Pythagoras

8

Chiếc nel đang xây dựng bắt đầu đào ở hai bên sườn núi, tính toán chính xác đến mức cả hai động tác đều hội tụ gọn gàng ở độ sâu. Cha của Pythogoras tên là Mnesarchus, một thợ làm đá nổi tiếng. Theo nhà viết tiểu sử người Anh, khi còn trẻ khao khát tri thức, Pythogor đã rời hòn đảo quê hương để đi du lịch vòng quanh thế giới, đánh bại gần như toàn bộ người Hy Lạp và nhiều nước ngoài. Pythogoras đã thay thế các nhà khoa học Hy Lạp và ngưỡng mộ những kỳ quan của phương Đông. Họ nói rằng anh ta đã ở trong những khu bảo tồn ẩn giấu của Ai Cập, đến thăm các nhà hiền triết Chaldean và các pháp sư Ba Tư, rồi đi xuống hang động tanish của Crete, nơi gắn liền với huyền thoại về sự hiện đại của các vị thần.

Trở về Samos, Pythogoras tìm thấy quê hương dưới sự chuyên chế của Polycrates. Như một nhà viết tiểu sử người Anh nói, nhận thấy rằng chế độ chuyên chế quá mạnh để “một người tự do có thể chịu đựng sự tùy tiện và chế độ chuyên quyền một cách đàng hoàng”, ông quyết định lui về miền Nam nước Ý, nơi đặt các thuộc địa của Hy Lạp được thay thế. Ông định cư ở thành phố Crotone của Ý, nơi ông đã soạn thảo luật cho công dân của mình. Họ kể rằng khi đi vòng quanh các thành phố nước ngoài, Pythogors đã chữa lành những con vật lớn, động vật hoang dã cho phép ông vuốt ve chúng, những dòng sông chào đón ông bằng giọng người, rằng ông có thể được nhìn thấy ở hai nơi khác nhau cùng một lúc. Dịch vụ này được tạo điều kiện thuận lợi bởi cả nhân cách phi thường của triết gia cũng như lời giảng dạy về tôn giáo và thần bí của ông.

Liên minh Pythagore. Chẳng bao lâu sau, một nhóm lớn đệ tử sùng kính ông đã xuất hiện xung quanh Pythogoras, “vì ông đã vượt qua điểm yếu của tất cả những người khác đến nỗi tất cả thanh niên đều muốn trở thành đệ tử của ông”. Chẳng bao lâu sau, Liên minh Pythagore hay Hội Anh em được tổ chức từ họ, đồng thời là một xã hội khoa học, một liên minh tôn giáo và một câu lạc bộ chính trị. Quyền truy cập vào nó không được mở cho tất cả mọi người. Đối tượng phải trải qua một bài kiểm tra dài; họ thậm chí còn nói rằng anh ta đã được lệnh giữ im lặng trong 5 năm. Mặc dù một thế kỷ sau cái chết của Pythogoras, liên minh đã tan rã, hầu như tất cả các nhà toán học vĩ đại thời cổ đại đều tự gọi mình là Pythogoreans.

Chứng minh toán học. Chúng tôi đã nói rằng Pythogoras là người sáng tạo ra toán học với tư cách là một khoa học. Nhưng chẳng phải những người trước ông đều biết cách đếm, cộng, nhân các phân số cũng như tính diện tích và thể tích đơn giản nhất sao? Tất nhiên là họ đã làm vậy. Họ thậm chí có thể giải được phương trình bậc hai! Tuy nhiên, toán học với tư cách là một khoa học vẫn chưa tồn tại. Kiến thức toán học, được truyền lại hầu như không thay đổi từ thế hệ này sang thế hệ khác trong hàng nghìn năm, không được tổ chức theo hệ thống - nó dựa trên các công thức được thu thập, tính chính xác của kiến ​​thức này có thể được xác minh bằng lời giải cụ thể bài toán.

Pythogoras nhận ra rằng cơ sở của toán học là bằng chứng. Nơi nào không có nó thì không có toán học. Bằng chứng là gì và tại sao nó lại cần thiết?

