Пик Делоне

Квант 1986, №3 с. 10, 13, 14, 15 Тег 3I29

Пик Делоне

Кандидат физико-математических наук
Н. П. ДОЛБИЛИН

Одна из красивейших вершин в массиве Белухи на Алтае называется «Пик Делоне», по имени ее первовосходителя. О жизни и творчества этого удивительного человека рассказано здесь.

Борис Николаевич Делоне был прежде всего крупным математиком, и математическое творчество было безусловно основным в жизни этого замечательного ученого. Однако говорить о Борисе Николаевиче только как о математике невозможно, точно так же, как невозможно выделить в сложном полифонческом произведении его основную, пустую самую яркую, тему, так неразрывно она связана с другими темами.

Жизнь Б. Н. Делоне, а прожил он 90 лет, можно сравнить с целым произведением искусства. Она была исключительно насыщена и многограна. Далее процесс перечисления наиболее характерных моментов его биографии потребовал бы слишком много места для одной статьи. В таком перечислении хронологических одним из первых шел бы

1897 год — семилетний мальчик читает в подлиннике «Фауста» Гёте, знает наизусть отдельные главы позмы, пишет маслом первыше свои пейзажи.

Где-то в конце списка был бы отменен

1975 год, 6 июля — Борис Николаевич на 86-м году жизни проводит при 25° мороза почь на леднике под вершиной семитисчиника Хан-Тенгри на высоте 4200 м. Утром он на вертолете спускается к озеру Иссык-Куль и оттуда перелетает во Фрунзе, где стоит 40-градиная жара. К исходу дня он оказывается в подмосковном аэропорту, откуда ему предстоит добраться до дачи, расположенной в окрестностях Абрамцева. Приехав на станцию последней электричкой, Борис Николаевич с тяжелым рокзаком идет поздней ночью через лес и сбивается с пути. Пропутав в ночной лесу, он сбрасывает в укромном месте рокзак и налегке лишь к рассвету находит свой дом.

Эти биографические детали показывают, с одной стороны, что разностороннее давление Б. Н. Делоне проявилась в очень раннем возрасте. С другой стороны, до преклонных лет он сохранил по-юношески задорный темперамент, а незаурядное физическое здоровье позволило ему с полной отдачей заниматься на закате жизни как научной работой, так и туризмом. Геометрия чисел, математическая кристаллогфика, дискретная геометрия — таковспект научных работ, написанных Борисом Николаевичем, когда ему было уже за восемьдесят. Алтей и Кавказ, Карпаты и Тянь-Шань — такова география путешествия, совершенных Борисом Николаевичем в прекрасном возрасте.

Борис Николаевич Делоне родился в семье профессора механики в 1890 году. Он, как говорили прежде, получил прекрасное воспитание. Его занятия музыкой были основательны. Хорошо знаал, любил Баха, Моцарт. Играл все сонаты Бетховена, много

коэффициенты $p(a, x_1, \dots, x_n)$ , что не существует алгоритма, позволяющего для каждого целого значения параметра $a$ узнать, имеет ли целое решение уравнения

$p(a, x_1, \dots, x_n) = 0.$

Простейшим диффективным уравнением является, пожалуй, уравнение первого степени с двумя неизвестными

$ax + by = 1,$

где $a$ и $b$ — целые числа. Если $a$ и $b$ имеют общее множители, то решений нет. Если же $a$ и $b$ взаимно просты, то решений бесконечно много (подробнее см. «Квант» 1973, № 4, с. 38). Теория таких уравнений, как утверждают историки математики, была изложена еще индиским математиком Аррибхата в V—VI вв. н. э. (кстати, его именем называют первый индиский искусственный спутник Земли).

Следующей по сложности ступенкой после линейного уравнения естественного считать аналогичное квадратное уравнение

$ax^2 + bxy + cy^2 = 1.$

Важный часть случай уравнения 2-й степени — уравнение Пелля

$x^2 - dy^2 = 1$

— был изучен Эйлером (подробнее см. «Квант» 1985, № 1, с. 20). Если $c (>0)$ — квадрат целого числа, то, кроме очевидного решения (1; 0), других целых решений нет. Если же $c$ не является квадратом целого, то решений бесконечно много. Исследование общего вида диффективных уравнений 2-й степени было проведено замененным французским математиком Лагранжем (1736—1813).

Что касается решений диффективных уравнений более высоких степеней, то серверных условий в этом вопросе не было плоть до начала XX века. Это придало вопросу о диффективных уравнениях 3-й степени авторитет трудной проблемы. На этой проблемы Борис Николаевич, которое всегда отличило стремление браться за трудные, важные задачи, не разменивать свой талант и время на мелочи, и оставил свой выбор.

