Viện thép và hợp kim Moscow

56

Viện Mátxcơva
thép và hợp kim

Tùy chọn thi viết

1. Rút gọn thành giá trị số tại $a=27$
   $$\frac{a^{4/3}-8a^{1/3}b}{a^{2/3}+2(ab)^{1/3}+4b^{2/3}}: \left(1-2\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right).$$

2. Với giá trị nguyên nhỏ nhất $k$ thì phương trình là bao nhiêu
   $$(k-1)x^2-2(k+1)x+k-3=0$$ có hai gốc khác nhau không?

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{3x^2+1}+\sqrt{x^2+3}=\sqrt{6x^2+10}.$$

Tại đáp số viết nghiệm nhỏ hơn của phương trình.

4. Công ty thông báo rằng sản phẩm được bán hàng ngày với tỷ lệ như nhau. Tìm số này nếu biết rằng trong hai năm sản lượng tăng 44%.

5. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x+3}{4-x} \leq 0.04.$$

Trong đáp số viết bất đẳng thức nguyên nhất lời giải.

6. Giải phương trình
   $$\left(x^{1g}x\right)^2-100x^3=0.$$

Trong đáp số viết nghiệm lớn hơn của phương trình.

7. Một tiếp tuyến của đồ thị của hàm $y=x^2-4x-3$ được vẽ tại giao điểm của đồ thị này với trục tọa độ. Tìm diện tích của tam giác tạo bởi các trục tiếp tuyến và tọa độ.

8. Tìm sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $f(x)=3x^4+2x^3-18x^2+15$ trên đoạn [-3; 1].

9. Rút gọn biểu thức và đánh giá tại $a=\frac{7\pi}{6}$
   $$\sqrt{3} \frac{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}.$$

10. Giải phương trình
    $$\mathrm{tg}(x+1) \cdot \mathrm{ctg}(2x+1)=1.$$

Trong đáp số viết số nghiệm của phương trình thuộc đoạn [0; 15].

11. Độ dài hai đáy của hình thang là 10 và 24, độ dài các cạnh là 13 và 15. Tìm diện tích của hình thang.

12. Thể tích của hình nón là 81. Chiều cao của hình nón được chia thành ba phần bằng nhau và các mặt phẳng được vẽ qua các điểm chia song song với trục. Tìm thể tích phần hình nón nằm giữa các mặt phẳng đã vẽ.

Vật lý

Tùy chọn thi viết

1. Một xe có khối lượng $M=20$ kg có thể lăn không ma sát trên một đường nằm ngang. Một khối có khối lượng $m=2$ kg nằm ở mép sau của xe (các cạnh của khối và xe trùng nhau). Hệ số ma sát giữa vật và xe là $\mu=0.25$. Một lực nằm ngang $F=20$ N tác dụng lên khối. Sau bao lâu khối sẽ rơi khỏi xe nếu chiều dài của nó là $l=1$ m?

2. Một lò điện có công suất 100 kW được dùng để nấu chảy $m=1$ tấn thép. Sự tan chảy kéo dài bao lâu nếu mảnh phải được nung nóng ở $\Delta T=1500$ K trước khi bắt đầu tan chảy? Nhiệt dung riêng của thép là $c=500$ J/(kg K), nhiệt dung riêng của thép là $\lambda=2,7 \cdot 10^{-7}$ J/kg.

3. Xác định khối lượng đồng thoát ra trong quá trình điện phân, trong đó năng lượng đã tiêu thụ là $W=8$ kW ​​. Vị trí bồn tắm Electroplez $U=12$ V, hiệu suất lắp đặt $\eta=80\%$. Đương lượng điện hóa của đồng $k=3,3 \cdot 10^{-7}$ kg/tế bào.

4. Người ta đổ thủy ngân vào một ống thủy tinh hình chữ U (hình 1) sao cho khối lượng của một miếng thủy ngân dài $l=20$ cm. Sau khi đổ đầy, ống hơi nghiêng và trở về vị trí thẳng đứng, từ đó miếng thủy ngân bắt đầu dao động. Tìm chu kỳ của các dao động này.

5. Một sản phẩm kim loại nặng $m_1=0,8$ kg được nung nóng đến nhiệt độ $t_1=950$ °C, sau đó, với mục đích làm cứng, nó được đúc vào bồn chứa đầy chất lỏng nặng $m_2=50$ kg với nhiệt độ ban đầu là $t_2=16$ °C. Giống nhau là gì-