Московский энергетический институт

57

весную температуру будут иметь изделия и жидкость в ванне? Потерями теплла пренебречь. Удельная теплоемкость изделия $c_1 = 460$ Дж/(кг·К), жидкость — $c_2 = 4100$ Дж/(кг·К).

6. На какой глубине расположен точный источник света в воде, если с поверхностными воды лучи света выходят в водных из круга диаметром $D = 2$ м (рис. 2)? Показатель преломления воды $n = 1,333$.

7. Возду в помещении имеет температуру $t_1 = 24$ °C и относительной влажность $\varphi_1 = 50\%$. Определите влажность воздуха после его охлаждения до $t_2 = 20$ °C. Процесс охлаждения считать изохорическая. Дальение насыщенного водыного пара при $20$ °C и $24$ °C равны соответствию $p_{H2} = 2330$ Pa и $p_{H1} = 2943$ Pa.

8. До замыкания ключа $K$ сопротивление группы резисторов, соединенных по схеме, изображенной на рисунке 3, $R = 504$ Ом. Найдите сопротивление этой группы резисторов после замыкания ключа.

9. Два иона, имеющие одинаковый загад и одинаковую кинетическую энергии, но различные массы, влетели в одноморное магнитное поле. Первый он описал окружность радиусом $r_1 = 3$ см, а второй — $r_2 = 1,5$ см. Вычислите относение масс ионов.

10. Горизонтальное расположенный диск шацевая вокруг вертикальной оси, делая $n = 15$ об/min. Найбольшее расстояние от оси врашения, на котором тело удерживает на диск в равновесии, равно $r = 10$ см. Чему равен коэффициент треня тела о диск?

11. Определите максимальный кинетический энергию электровоз, вылетающих из неокоторого металла при его освещении светом с длиной волны $\lambda = 0,345$ мкм. Работа выходит для этого металла $A = 2,45$ эВ.

12. Пуокк параллельных лучей проходит через две тонкие собирающие линии, оставясь параллельным. Расстояние между линзами $l = 15$ см. Определите формуное расстояние первого линзы, если для второго линзы оно равно $F_2 = 9$ см.

Публикацию подготовили
В. А. Карасев, В. И. Марченко

Московский энергетический институт

Математика
Вариант письменного экзамена

1. Упростите выражение
   $$\frac{a+b}{(a+b)^2-4ab} \cdot (a-b) - \frac{a-b}{(a-b)^2+4ab} \times (a+b) \left[ \frac{(a^2-b^2) \cdot 10^{-1}g(a^2+b^2)}{2ab} \right.$$

2. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x+y=\frac{21}{8}, \\ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{37}{6}. \end{cases}$$

3. Разность двух чисел равна наибольшем значению функции $f(x)=\frac{x^3}{3}-x+1$ на отрезке [0; 2], а сумма этих чисел в два раза больше наименьшего значения той же функции на указанном отрезке. Найдите эти числа.

4. Найдите все корни уравнения
   $(\sin x-1)[(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 4x-2]=0,$
   удовлетворяющие неравенству
   $$\lg[(x+2\pi) \left(-x-\frac{3\pi}{2}\right)+1] \geq 0.$$

5. Найдите углы ромба, если известно, что площадь вписанного в него кругга вдвое меньше площади ромба.
   Задача устного экзамена

6. Каким свойством должны обладать диагонали параллельрам, чтобы: a) параллельрам можно было писать в окружность?
   b) в параллельрам можно было писать окружность?

7. Каким свойством должны обладать стороны треугольника, чтобы центр вписан в него окружности совпадал с центром описанной около него окружности?

8. Докажите неравенство
   $$tg^2 \alpha+tg^2 \beta+1 \geq tg \alpha+tg \beta+tg \alpha \cdot tg \beta$$
   при $\alpha, \beta \neq \frac{\pi}{2}+\pi l, l \in Z$.

9. Упростите выражение
   $$A=\sqrt{-(a+b)^2+\sqrt{ab+bc+ca}}.$$

10. Найдите наименьший период функции $y=5\sin x+\sin 2x$.

11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=3 \cdot \sin^2 x+4\sin x \cdot \cos x+\cos^2 x$.

12. Сколько действительных корней имеет уравнение
    $$1+x-x^2=|x|^3?$$

13. Найдите область определения функции
    $$f(x)=\frac{\sqrt{16-x^2}}{1-\sin x \cdot \sin 7x}.$$

14. Построите графики следующих функций:
    a) $y=\sqrt{-(1-x^2)^2}$; b) $y=\arcsin x+\sqrt{x^2-1}$.

15. Найдите произвольную функцию
    $$y=\left[ \sqrt{3} \frac{1}{9}-\sqrt{3} \frac{2}{9}+\sqrt{3} \frac{4}{9} \right]^{3/2} \log_2 x^3$$

16. При каком значении $x$ функция
    $$y=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+\dots+(x-a_n)^2$$
    достигает наименьшего значения?