Viện năng lượng Moscow

57

Nhiệt độ của sản phẩm và chất lỏng trong bồn tắm vào mùa xuân là bao nhiêu? Bỏ qua tổn thất nhiệt. Nhiệt dung riêng của sản phẩm là $c_1 = 460$ J/(kg K), chất lỏng - $c_2 = 4100$ J/(kg K).

6. Nguồn sáng chính xác nằm trong nước ở độ sâu bao nhiêu, nếu tia sáng phát ra từ mặt nước từ một vòng tròn có đường kính $D = 2$ m (hình 2)? Chiết suất của nước là $n = 1,333$.

7. Không khí trong nhà có nhiệt độ $t_1 = 24$ °C và độ ẩm tương đối là $\varphi_1 = 50\%$. Xác định độ ẩm của không khí sau khi nó nguội đến $t_2 = 20$ °C. Quá trình làm mát được coi là đẳng tích. Phạm vi hơi nước bão hòa ở $20$ °C và $24$ °C tương ứng với $p_{H2} = 2330$ Pa và $p_{H1} = 2943$ Pa.

8. Trước khi đóng chìa khóa, $K$ điện trở của một nhóm điện trở mắc theo mạch điện ở hình 3, $R = 504$ Ohm. Tìm điện trở của nhóm điện trở này sau khi đóng công tắc.

9. Hai ion, có cùng bí ẩn và cùng động năng, nhưng có khối lượng khác nhau, bay vào từ trường một chiều. Lần đầu tiên anh ấy mô tả một vòng tròn có bán kính $r_1 = 3$ cm, và lần thứ hai - $r_2 = 1,5$ cm. Tính tỉ số khối lượng của các ion.

10. Một đĩa nằm ngang được gõ nhẹ quanh một trục thẳng đứng, tạo ra $n = 15$ vòng/phút. Khoảng cách lớn nhất tính từ trục quay mà vật được giữ thăng bằng trên đĩa là $r = 10$ cm. Hệ số ma sát của vật lên đĩa là bao nhiêu?

11. Xác định động năng cực đại của một đầu máy điện phát ra từ một kim loại nhất định khi nó được chiếu sáng bởi ánh sáng có bước sóng $\lambda = 0,345$ µm. Công suất ra của kim loại này là $A = 2,45$ eV.

12. Puokk của các tia song song đi qua hai đường thu mỏng, vẫn song song. Khoảng cách giữa các thấu kính là $l = 15$ cm. Xác định khoảng cách hình dạng của thấu kính thứ nhất nếu đối với thấu kính thứ hai là $F_2 = 9$ cm.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
V. A. Karasev, V. I. Marchenko

Viện năng lượng Moscow

Toán học
Tùy chọn thi viết

1. Đơn giản hóa biểu thức
   $$\frac{a+b}{(a+b)^2-4ab} \cdot (a-b) - \frac{a-b}{(a-b)^2+4ab} \times (a+b) \left[ \frac{(a^2-b^2) \cdot 10^{-1}g(a^2+b^2)}{2ab} \right.$$

2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} x+y=\frac{21}{8}, \\ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{37}{6}. \end{cases}$$

3. Hiệu của hai số bằng giá trị lớn nhất của hàm $f(x)=\frac{x^3}{3}-x+1$ trên khoảng [0; 2] và tổng của các số này gấp đôi giá trị nhỏ nhất của cùng một hàm trên đoạn được chỉ định. Tìm những con số này.

4. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
   $(\sin x-1)[(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 4x-2]=0,$
   thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\lg[(x+2\pi) \left(-x-\frac{3\pi}{2}\right)+1] \geq 0.$$

5. Tìm các góc của hình thoi nếu biết diện tích hình tròn nội tiếp bằng nửa diện tích hình thoi.
   Bài toán thi vấn đáp

6. Các đường chéo của các hình song song phải có tính chất gì để: a) Các hình song song có thể viết được trong hình tròn?
   b) Có thể viết một đường tròn trong các khung song song không?

7. Các cạnh của một tam giác phải có tính chất gì để tâm của đường tròn nội tiếp trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp nó?

8. Chứng minh bất đẳng thức
   $$tg^2 \alpha+tg^2 \beta+1 \geq tg \alpha+tg \beta+tg \alpha \cdot tg \beta$$
   tại $\alpha, \beta \neq \frac{\pi}{2}+\pi l, l \in Z$.

9. Đơn giản hóa biểu thức
   $$A=\sqrt{-(a+b)^2+\sqrt{ab+bc+ca}}.$$

10. Tìm chu kỳ nhỏ nhất của hàm số $y=5\sin x+\sin 2x$.

11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $f(x)=3 \cdot \sin^2 x+4\sin x \cdot \cos x+\cos^2 x$.

12. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực?
    $$1+x-x^2=|x|^3?$$

13. Tìm miền xác định của hàm
    $$f(x)=\frac{\sqrt{16-x^2}}{1-\sin x \cdot \sin 7x}.$$

14. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
    a) $y=\sqrt{-(1-x^2)^2}$; b) $y=\arcsin x+\sqrt{x^2-1}$.

15. Tìm một hàm tùy ý
    $$y=\left[ \sqrt{3} \frac{1}{9}-\sqrt{3} \frac{2}{9}+\sqrt{3} \frac{4}{9} \right]^{3/2} \log_2 x^3$$

16. Hàm số ở giá trị nào của $x$
    $$y=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+\dots+(x-a_n)^2$$
    đạt giá trị thấp nhất?