), которое уже упоминалось выше. Покажем, как оно доказывает по способу Мирхеда. Глядя на рисунок 4 а), мы видим, что нужно доказать два неравенства:

$$T_{(3; 0; 0)}(x, y, z) \geq \geq T_{(2; 1; 0)}(x, y, z)$$

Рассмотрим первое из них и составим разность

$$R_1 = T_{(3; 0; 0)}(x, y, z) - T_{(2; 1; 0)}(x, y, z) = 2(x^3 + y^3 + z^3) - x^2y - y^2z - z^2x - x^2z - y^2x - z^2y.$$

Сгруппируем теперь слагаемые по четыре по следующему принципу: для каждой пары переменных в одну группу включаются слагаемые, в которых показатели при этих переменных меняются с (3, 0) на (2, 1) (а общий показатель в наборах здесь 0 на последнем месте). Получим

$$R_1 = (y^3 + z^3 - y^2z) + (x^3 + y^3 - x^2y - y^2x) + (z^3 + x^3 - z^2x - x^2z) = (y^2 - z^2)(y - z) + (x^2 - y^2)(x - y) + (z^2 - x^2)(z - x) \geq 0$$

при всех неотрицательных $x, y, z$.

Теперь доказем второе неравенство

$$R_2 = T_{(2; 1; 0)}(x, y, z) - T_{(1; 1; 1)}(x, y, z) = x^2y + y^2z + z^2x + x^2z + y^2z - 6xyz.$$

Здесь в показателях общая единица на втором месте, а (2; 0) превращается в (1, 1). В соответствии с этим, получим:

$$R_2 = x(y^2 + z^2 - 2yz) + y(z^2 + x^2 - 2zx) + z(y^2 + z^2 - 2yz) = x(y - z)^2 + y(z - x)^2 + z(x - y)^2 \geq 0.$$

Это и доказывает неравенство (4).

Решение задачи M762.

В этой задаче (из «Задачника «Кванта» № 9, 1982) требовалось для положительных $a, b, c$ доказать неравенство

$$a + b + c \leq \frac{a^2 + b^2}{2c} + \frac{b^2 + c^2}{2a} + \frac{c^2 + a^2}{2b} \leq \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}.$$

Читатель предложили несколько различных методов их решения. Один из них — способ Мирхеда (к другим мы надемся вернуть в одном из следующих номеров «Кванта»). Умножив данные неравенства на 2abc, мы приведем их к таким «Мирхедовскому» виду:

$$2(a^4 + b^4 + c^4) \geq \geq a^3b + b^3a + b^3c + c^3a + a^3c,$$

$$a^3b + b^3a + b^3c + c^3a + a^3c \geq 2(a^2bc + b^2ac + c^2ab).$$

Соответствующие диаграммы Юнга изображены на рисунке 4, 6. Разность левой и правой части каждой неравенства можно записать, как и выше, в виде суммы трех групп по четыре однолетена. Экономия место, мы запишем только одну группу — две другие получаются заменой буква $a, b, c$ на $b, c, a$ и $c, a, b$.

Доказательство (7):

$$(a^4 + b^4 - a^3b - b^3a) + \dots = (a^3 - b^3)(a - b) + \dots \geq 0.$$

Доказательство (8):

$$(a^3b + c^3b - a^2cb - c^2ab) + \dots = b(a^2 - c^2)(a - c) + \dots \geq 0.$$

Тем самым, задача M762 решена.

Еще несколько упражнений и задач для исследования

7. Выпишите все неравенства Мирхеда для многочленов степени 4.

8. a) Пусть $T_{(a_1; a_2; a_3)}(x, y, z) \geq T_{(\beta_1; \beta_2; \beta_3)}(x, y, z)$ для всех неотрицательных $x, y, z$. Доказите, что тогда выполнен неравенства (**). (У каза ие. Расмотите несколько случаев: $x = y = z = t; x = y = t, z = 1; x = t, y = z = 1$ и сравните степени полученных многочленов от $t$.)

9. Доказите следующее неравенства (для неотрицательных $x, y, z, v, w$):

a) $x^4y^2z + y^4x^2z + z^4yx^2 + x^4z^2y + z^4x^2y \geq 2(x^3y^2z + y^3z^2x + z^3x^2y^2);$

b) $x^5 + y^5 + z^5 \geq x^2y^2z + y^2z^2x + z^2x^2y;$

b) $x^3 + y^3 + z^3 + v^3 \geq xyz + xyv + xzv + yzv.$

10. Выведите из теоремы Мирхеда неравенства для средних арифметических и геометрических $n$ неотрицательных чисел.

Сколько «кирпичей» нужно свалить, чтобы от набора $(n, 0, 0, \dots, 0)$ из $n$ чисел перейти к набору (1, 1, …, 1)?

11. Сформируйте и доказите теорему Мирхеда для любых неотрицательных (не обязательных целых) показателей.

12. Для некоторых наборов показателей (с четной суммой $s$) неравенство, о котором идёт в теореме Мирхеда, верно для всех, а не только для неотрицательных значений переменных. Постайте описать все такие случаи.

Литература

1. Харди Г. Г., Литтельвуд Д. Е., Полина Г. Неравенства — М.: ИЛ, 1948.
2. Маршал А., Олкин И. Неравенства: теория максимизации и ее приложения. — М.: Мир, 1983.
3. Заочные математические олимпиады (задачи 5—9). — М.: Наука, 1981.