Функциональные уравнения и группы

23

Функциональные уравнения и группы

Я. С. БРОДСКИЙ, А. К. СЛИПЕНКО

С функциональными уравнениями вы, наверное, знакомы, хотя, может быть, и не знаете, что они так называются. Так, именно функциональные уравнения $f(x)=f(-x), f(-x)=-f(x), f(x+a)=f(x)$ задают такие свойства функций, как четность, нечетность, периодичность.

Вообще же функциональное уравнение — это некоторое соответствие, из которого нужно найти неизвестную функцию.

Например, $f(x+1)+f(x)=x,$
$2f(1-x)+1=xf(x),$
$xf(x)+f\left(\frac{4}{2-x}\right)=x$.

Изучать функциональные уравнения математики начали более двухсот лет назад, когда к ним приведенные задачи механики. Большой вклад в изучение таких уравнений внес О. Коши (1789—1857). На страницах нашего журнала уже рассматривалось функциональное уравнение $f(x+y)=f(x)+f(y)$, носящее его имя*). В данной статье мы рассмотрим один из методов решения функциональных уравнений, использующий важнейшее понятие современной алгебры — понятие группы.

Композиция функций

Вы, конечно, заметили, что число исходных, основных функций, изучаемых в школьном курсе математики, сравнительно неевелiko. К ним, например, относятся линейная, степенная, показательная, тригонометрические функции. Другие функции по лучиются из основных при помощи композиций и алгебраических действия.

Так, функция $f(x)=\sin(2x+1)$ является композицией линейной функции $g(x)=2x+1$ и тригонометрической функции $h(x)=\sin x$, т. е. $f(x)=h(g(x))=(h\circ g)(x)$.

Функция $f(x)=\lg \arcsin x$ получена в результате композиции функций $g(x)=\arcsin x$ и $h(x)=\lg x$. Обратите внимание на то, что в области определения композиции $h\circ g$ входят те значения $x$ из $D(g)$, для которых $g(x)\in D(h)$. В последнем примере $D(g)=[-1; 1], D(h)=] 0; \infty$. [. Так как $\arcsin x>0$ при $x\in] 0; 1]$, то $D(f)=] 0; 1]$.

Если взять композицию этих же функций в обратном порядке, то есть функцию $f(x)=\arcsin \lg x$, то получим $D(f)=\left[\frac{1}{10}; 10\right]$.

Композиция дробно-linейных функций $g(x)=\frac{-2x+1}{3x+2}$ и $h(x)=\frac{3x-2}{-x+4}$ являются функциями $f(x)=h(g(x))=$
$$\frac{3\cdot\frac{-2x+1}{3x+2}-2}{-\frac{2x+1}{3x+2}+4}=\frac{-12x-1}{14x+7}, x\neq-\frac{2}{3}.$$
Здесь $D(f)=R\left\{-\frac{2}{3},-\frac{1}{2}\right\}$.

Как правило, $f\circ g\neq g\circ f$. В то же время для любых функций
$(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$,

что непредставлено вышекает из определения композиции.

Уражения

1. Найдите композиции $f_1\circ f_2$ и $f_2\circ f_1$ следующих функций:
   $f_1=\frac{x-2}{3x+4}, f_2=\frac{2x+3}{5x-1}$.

2. Найдите область определения композиции $1-x^2$ и $\sqrt{x}$.

3. Пусть $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. Найдите $f\circ f\circ f\cdots f$.

Функциональные уравнения

Решим следующую задачу.
Задача 1. Найдите все функции $y=f(x)$ также, что
$$2f(1-x)+1=xf(x).$$

24

Решение. Предположим, что существует функция $f(x)$, удовлетворяющая данному уравнению. Заменив $x$ на $1-x$, получим

$$2f(x) + 1 = (1 - x)f(1 - x).$$

Из (1) находим $f(1 - x) = \frac{1}{2}(xf(x) - 1)$.

Подставляя значение $f(1 - x)$ и уравнение (2), получим

$$2f(x) + 1 = (1 - x) \cdot \frac{1}{2} \cdot (xf(x) - 1),$$

откуда $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - x + 4}$.

Неосредственной проверкой убеждаемся, что полученная функция удовлетворяет уравнению (1).

В рассмотренном уравнении подзнаком неизвестной функции стоит функция $f_1 = x$ и $f_2 = 1 - x$. Замена $x$ на $1 - x$ переводит функцию $f_1$ и $f_2$ друг в друга. В результате подстановки $x \rightarrow 1 - x$ получено еще одно уравнение, содержащое $f(x)$ и $f(1 - x)$. Решение функционального уравнения мы свели к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим теперь более сложную задачу.

Задание 2. Решите уравнение

$$xf(x) + 2f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = 1.$$

Решение. Попробуем действовать так же, как и в первом случае. Выполним замену $x \rightarrow \frac{x - 1}{x + 1}$. Получаем

$$\frac{x - 1}{x + 1}f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) + 2f\left(-\frac{1}{x}\right) = 1.$$

Наряду с выражениями $f(x)$ и $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$ у нас появилось новое «неизвестное» $-f\left(-\frac{1}{x}\right)$. Попробуем применить в (3) еще одну подстановку: $x \rightarrow -\frac{1}{x}$. Имеем

$$-\frac{1}{x}f\left(-\frac{1}{x}\right) + 2f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right) = 1.$$

Кроме $f\left(-\frac{1}{x}\right)$, в уравнении появилось «неизвестное» выражение $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$. Что же, попробуем выполнить в (3) подстановку $x \rightarrow \frac{x + 1}{1 - x}$. И, наконец, удаляем. Получаем

$$\frac{x + 1}{1 - x}f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right) + 2f(x) = 1,$$

где новые неизвестные не возникли — построена система четырех линейных уравнений (3) — (6) с четырьмя неизвестными $f(x)$, $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$, $f\left(-\frac{1}{x}\right)$ и $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$. Последовательно исключаем $f\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$, $f\left(-\frac{1}{x}\right)$, $f\left(\frac{x + 1}{1 - x}\right)$, найдем $f(x) = \frac{4x^2 - x + 1}{5x(x - 1)}$ ($x \neq -1, x \neq 0, x \neq 1$).

Как и при решении уравнения (1), мы предполагали, что функция, удовлетворяющая (3), существует. Проверка показывает, что $f$ удовлетворяет уравнению (3).

Появляются группы

Попробуем разобрать почему нам удалось решить уравнение предыдущого параграфа.

Рассмотрим еще одно уравнение

$$f(x + 1) + f(x) = x.$$

Оно выглядит не более «страшным», чем уравнение (3), одnakо все попытки решить его тем же способом оказаться тщетными: при замене $x \rightarrow x + 1$ появляется «неизвестное» $f(x + 2)$, и так далее. Цепочка не заменяется: мы никогда не получим линейной системы.

Вспомним, что, решая первое уравнение, мы выполнили подстановку $x \rightarrow 1 - x$. При этом $1 - x \rightarrow x$. То есть две функции $g_1(x) = x$ и $g_2(x) = 1 - x$ по отношению к операции композиции ведут себя так $g_1 \circ g_2 = g_2 \circ g_1 = g_2$, $g_2 \circ g_2 = g_1$, $g_1 \circ g_1 = g_1$.

Рассмотрим таблицу «умножения» (на пересечении строки с номером $i$ и столбца с номером $j$ стоит $g_i \circ g_j$).

В каждой строке и каждой столбце этой таблицы встречаются и $g_1$ и $g_2$.

Допустим теперь, что нам нужно

25

решить уравнение

$$a(x)f(x) + b(x)f(1-x) = c(x),$$

(*)

где $a, b, c$ — неокоторые функции. Ясно, что выполняя подстановку $x \rightarrow 1-x$, мы получим уравнение

$$a(1-x)f(1-x) + b(1-x)f(x) = c(1-x),$$

(**)

которое вместе с уравнением (*) образует линейную систему относительной функции $f(x)$ и $f(1-x)$. Дальше решение будет развивать так же, как и при решении задачи 1.

Во втором рассмотрении примере мы делали подстановки

$$x \rightarrow \frac{x-1}{x+1}, x \rightarrow -\frac{1}{x}, x \rightarrow \frac{x+1}{1-x},$$

то есть имена дело с функциями

$$g_1(x) = x, g_2(x) = \frac{x-1}{x+1},$$

$$g_3(x) = -\frac{1}{x}, g_4(x) = \frac{x+1}{1-x}.$$

Постотрим, как ведут себя функции $g_1, g_2, g_3, g_4$ по отношению к операции композиции. Составим таблицу 2, аналогично таблице 1 (в пересечении $i$-й строки и $k$-го столбца запишем $g_i \circ g_k$).

Таблица эта симметрина относительно своей диагонали (это значит, что $g_i \circ g_k = g_k \circ g_i$ при любых $k$ и $i$). Кроме того, все функции $g_i$ встречаются в каждой строке и каждом столбце равно один раз, и, наконец, легко заметить, что $g_3 = g_2^2, g_4 = g_3^2, g_1 = g_2^4$. Здесь $g_i^2 = g_2 \circ g_2 \circ \dots \circ g_2$.

Таким образом, система функции $G = \{g_1, g_2, g_3, g_4\}$ обладает следующими свойствами: а) она замкнута относительно композиций; б) среди этих функций есть тожественное отображение $g_1(x) = x$; в) у каждой из функций $g_i$ есть обратная $g_i^{-1}: g_1^{-1} = g_1, g_2^{-1} = g_4, g_3^{-1} = g_3, g_4^{-1} = g_2$.

Теми же свойствами обладает и система функции $G = \{g_1, g_2\}$ из примера 1.

Если бы теперь нам предложили решить любое функциональное уравнение вида

$$a(x)f(x) + b(x)f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + c(x)f\left(-\frac{1}{x}\right) + d(x)f\left(\frac{x+1}{1-x}\right) = h(x),$$

(***)

мы сделали бы это, выполив замены $x \rightarrow g_2(x), x \rightarrow g_3(x), x \rightarrow g_4(x)$, после чего пришли бы к линейной системе. Для примера запишем, что получится из (***) после замены $x \rightarrow g_2(x)$.

При этом $g_2(x) \rightarrow g_3(x), g_3(x) \rightarrow g_4(x), g_4(x) \rightarrow g_1(x)$, так что получится уравнение

$$a\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) + b\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f\left(-\frac{1}{x}\right) + c\left(\frac{x-1}{x+1}\right) \cdot f\left(\frac{x+1}{1-x}\right) + d\left(\frac{x-1}{x+1}\right)f(x) = h\left(\frac{x-1}{x+1}\right).$$

Теперь даим следующее определение.

О пределене. Произвольное множество $G$ функции, определяемых на некотором множество $M$, называется epynnoi относительно операции $\circ$, если оно обладает теми же свойствами, что и система $(g_1, g_2, g_3, g_4)$, то есть

1. Для любых двух функции $f \in G, g \in G$ их композиция $f \circ g$ тоже принадлежит $G$.
2. Функция $e(x) = x$ принадлежит $G$.
3. Для всякой функции $f \in G$ существует обратная функция $f^{-1}$, которая принадлежит $G$.

Это определение есть частный случай общего определения понятия группы — одного из важнейших понятий современной математики. Подробно и популярино основные понятия теории группы изложены в книге П. С. Александрова «Введение в теории группы» (Библиотека «Квант», вып. 7, М.: Наука, 1980).

Два примера группы функции мы уже видели. Приведем еще несколько примеры.

a) Множество $G$ линейных функций $f(x) = ax + b$, ($a \neq 0, b \in R$);

б) $G = \{x, \frac{1}{1-x}, \frac{x-1}{x}\} \in R\{0, 1\}$;

b) $G = \{x, \frac{1}{1-x}, \frac{x-1}{x}\} \in R\{0, 1\}$;