К сожалению, а, возможно, и нет, Делоне не знал об опубликованной незадолго до этого работе норвежского математика А. Туэ.

Туэ рассматривал диффективные уравнения вида

$a_0 x^n + a_1 x^{n-1} y + \dots + a_{n-1} x y^{n-1} + a_n y^n = b (1)$

и доказал, что при $n \geq 3$ они могут иметь лишь конечное число решений, если, разумеется,

Портрет отца (рисунок Бориса Делоне)

левая часть уравнения не расскладывается в произведение многочленов с разциональными коэффициентами, содержащие компоненты степеней меньше 3. (Если в разложении присутствуют многочлен второй или первой степени, то решений может быть бесконечно много.)

Теорема Туэ является одной из наиболее фундаментальных в теории диффективных уравнений. Однако, утверждая для каждой диффектива уравнения указанного типа конечность числа решений, теорема Туэ ничего не может сказать о том, как найти эти решения. В ней ничего не говорится о верхней оценке значений решений конкретного уравнения. А это важно. Представим себе, что по коэффициентам конкретного диффектива уравнения мы можем вычислитьCONSTANTу $c$ , которая зависит от преосходит абсолютиные значения $|x_0|, |y_0|$ для любого целого решения $(x_0, y_0)$ этого диффектива уравнения. Тогда, подставляя в уравнение всевозможные пары целых чисел $(x, y)$ с условием $|x|, |y| < c$ , можно найти все решения конкретного уравнения. Сам же теорема Туэ в этом отношении не эффективна.

Исследования Б. Н. Делоне относялись к уравнениям 3-й степени, но, как мы увидим, для весьма эффективные и исчерпывающие результаты. Сначала он приступил к исследованию кубического аналога уравнения Пелля:

$ax^3 + y^3 = 1,$

где целое число $a$ не является кубом целого. (В случае, когда $a$ есть куб целого числа, левая часть уравнения раскладывается в произведение многочленов с целыми коэффициентами, и кубическое уравнение Пелля свидетельствует к решению диффективных уравнений 1-й и 2-й степеней.)

Кубическое уравнение Пелля всегда имеет по крайней мере одно решение

ние — (0; 1). Имеются ли другие решения, и если да, то какие?

Ответы на эти вопросы связаны с изучением совокупности чисел вида $A^3\sqrt{a^2}+B^3\sqrt{a}+C$ (A, B, C ∈ Z), где a — коэффициент уравнения Пелля).

Среди этих чисел выделяются единицы, то есть такие числа, образные к которым имеют такой же вид. Например, при a=2 число $3^2-1$ является единицей, поскольку обратное к нему равно $\varepsilon^{-1}=3^2+3^2+1$ . Известно, что для каждой целого a ( $3^2\notin Z$ ) среди единиц найдет такая (основная) единица $\varepsilon_0$ , 0 < $\varepsilon_0<1$ , из которой все остальные (положительные) единицы получаются возведением в целую степень.

Проявив исключительно изобретательность, Б. Н. Делоне доказал трудную теорему: уравнение $ax^3+y^3=1$ , где a — целое, но не куб целое, может иметь, кроме решения (0, 1), еще не более одного решения в целых числах; второе решение существует тогда и только тогда, когда основная единица $\varepsilon_0$ двучленна, то есть имеет вид $\varepsilon_0=X_0^3\sqrt{a}+Y_0$ , и тогда второе решение есть $(X_0, Y_0)$ .

Что касается нахождения основной единицы, то еще лет за двадцать до этого Вороной дал алгоритм ее вычисления.

Например, для уравнения $4x^3+y^3=1$ основная единица трехчленна, поэтому других решений, кроме (0; 1), это уравнение не имеет. А уравнение $37x^3+y^3=1$ , для которого основная единица двучленна, $\varepsilon_0=-3^3\sqrt{37}+10$ , имеет два решения (0,1) и (-3, 10).

Затем Б. Н. Делоне перешел к более общему случае кубических уравнений с двумя неизвестными отрицательного дискриминаента

$ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3=1$ , (A) где коэффициенты a, b, c, d — целые числа, а слова «в случае отрицательного дискриминаента» означают, что соответствующий уравнение многочлен $at^3+bt^2+ct+d$ имеет единственный вещественный корень $t_0$ . В противном случае задача также сводится к исследованию двухчленных единиц. Послеством созданного им «алгоритма повышения» Б. Н. Делоне получил следующий функментальный результат: в общем случае уравнение вида (A) имеет не более трех решений в

целых числах. Только в двух случаях уравнение вида (A) имеет четые решения, и еще в одном случае уравнение имеет пять решений. Никакое уравнение вида (A) не имеет более пяту решений. (Так, уравнение $x^3-xy^2+y^3=1$ имеет пять решений: (1; 1), (1; 0), (0; 1), (-1, 1), (4, -3), а то, что других решений нет, следует из теоремы Делоне.