Giả sử chúng ta muốn chứng minh rằng tổng các góc của một tam giác là 180°. Làm thế nào để làm điều này? Hãy làm điều này: cẩn thận vẽ một hình tam giác (bằng mực vào vở hoặc bằng phấn trên bảng đen) và thay đổi các góc của nó bằng thước đo góc. Cộng chúng lại chúng ta được một số gần bằng 180°. Chúng tôi đã tiết lộ những gì? Chỉ có điều tam giác mà chúng ta vẽ có tổng các góc bằng, chẳng hạn như 180°01’. Chúng ta có thể tiếp tục thay đổi bằng cách xem xét các hình tam giác khác đang được vẽ và mỗi lần chúng ta sẽ nhận được kết quả gần với kết quả mà chúng ta muốn thiết lập. Thứ nhất, kết quả sẽ gần đúng vì thước kẻ chúng ta sử dụng sẽ không thẳng hoàn toàn (có thể nhìn thấy điều này bằng cách nhìn qua kính lúp). Thứ hai, các góc do thước đo góc thay đổi sẽ không tìm thấy ở gần điểm. Nhưng ngay cả khi chúng ta có được một chiếc thước và thước đo chính xác hoàn hảo, chúng ta vẫn không thể đưa ra đề xuất của mình, bởi vì có vô số hình tam giác và chúng ta sẽ không bao giờ có thể tìm được tổng các góc của tất cả chúng.

Pythogoras rõ ràng là người đầu tiên đưa ra ý tưởng rằng toán học xem xét các đối tượng trừu tượng (nghĩa là các đường thẳng lý tưởng không có chiều rộng, các điểm không có kích thước, v.v.) và rằng các tính chất của chúng phải được thiết lập không phải thông qua thay đổi mà thông qua lý luận. Ví dụ, để chứng minh định lý về tổng các góc của một tam giác, chúng ta hãy vẽ như Pythogoras, một tam giác tùy ý (có thể vẽ bằng tay mà không cần dùng thước) và vẽ đường thẳng LM đi qua đỉnh B, song song với đáy AC (hình 1). Sau đó $\angle LBA = \angle BAC = \alpha$ và $\angle MBC = \angle BCA = \gamma$ (dưới dạng các góc chéo). Nhưng tổng của $\angle LBA + \angle ABC + \angle MBC$ là một góc ngược, tức là bằng 180°. Điều này có nghĩa là tổng các góc của bất kỳ tam giác nào sẽ bằng 180°.

9

Hình 1.

Tuy nhiên, trong chứng minh của chúng tôi, chúng tôi đã dựa vào tính chất của các đường thẳng song song, điều này cũng cần được chứng minh. Chứng minh của họ sẽ dựa trên một số tính chất khác, v.v. Vì vậy, sau khi xem xét vô số hình tam giác, chúng ta “rơi vào nanh vuốt” của một vô số khác - chúng ta đi đến nhu cầu thực hiện vô số cách chứng minh. Chúng tôi đã rút gọn mệnh đề A thành mệnh đề B, mệnh đề này sẽ rút gọn thành mệnh đề C, tức là $A \Leftarrow B \Leftarrow C \Leftarrow \dots$.

Làm thế nào điều này có thể được? Rõ ràng là đến một lúc nào đó chúng ta phải dừng lại, một số đề xuất phải được chấp nhận mà không cần bằng chứng. Nhưng bằng cách này, chúng ta có thể nhận được vô số mệnh đề “không thể chứng minh được”, nói cách khác, lại “rơi vào nanh vuốt” của vô cực! Và tư tưởng lớn tiếp theo của Pythogoras (hoặc những người cùng thời với ông) là trong hình học có thể chọn ra một số hữu hạn các mệnh đề không thể chứng minh được (sau này gọi là các tiên đề), từ đó có thể suy ra tất cả những mệnh đề khác.

Vì vậy, toán học, theo Pythogoras, nghiên cứu tính chất của các vật thể trừu tượng; Phương tiện xác lập cái đúng là chứng minh, được thực hiện dựa trên số lượng hữu hạn các câu hiển thị được chấp nhận mà không cần chứng minh.

Người ta không nên nghĩ rằng những ý tưởng này đã được chấp nhận ngay lập tức. Một loạt lời chế nhạo và giễu cợt đổ xuống đầu Pythogors và những người theo ông; một số nhà khoa học gọi ông là kẻ ngu ngốc, đa hiểu biết và là một lang băm; họ nói rằng anh ấy chưa bao giờ nhìn thấy những đường thẳng không có chiều rộng hoặc những đường tròn chỉ tiếp xúc với một đường thẳng tại một điểm. Tuy nhiên, Pythogoras và các học trò của ông vẫn tiếp tục phát triển khoa học trên một nền tảng mới vững chắc.

“Toán học.” Đây là cái mà người Pythogoreans gọi là hệ thống kiến ​​thức của họ. “Toán học” bao gồm bốn phần: số học, hình học, thiên văn học và học thuyết về hòa âm (lý thuyết âm nhạc). Hai lĩnh vực đầu tiên hoàn toàn mang tính lý thuyết - chúng tôi vẫn gán chúng cho toán học, hai lĩnh vực còn lại là ứng dụng số học và hình học vào việc nghiên cứu các thiên thể và các định luật về phụ âm - chúng tôi sẽ gán chúng cho vật lý toán học.

Chúng ta biết rất ít về số học của Pythogoreans. Người ta biết một cách đáng tin cậy rằng nó đã nghiên cứu các số nguyên và mối quan hệ của chúng, tức là các số hữu tỷ. Plato trong các cuộc đối thoại của mình gọi số học là “nghiên cứu về bốn và số lẻ”. Chúng ta có thể xây dựng lại lời dạy này từ Quyển IX của Cơ sở Euclide, ở phần cuối của cuốn sách này (mệnh đề 21-34) nó được sao chép lại. Pythogoras chia tất cả các số nguyên thành bốn (chia hết cho 2) và lẻ (không chia hết cho 2) và chứng minh định lý hàm số: tích của hai số là chẵn khi và chỉ khi có ít nhất một trong các thành phần là bốn. Đây là định lý đầu tiên của lý thuyết chia hết, mô hình tiếp theo để xây dựng và chứng minh một định lý tổng quát hơn: tích của hai số chia hết cho số nguyên tố p khi và chỉ khi có ít nhất một trong các thành phần chia hết cho nó. Từ định lý cuối cùng này tuân theo định luật duy nhất về việc phân tích một số nguyên thành thừa số nguyên tố. Tương tự, theo định lý Pythogoras, mọi số nguyên có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng $N=2^kN_1$, trong đó $N_1$ là số lẻ và $k$ là số nguyên không âm. Học thuyết về số bốn và số lẻ cho phép người Pythogor chứng minh một số định lý cực kỳ quan trọng mà chúng ta sẽ quay lại sau.

Trong hình học, Pythagoras bị thu hút bởi các hình và vật thể đều đặn. Vì vậy, ông biết rằng một mặt phẳng có thể được “lát” bằng các hình tam giác, hình vuông và hình lục giác đều. Ông biết cách xây dựng một hình ngũ giác đều - vừa lồi vừa hình ngôi sao. Ngôi sao năm cánh được cho là biểu tượng của sức khỏe, và nhanh chóng trở thành dấu hiệu nhận biết cho những người theo trường phái Pythogorean sống rải rác khắp thế giới cổ đại. Hình học được tôn vinh bởi định lý Pythagore, định lý này có ý nghĩa cơ bản cả trong toán học lẫn trong các ứng dụng của nó. Pythagoras đã chứng minh điều đó như thế nào? Thật không may, chúng tôi không biết điều này.

Pythogoras cũng đã phát triển học thuyết về sự tương đồng, và ban đầu ông dường như tin rằng tất cả các phân số đều tương xứng, có nghĩa là tỷ lệ của chúng có thể được biểu thị bằng một số hữu tỷ, nghĩa là lý thuyết về sự tương đồng của ông dựa trên số học của các số không đồng nhất.

10

Khám phá về tính không thể so sánh được. Bây giờ chúng ta hãy quay lại khám phá vĩ đại nhất của Pythagoras, khám phá đã mang lại cho ông danh tiếng không hề phai nhạt và đem lại thắng lợi cho toán học. Chúng ta đang nói về việc phát hiện ra những phân đoạn không thể so sánh được, hay nói cách khác là sự phi lý.

Nhưng nó là gì? Chúng ta có một hình vuông có cạnh 1. Khi đó, theo định lý Pythagore, bình phương đường chéo của nó bằng
$$c^2 = 1^2 + 1^2 = 2.$$
Đường chéo $c$ bằng bao nhiêu? Chúng ta thử tìm hiểu bằng cách lấy căn của 2.

Nếu bạn nộp đơn xin việc này, trước tiên bạn sẽ nhận được $c_1 = 1$, sau đó là $c_2 = 1,4$, rồi $c_3 = 1,41$, v.v. Cuối cùng, bạn phải đạt đến chữ số thứ 10 và bạn sẽ cảm thấy mệt mỏi với hoạt động này. Bạn sẽ nói: “Đủ rồi! Bộ truyện này sẽ không bao giờ kết thúc.” Nhưng chúng tôi sẽ phản đối bạn: “Tiếp tục! Nếu nó kết thúc ở chữ số thứ 11 hoặc 20 thì sao?” Than ôi, chúng ta lại “rơi vào nanh vuốt” của vô cực!

Nhưng đây cũng là lối ra của Pythagoras. Ông lý luận thế này: hãy biểu thị $c$ dưới dạng phân số hữu tỉ $p/q$. Chúng ta giả sử rằng $p$ và $q$ không thể cùng chẵn (nếu không chúng ta sẽ hủy phân số đi 2). Bằng cách bình phương đẳng thức $\sqrt{2} = p/q$ chúng ta nhận được $2p^2/q^2$ hoặc
$$p^2 = 2q^2$$
(1)

Điều này có nghĩa là $p^2$ chia hết cho 2. Do đó, Pythagoras, dựa trên định lý chính về số chẵn và số lẻ, kết luận rằng số $p$ là số chẵn. Điều này có nghĩa là $q$ là số lẻ (nếu không chúng ta sẽ giảm phân số $p/q$ đi 2). Vì vậy, $p = 2p_1$. Thay vào đẳng thức (1), ta được $q^2 = 2p_1^2$, tức là $q^2$ chia hết cho 2, sau đó chia hết cho số trước $q = 2q_1$, tức là $q$ là số chẵn. Chúng ta đã đi đến mâu thuẫn, vì số $q$ phải vừa chẵn vừa lẻ, điều này là không thể.

Việc phát hiện ra tầm quan trọng không thể đo lường được đã gây ấn tượng sâu sắc cho tất cả người Hy Lạp. Đó là một đề xuất lý thuyết dường như mâu thuẫn với thực tế luôn thay đổi! Xét cho cùng, trong thực tế, tất cả các đại lượng đều có thể so sánh được: chúng ta mất chúng đến từng centimet, milimet, micron gần nhất, nhưng kết quả là chúng ta luôn nhận được các số hữu tỷ. Việc khám phá ra tính không thể so sánh được có thể được so sánh với khám phá của Copernicus, khám phá này cũng mâu thuẫn với việc quan sát bình minh và hoàng hôn hàng ngày của chúng ta, hoặc với khám phá về hình học của lobachevsky. Theo truyền thuyết, những người theo đạo Pythogorean đã giữ bí mật về khám phá này, dường như muốn tìm một vị trí xứng đáng cho nó trong “toán học” của họ, và Pythogorean Hypas, người tiết lộ bí mật, đã bị người giàu trừng phạt vì điều này: ông mệt mỏi và bị đắm tàu. Nhà triết học cổ đại nổi tiếng Plato (cuối thế kỷ 5 - đầu thế kỷ 4 trước Công nguyên) đã viết rằng ông học về vô tỉ muộn và trước đó ông giống như một con vật vô lý. Một triết gia vĩ đại khác, một học trò của Plato, ρισstele, thảo luận về cách khoa học phát sinh, đã viết: “mọi người bắt đầu với sự ngạc nhiên (…), chẳng hạn như họ có ngạc nhiên trước những đồ chơi tự hành bí ẩn, hay điểm chí, hay đường chéo không thể so sánh được, hoặc đối với tất cả những người chưa hiểu lý do, sẽ có vẻ ngạc nhiên nếu một thứ gì đó không thể đo được bằng thước đo nhỏ nhất” (Siêu hình học, quyển 1, ch. 2).

Các học trò và những người theo Pythagoras đã sớm phát hiện ra rằng ngoài $\sqrt{2}$ còn có cả một dãy số hữu tỷ: $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, ..., \sqrt{15}$, hay như người ta đã nói, cạnh của các hình vuông có diện tích 3, 5, 6, …, 15 là không thể so sánh được với cạnh của một hình vuông đơn vị. Trong cuộc đối thoại “Theatetus” của Plato, người ta nói rằng Theodore Pythogorian của Cyrene đã giảng bài cho thanh niên Athen, nơi ông đưa ra bằng chứng tương ứng cho $\sqrt{17}$.

Chúng ta hãy sử dụng phương pháp Pythagore: chúng ta cần chứng minh $\sqrt{d}$ vô tỷ, trong đó $d$ là số nguyên không chính phương. Nếu $d$ chẵn thì việc chứng minh được thực hiện lần cuối theo cách tương tự như đối với $\sqrt{2}$. Đặt $d$ là số lẻ và giả sử rằng $\sqrt{d} = p/q$; Sau đó
$$p^2 = dq^2.$$
(2)

Có thể chỉ ra rằng trong trường hợp này $p$ và $q$ sẽ là số lẻ, tức là chúng sẽ có dạng $2n+1$, khi đó bình phương của chúng sẽ có dạng $4(n^2+n)+1$ hoặc $\frac{n(n+1)}{2} + 1$, trong đó $\frac{n(n+1)}{2}$ là số nguyên. Thay thế các giá trị này vào công thức (2) và nhóm các thuật ngữ, chúng ta nhận được
$$8\left(\frac{n(n+1)}{2} - d\frac{m(m+1)}{2}\right) = d-1.$$
Vế trái của đẳng thức chia hết cho 8, tức là các quyền phải có dạng $8k$, tức là chúng phải có dạng $d=8k+1$. Nếu số $d$ không có cùng dạng, chẳng hạn như 5, 7, 11, 13, 15, thì điều này dẫn đến mâu thuẫn và bác bỏ giả định đã đưa ra. Nếu $d$ có dạng $8k+1$ thì phương pháp chứng minh này sẽ không hiệu quả. Vì vậy, số 9 sẽ là, nhưng nó là một hình vuông hoàn hảo và là số 17. Trên thực tế, đó là lý do tại sao Fedor đã quyết định chọn con số này.

Trong số những người hầu của Fyodor có nhà toán học trẻ tài năng Theatetus.

12

tsa, Mặt trăng và các hành tinh, nhưng trước Pythagoras
không ai cố gắng xây dựng một mô hình
Hệ mặt trời. người Pythagore
là những người đầu tiên xây dựng một công thức toán học
mô hình của thế giới, họ tin rằng các quy luật tự nhiên có thể được biểu diễn bằng những con số, rằng “mọi thứ đều là một con số”. Toàn bộ Vũ trụ, như Aristotle đã viết, ông “công nhận là sự hài hòa và số lượng”.

Hòa hợp. Ý tưởng về khả năng xây dựng một mô hình số của thế giới đã được Pythagoras sử dụng làm cơ sở cho lý thuyết âm nhạc của ông. Pythagoras phát hiện ra rằng những khác biệt về chất trong âm thanh của dây đàn là do những khác biệt thuần túy về mặt số lượng, cụ thể là độ dài của dây đàn. Âm thanh đồng thời của hai chiếc kèn sẽ dễ chịu cho tai nếu độ dài của chúng theo tỷ lệ 1:2, hoặc 2:3 hoặc 3:4, tương ứng với các quãng âm nhạc của quãng tám hoặc lượng tử. Đánh giá việc phát hiện ra Pythagoras, nhà vật lý vĩ đại nhất người Đức Sommerfeld đã viết rằng ngày nó được tạo ra có thể gọi là ngày sinh của ngành vật lý toán học. Thật vậy, các hệ dao động điều hòa đã đóng một vai trò to lớn trong vật lý. Vào những năm 20 của thế kỷ chúng ta, sự tương tự giữa một hệ dao động phát ra bởi âm của một hạt nhất định và một nguyên tử phát ra bức xạ của một hạt nhất định, cũng được xác định bởi tỷ số của các số nguyên, cái sau là chìa khóa để tạo ra cơ học lượng tử. Sự thật này đã được A. Einstein lưu ý:

“Như vậy,” ông viết, “chúng ta đã khám phá ra cái gì đó tương tự giữa một sợi dây dao động và một nguyên tử phát ra các hạt từ các nguyên tố: từ những hạt nặng tạo nên hạt nhân, và từ những hạt nhẹ - electron. Một hệ hạt như vậy hành xử giống như một dụng cụ âm thanh nhỏ trong đó tạo ra sóng dừng” (A. Einstein, L. Infeld. Vật lý tiến hóa. M.: Nauka, 1963, trang 224).

Thiên văn học. Pythagoras tin rằng Trái đất có hình cầu và nó nằm ở trung tâm của Vũ trụ. Xung quanh nó có tám quả cầu đồng tâm - đây là những quả cầu của Mặt trăng, Mặt trời, gót chân của các hành tinh và các ngôi sao cố định. Quả cầu bên ngoài - quả cầu của các ngôi sao cố định - thực hiện một vòng quay hoàn toàn quanh Trục Thế giới mỗi ngày, tăng chuyển động của cả bảy quả cầu khác. Tuy nhiên, Mặt Trăng và Mặt Trời là những chuyển động xảy ra theo hướng ngược lại với sự giãn nở ngày của quả cầu. Sau đó, người Pythagore đi đến kết luận rằng Trái đất không đứng yên mà quay cùng với các hành tinh khác xung quanh Ngọn lửa Trung tâm. Ý tưởng này có trước ý tưởng của Copernicus rằng Trái đất không chiếm vị trí trung tâm trong hệ mặt trời hơn 2.000 năm.

Điều đáng chú ý là Pythagoras ngay lập tức cố gắng tạo ra những quan điểm thiên văn học từ lý thuyết âm nhạc. Ông tin rằng mỗi hành tinh, di chuyển trên quỹ đạo của nó, sẽ tạo ra âm thanh và âm thanh giống như vậy khi cả bảy hành tinh chuyển động sẽ tạo ra “âm nhạc của quả cầu”. Pythagoras thậm chí còn gọi hệ mặt trời là cây đàn lia bảy dây. Anh ấy đảm bảo rằng anh ấy có thể nghe được thứ âm nhạc tuyệt vời này, thứ mà mọi người chỉ có thể nghe được sau khi chết.

Chúng tôi đã nói rằng những ý tưởng bất ngờ của Pythagoras đã nhận được sức sống mới trong thế kỷ của chúng ta, nhưng đã được áp dụng vào thế giới nguyên tử. Sommerfeld, người mà chúng tôi đã đề cập, đã viết:

“Điều mà ngày nay chúng ta có thể hiểu được bằng ngôn ngữ quang phổ là âm nhạc thực sự của quả cầu nguyên tử, sự hòa hợp của các mối quan hệ số nguyên, trật tự ngày càng tăng và sự hài hòa với tất cả sự đa dạng của chúng.

…Tất cả các định luật số nguyên của các vạch quang phổ và thuyết nguyên tử cuối cùng đều tuân theo lý thuyết lượng tử. Nó đại diện cho một công cụ đầy tinh tế mà thiên nhiên sử dụng âm nhạc quang phổ và irite mà nó điều khiển cấu trúc của nguyên tử và hạt nhân nguyên tử” (A. Sommerfeld. Putti Knowledge in Physics. M., Nauka, 1973, p. 255).

Họ nói rằng khoa học khác với nghệ thuật ở chỗ trong khi những sáng tạo nghệ thuật là vĩnh cửu thì những sáng tạo vĩ đại của khoa học sẽ lụi tàn một cách vô vọng. May mắn thay, trường hợp này không phải như vậy, và công trình của Pythagoras là ví dụ điển hình nhất cho điều này. Ông không chỉ là thiên tài vĩ đại nhất mà còn là thiên tài thường xuyên nhất, vì những ý tưởng và lý thuyết của ông không rời khỏi sân khấu, tiếp tục kích thích tâm trí cho đến lúc đó. Không có ý tưởng khoa học nào của ông bị chết. Với mỗi giai đoạn khoa học mới, chúng lại thay đổi diện mạo để lại khơi dậy khối óc và trái tim của các nhà khoa học.