Работы Б. Н. Делоне по кубическим диофантным уравнениям обозначили едва ли не первый после Эйлера и Лагранжа серверный сdwг в направлении конкретного исследования уравнения более высоких степени. Успех не был случаен. Тысячи часов направленней работы — такое цена победы над трудной проблемой. Трудолюбие, воля, целуструмленность и, конечно, любовь к науке — без этих качеств цел не была бы доступнута. Тем более, что работа приходим в исключительных условиях: деникицы и петлюровцы, «кайзеровцы» и белополяки, «зелены» и «жовтовлакитные» — кто только не тероризировал Киев в годы гражданской войны…

Можно сказать, что в определении смысле результата Б. Н. Делоне оставались непрерывными околопульвами, до конца 60-х годов. Как писал член-корреспондент АН СССР Д. К. Фаддеев:

«По конкретности анализа, простое иясности цикл работы Б. Н. Делоне, посвященных неопределенным уравнениям, является исключительным в математике XX столгения с ее часто громоздким аппаратом и абстрактными построениями. По своему стилю этот цикл близок к лучшим образцам классических работ Гаусса и Чебышева по теории чисел».

После цикла работы по диофантным уравнениям у Б. Н. Делоне еще было переведено 60 лет творческой деятельности, которая добавила к авторитету крупного алгебраиста авторитет крупного геометра. Смешение его исследований в сторону геометрии происходит естественно. Определению роль здесь сыграло соприкосновение в процессе исследований неопределенных уравнений с работами Вороного. Но основная причина геометризации исследований Б. Н. Делоне заключалась в его исключительной обозначом, художничском восприятии мира.

В. Н. Делоне перед туристским походом (70-e годы)

Характерно, что Борис Николаевичникогда не желал сил, времени на то, чтобы довести понимание, казалось бы, уже законченного математического результата до такого уровня, на котором результат оформился бы в примытем геометрической образ. «Что это означает попросту?» — любимый вопрос Бориса Николаевичца, который он задавал и себе и коллегам, когда обсуждалась очередная работа. Не случайно в его работе «натягивают разделенные параллелепиды», «вытягивают носы», между точками, рассыпанными в пространстве, «летают пусть шары».

Признание научных заслуг не заставило себя долго ждать: в 1929 году В. Н. Делоне выбирают в членыкорреспонденты АН СССР. К этому моменту он уже семь лет профессионует в Ленинградском университете. Его предельно ясные, продуманные лекции вызывают большой интересу студентов. В. Н. Делоненикогда не упускал возможность расскаать им о трудной, нерешенной проблеме. В своей педагогической практике В. Н. Делоне руководствовала известным прицилиом «Ученик — не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажчь». Высокий научный авторитет, преданное и вместе с тем естеческое отношение к науке, личное обаяние, артистизм — все это приятивало к нему молодых людей. Недивительно, что у Бориса Николаевичца было много учеников, среди которых выдаюшихся математиков: академик А. Д. Алексадров, членыкорреспонденты АН СССР Д. К. Фаддеев и И. Р. Шафарович.

Весной 1934 года в Ленинграде Б. Н. Делоне организовал для школьников первого олимпiadу по математике, с которой фактически началось олимпiadное движение в нашей стране. Участники ленинградской олимпiadы до сих пор вспоминают, какое «ошеломляющее печатление» произвели на них встречи с Борисом Николаевичем (см. «Квант» 1984, № 9, с. 52).

В 1934 г. в Ленинграде был создан Математический институт им. В. А. Стеклова, где Б. Н. Делоне со дня его основания заведовал отдел алгебры (до 1960 года), а затем отделом геометрии. В 1935 году Математический институт наяду с другими ведущими учреждениями Академии наук СССР переводится в Москве. С этого же года Б. Н. Делоне заведовал кафедрой геометрии в Московском университете. В период работы в МГУ он читает оригинальный курс лекций по аналитической геометрии, который отличался исключительно богатством геометрических идеей. Студенты, имеющие счастье службы лекции Б. Н. Делоне, вряд ли подозревали, что за их великоописем скрывались тщательная подготовка. Так, в первые годы на подготовку двух часов лекции у него уходило два полных дня, в дальнейшем — день. Борис Николаевич не переносил верхоглядства, небрежности, он отшлифовал каждую идею, выверил каждое слово, отчаивал каждый рисунок. И, как следствие этого, во время лекции на доске лекко и быстро появлялись симpatичные «аффициные коты», изящные параболиды и гиперболиды, четкие додекадры и икоазды. Однако время у студентов механизма МГУ в ходу была серия анекdotов о своих профессорах на тему: