Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

58

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Количество теплоты. Единиццы измерения. Удельная тепломкость. Формула подсчета количества теплоты, необходимого для нагрева тела. Первый закон термодинамики.

2. Два тела движутся вдоль оси координат ОХ. На основании графиков зависимости скорости тела от времени $v(t)$ (рис. 1) запишите формулу скорости для каждой тела. Начертите графики зависимости координат тела от времени $x(t)$, если начальная координата тел $x_0=0$.

3. При температуре $t_1=27$ °C давление газа в замкнутом сосуде было равно $p_1=3 \cdot 10^5$ Pa. Какой будет температура газа при давлении $p_2=2,5 \cdot 10^5$ Pa?

4. Какую максимальную скорость могут получить выравнивание из калия электроны при облучении его светом с длиной волны $\lambda=0,4$ мкм? Работа выхода электрона для калия $A=3,2 \cdot 10^{-19}$ Дж, масса электрона $m=9,1 \cdot 10^{-31}$ кг, постоянная Планка $h=6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.

5. Частота массой $m=10^{-4}$ кг и зарядом $q=10^{-8}$ Кл выдает в области однородного электрического поля шириной $b=0,1$ м подуглом $\alpha=45^\circ$, а вылетает под углом $\beta=60^\circ$ (рис. 2). Определите первоначальную скорость частицы, если направленность однородного поля $E=10^6$ В/m. Траектория частицы лежит в плоскости чертежа. Силой тяжесте приенебреть.

Вариант 2

1. Два рода электричества. Взаимодействие электрических зарядов. Закон Кулона. Диэлектрическая проницаемость вещества. Единица измерения заряда.

2. Узкую, длинуную, запаянную с одного конца стеклянную трубку частично заполнили водой и перевернул закрытым кономверх. Что находится в образовавшемся объеме?

3. Свеча нахождение на расстоянии $d=10$ см от тонкой рассеивающей линии с фокусным расстоянием $F=5$ см. На каком расстоянии от линии нахождения изображение и какое оно?

4. Напряжение на конденсаторе в идеальном количестве изменяется по закону $U=50 \cos(1 \cdot 10^5 t)$ (В) и при этом максимальное значение заряда конденсатора равно $q_m=5 \cdot 10^{-6}$ Кл. Определите индуктивность катушки контрата.

5. В цепь, состоящую из аккумулятора и резистора с сопротивлением $R=20$ Ом, подключаили волтметр сначала последовательно, затем параллельно резистору. Показания волтметра в обихах служающих сопротивления аккумулятора.

Публикацию подготовили
В. Ф. Сафонов, М. Г. Тимошин

Московский институт радиотехники, электронки и автоматики

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение $\sqrt[3]{(2+x)^2}+4\sqrt[3]{(2-x)^2}=5\sqrt[3]{4-x^2}$.

2. Решите неравенство $\log_x\log_3(9^x-6) \geq 1$.

3. Найдите наиболее на интервале $]-\pi/2; \pi[$ корень уравнения $\sin \frac{3}{2}x \cos \frac{x}{2} \cos=\frac{1}{2}(5x-\pi/2)$.

4. В окружности проведены две взаимно перpendicularные хорды $AB$ и $CD$. Найдите радиус этой окружности, если $AC=6$ см, $BD=8$ см.

5. Река имеет ширину 160 м и скорость течение 6 км/час. Лодка, скорость которой в стойечной воде 4,8 км/час, пересекает реку за 2 минуты, выживает пассажиров и возвращается обратно. На каком минимальном расстоянии от места старта может оказаться лодка?

Вариант 2

1. Решите уравнение $\sqrt{\frac{x-4}{x}}+\sqrt{\frac{3x+4}{x}}=2$.

2. Решите уравнение $\frac{1}{4}\log_{\sqrt{x+1}}9+\log_3x=0$.

3. Найдите наиболее на интервале $]-\pi/6; \pi/2[$ корень уравнения $-2\sin x\cos 2x=\cos(5x+\pi/2)$.

4. В окружность вписан треугольник $ABC$. Расстояние от точек $A$ и $C$ до прямой, касающейся окружности в точке $B$, равны 4 см и 9 см. Найдите высоту треугольника, проведенного из вершины $B$.

5. При каких значениях параметра $a$ каждое решение неравенства $x^2-3x+2<0$ будет содержаться среди решения неравенства $ax^2-(3a+1)+3>0$?

Физика
Задание устного экзамена

1. На наклонной плоскости, имеющей угол наклона к горизонту $\alpha=30^\circ$, находится цилиндр. Цилиндр удерживает в покое ogniasoей его нитью, один конец которого закреплен на вершине наклонной плоскости, а другой тянут вертикально вверх. С какой силой нитьь нить, если масса цилиндра $m=30$ г?

2. В сообщащиеся сосуды налили ртуть. Затем в один из сосудов налили еще столь масла высотой $h_1=30$ см, а в другой — столь воды высотой $h_2=20$ см. Определите разность уровней ртути в сосудах. Плотность ртути $\varphi=13,6 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, масла $\varphi_1=0,9 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, воды $\varphi_2=1,0 \cdot 10^3$ кг/м$^3$.

3. Стеклянный шарик объемом $V=0,5$ см$^3$ равномерно падает в воде. Какое количество теплоты выделяется при перемещении шарика

59

на $h=6$ м? Плотность стека $\varrho_1=2505$ кг/м$^3$, воды $\varrho_2=1000$ кг/м$^3$.

4. Стеклянная трубка, запаянная с одного конца, расположена горизонтально. Воздух, находящийся в трубке, отделен от атмосферного столбком ртути длиной $l=10$ см. Трубку перемещают вдоль ее оси равномерно сускорением $a=10$ м/с$^2$ сначала запаянным концом вперед, затем открыть концом вперед. Определите атмосферное давление, если в первом слуае длина воздушного столбка в трубке в $n=1,3$ раза больше, чем во втором. Плотность ртути $\varrho=13,6 \cdot 10^3$ кг/м$^3$.

5. Шарик массой $m$, подвешенный на длиной нити, совершает колбания. Во сколько раз изменится перiod колбания, если шарику сообщить положительный заряд $q$ и поместить его в однородное электрическое поле направленностью $\vec{E}$, сливые линии которого направлены вертикально вниз?

6. Дуговая лампа горит под напряжением $U=80$ В и потребляет мощность $P=800$ Вт. На сколько градусов нагреются подводящие провода через $t=1$ мин после включения лампы, если проводка выполнен медным проводом сечением $S=4$ мм$^2$? Положина выделившегося количество теплоты отдается окружаюшей среде, удельное сопротивление меди $\varrho=1,7 \times 10^{-8}$ Ом·м, плотность $D=8,9 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, удельная тепломкость $c=395$ Дж/(кг·К).

7. В электрическую цепь последовательно включены батарея с ЭДС$\delta=12$ В, реостат и катушка с индуктивностью $L=1$ Гн. При сопротивлении реостата $R=10$ Ом в цепи протоклизней постоянный ток. Затем сопротивление реостата наализень так, чтобы ток в цепи уменьшался с постоянной скоростью $\Delta I/\Delta t=0,2$ А/c. Каким будет сопротивление цепи через $t=2$ с после наализення тока? Внутренним сопротивлением батареи и активным сопротивлением катушки претензь.

8. Протон владает в однородное магнитное поле с индуктивей $B=0,4$ Тл перpendикулярно вектор магнитной индуктивции $\vec{B}$. Определите, на какую глубину в области поля может проникнуть протон, если его энергия $W=1,6 \times 10^{-13}$ Дж. Масса протона $m=1,67 \cdot 10^{-27}$ кг, его заряд $q=1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл.

9. На главной оптической оси собирающей линия расположены две светящиеся точки: на расстояниях $d_1=20$ см и $d_2=40$ см от линии. Знача, что их изображения находится в одной и той же точке, определяйте фокусное расстояние линия.

10. Объектив фотоаппарата изготовлен из двух линия — рассеивающей и собирающей. Рассеивающая линия с фокусным расстоянием $F_1=5$ см находится на расстоянии $l=45$ см от фотопленки. Где необходимо размещить собирающую линия с фокусным расстоянием $F_2=8$ см, чтобы на пленке получались резкие изображения удаленных предметов?

Публикацию подготовили
В. В. Варфоломеев, М. Н. Данильцева,
И. М. Матусевич

Победители конкурса «Задачик «Квант»»
(Начало см. на с. 30)

Нагружаются Дипломом и значком журнала «Квант» и книгами серии «Библиотечка «Квант» за активноеучие в конкурсе:

По математике
Н. АГАЗАРЯН — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
М. АЛБТ — Одесса, с. ш. № 100, 8 кл.
А. АСТАШКЕВИЧ — Томск, с. ш. № 24, 10 кл.
Г. ГЕВОНДЯН — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
О. ГЕУПЕЛЬ — Дрезден (ГДР)
А. ГОРОХОВСКИЙ — Киев, с. ш. № 79, 8 кл.
И. ДЫННИКОВ — Жуковский, с. ш. № 1, 9 кл.
В. ЖУРАВЛЕВ — Гайворон, с. ш. № 2, 9 кл.
М. ИГНАТЬЕВ — Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
И. КАПОВИЧ — Хабаровск, с. ш. № 2, 10 кл.
А. КОЗИНСКИЙ — Гайворон, с. ш. № 2, 9 кл.
Т. МИСИРПАШЕВ — Москва, с. ш. № 57, 10 кл.
О. НИЦ — Одесса, с. ш. № 100, 9 кл.
Д. ПАСТУР — Харьков, с. ш. № 146, 10 кл.
М. ПОМЕРАНЦЕВ — Черкассы, с. ш. № 4, 10 кл.
А. ПРИШЛЯК — Киев, с. ш. № 179, 10 кл.
Т. РАДЬКО — Корсунь-Шевченкоский, с. ш. № 4, 10 кл.
К. СТЫРКАС — п. Черноголовка Москва, с. ш. № 82, 9 кл.
В. СУДАКОВ — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комаров, 10 кл.
Д. ТУЛЯКОВ — Жданов, с. ш. № 7, 8 кл.

А. ЧАГИРОВ — Алма-Ата, с. ш. № 56, 10 кл.
С. ШЕИНИН — Молодечно, с. ш. № 7, 10 кл.

По физике
С. АНАТОЛЬЕВ — Ярославль, с. ш. № 33, 10 кл.
А. БЕЛОПОЛЬСКИЙ — Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
И. БЕНА — Васлуй (СРР)
Ю. БОРОВСКИЙ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
А. ВИЛЬКОЦКИЙ — Минск, с. ш. № 16, 10 кл.
Л. ГОЛЬДШТЕЙН — Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
В. ЖЕВЛАКАОВ — п. Черноголовка Москва, с. ш. № 82, 10 кл.
В. ЗЕЛОВ — Новосибирск, ФМШ № 165 при НГУ, 10 кл.
В. КИРЬЯШКИН — Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
П. КЛАРК — Тула, с. ш. № 36, 10 кл.
К. ЛОПИН — Фрунзе, с. ш. № 61, 10 кл.
Д. МОГИЛЕВЦЕВ — Шклов, с. ш. № 4, 10 кл.
С. МЯГЧИЛОВ — Одесса, с. ш. № 16, 10 кл.
А. НЕДАЧИН — Киев, с. ш. № 145, 9 кл.
О. ОСАУЛЕНКО — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
В. ПЕСОЦКИЙ — Брестская обл., Дворецкая с. ш., 10 кл.
О. ПОСУДНЕВСКИЙ — Береза, с. ш. № 1, 10 кл.
Ю. РЫБАЛОЧКА — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
Т. САГАИДАК — Канев, с. ш. № 4, 10 кл.
В. САКВАЕВ — Алма-Ата, РОФМШ, 10 кл.
В. САМОЙЛОВ — Киев, ФМШ № 2 при КГУ, 10 кл.
М. СИТНИКОВ — Климовск, с. ш. № 5, 10 кл.
О. ЮСУХНО — Киев, с. ш. № 145, 9 кл.

Уравнение касательной

1. $K = \frac{3}{16}$.
2. $(1 - \sqrt{2}; \sqrt{2}), (1 + \sqrt{2}; -\sqrt{2})$.
3. $y = -x + \frac{5}{2}$.
4. $\frac{48}{25} \sqrt{\frac{5}{4}}$ при $c = \frac{4}{5}$.

«Квант» для младших школьников

1. Сумма указаных чисел $40+45+44+27 = 156$ есть утеоенная стоимость всех четырех марок. Таким образом, четыре марки стоят 52 копейки. Вычитая из 52 копеек сумму в 40 копеек, получим 12 копеек — стоимость кубинской марки. Аналогично стоимость монгольской марки 7 копеек, болгарской — 8 копеек, польской — 25 копеек.

2. Обозначим искомое число через $x$. Тогда $x+16=n^2$, а $x-16=k^2$. Отсюда $n^2-k^2=32 = 1 \cdot 32 = 2 \cdot 16 = 4 \cdot 8 = (n+k)(n-k)$. Получаем две системы уравнения: $n+k=16, n-k=2$ и $n+k=8, n-k=4$. (Случай $n+k=32, n-k=1$ отпадает, так как числа $n$ и $k$ должны иметь одинаковую четность). В первом случае $n=9, k=7, x=65$; во втором случае $n=6, k=2, x=20$. Таким образом, только числа 20 и 65 обладают указаным в задане свойством.

3. Когда человек безит по бревну, он просто не успевает упасть.

4. Заметим, что сумма площадей четырех треугольников $ADE, ACF, BDE$ и $BCF$ равна площади прямоугольника. С другой стороны, эта сумма равен удвоенной площади красной части прямоугольника плоской белой его части. Аналогично сумма площадей четырех треугольников $BCD, BEF, ACD$ и $AEF$ равняется площади прямоугольника, и в то же время равна площадь белой части плоской удвоенной площади синего части. Отсюда следует утверждение задачи.

5. Прием за основание системы числения число $n$. Из первого справа столбца следует, что бука О равна нулю. Таким образом, переносы единиц будут из второго столбца в третий и из четвертого в пятый. Отсюда получаем соответствия: $2T=n+I$, $I+1=K$, $K+I=n$, $K+1=T$. Таким образом, $n=7$, $I=3$, $K=4$, $T=5$.

Необходимая девочка (см. с. 50)

Когда мы говорим, что у человека две ноги, а у собаки — четыре legs, мы даже не задумываемся о том, в какой системе числения мы считаем. Говоря, «это черпахе это лет», мы подразумеваем, что

$$100 = 1 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0.$$

И вообше, если $a_1, a_2, \dots, a_n$ — цифры числа, то само число $A = a_1 a_2 \dots a_n$ мы считаем равным $a_1 \cdot 10^n + a_2 \cdot 10^{n-1} + \dots + a_n \cdot 10^0$. На самом деле так будет только в десятичной системе числения, основание которого равно десяти. Однако в качестве основания системы числения можно взять любое натуральное число $q > 1$; число $a_1 a_2 \dots a_n$ в такой $q$-ичной системе числения будет равно

$$a_1 a_2 \dots a_n = a_1 q^n + a_2 q^{n-1} + \dots + a_n q^0.$$

В какой же системе числения у девочки может быть 10 рук, 10 ушей и 10 глаз? Только в такой, в которой 10 будет равно числу 2, то есть $10_q = 1 \cdot q^1 + 0 \cdot q^0 = 2$. Таким образом, $q=2$, значит, в этом стихотворении все происходит в двойной системе числения. В этой системе

$$100 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 4,$$

$$101 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 5,$$

$$1100 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 12.$$

Девочка было 12 лет, она училась в пятом классе.

Московский инженерно-физический институт Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. 36, 45, 54, 63. Указание. Если $A=10x+y$, где $x$ и $y$ — цифры, то по условияю

$$\begin{cases} |1x-y| \leq 3, \\ x+y=9. \end{cases}$$

2. $\{\log_3(1+\sqrt{1-a})\}$ при $a \in ]-\infty; 0]$; $\{\log_3(1+\sqrt{1-a})\}$ при $a \in ]0; 1]$; $\emptyset$ при $a \in ]1; +\infty[$. Указание. Уравнение после замены $t=3^x$ приводится к виду $t^2-2t+a=0$ и имеет корни $t_{1,2}=1 \pm \sqrt{1-a}$ при $a \leq 1$. Необходимо еще учеть, что $t>0$.

3. $x_1=1+\left(\frac{2\pi k}{b}\right)^2, x_2=1+\frac{4\pi^2}{9b^2}(3l+1)^2(k, l \in Z)$, $k \geq 0, l \geq 0$ при $b \in ]0; +\infty[$; $x \in [1; +\infty[$ при $b=0; x_1=1+\left(\frac{2\pi k}{b}\right)^2; x_2=1+\frac{4\pi^2}{9b^2}(3l+1)^2(k, l \in Z)$, $k \leq 0, l < 0$ при $b \in ]-\infty; 0[$. Указание. При $b \neq 0$ уравнение приводится к виду $b \sqrt{x-1} = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$ при $n \in Z$. Если $n=2k$, то $b \sqrt{x-1} = 2\pi k$. Если $b>0$, то при $k \geq 0$ имеем $x_1=1+\left(\frac{2\pi k}{b}\right)^2$. Если $b<0$, то $x_1=1+\left(\frac{2\pi k}{b}\right)^2$. Аналогично рассматривается случай нечетного $n=2l+1$.

4. $S_1=\frac{kh^3}{4k^2-h^2}; S_2=\frac{kh(k^2-h^2)}{4k^2-h^2}$, если $\frac{h}{k} \in ]1; \sqrt{2}[$. $S=\frac{kh^3}{4k^2-h^2}$, если $\frac{h}{k} \in ]0; 1[$. Указание. Поскольку точки $A$ и $C$ (рис. 1) одинаково удалены от плоскости BSD, $|AD|=|DC|$. Это значит, что $\triangle ASC$ равноведен и $(AC) \perp (BSD)$. Пусть $|AS|=l, |AC|=a, |SB|=x, \widehat{ASC}=a$. Тогда $\begin{cases} ak=hl, \\ k^2+\frac{a^2}{4}=l^2, \end{cases}$ откуда $a=\frac{2kh}{\sqrt{4k^2-h^2}}, l=\frac{2k^2}{\sqrt{4k^2-h^2}}$, причем $\frac{h}{k}<2$.

Пусть $K, N, M$ — середины ребер AS, AB и BC соответственно. Сечение прямых плоскостей KNM — параллелограмм KLMN, так как

61

Рис. 1.

(LM) || (SB), (KL) || (AC) и (SB) ⊥ (AC), параллелограмм KLMN являются прямогольником с площадью $\frac{ax}{4}$. По теореме косинусов $|AC|^2 = 2l^2 - 2l^2\cos \alpha = |BC|^2 = x^2 + l^2 - 2lx\cos \alpha$, откуда $x_1 = l$, $x_2 = l(1 - 2\cos \alpha)$.

Из $\triangle ASC$ получаем $\cos \alpha = \frac{2k^2 - h^2}{2k^2}$, поэтому $x_2 = l\frac{h^2 - k^2}{k^2}$. Если $h \leq k$, имеется лишь одна парамида, удовлетворяющая условию задачи. Если $k < h < k\sqrt{2}$, то имеется две парамиды (правильная с $x_1 = l$ и неправильная с $x_2 = l(1 - 2\cos \alpha)$).

Вариант 2

1. $x = \pm \frac{1}{4}\arccos \frac{9 - 4a}{9} + \frac{\pi n}{2}$, ($n \in \mathbb{Z}$) при $0 < a \leq \frac{9}{2}$. При остальных значениях $a$ решений нет. Указание. При $a = 0$ решений нет. При $a \neq 0$ воспользуйтесь соответствием $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$.

2. $10,5 - \frac{6}{25}a$; задача имеет решение при $a \in \left[\frac{175}{6}; 35\right] \cup \left[35; \frac{175}{4}\right]$. Указание. Пусть в первом соудержится $x$ литров шелочи, а во втором — $y$ литров. Из условия следует система

$$\begin{cases} \frac{x+y}{10} = \frac{35}{100}, \\ \frac{3x}{4} + \frac{3y}{6} = \frac{a}{100}, \\ 0 < y < 6, 0 < x < 4. \end{cases}$$

3. $2\arctg \frac{\sqrt{4m_1^2 - m_2^2}}{3m_2}$ при $\frac{1}{2} < \frac{m_1}{m_2} < \sqrt{\frac{5}{2}}$; $\varphi \in \left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ при $m_1 = \sqrt{\frac{5}{2}}m_2$.

Указание. Пусть $O$ — точка пересечения медиан треугольника ASB. Из $\triangle AOD$ получаем $|AD| = \frac{1}{3}\sqrt{4m_1^2 - m_2^2}$. Рассмотрим два случая: a) $\triangle ASB$ — остроугольный, b) $\triangle ASB$ — неостроугольный. В случае a) треугольник ASB является осевым сечением конуса, и поэтому искомый угол $\varphi = 2\arctg \frac{\sqrt{4m_1^2 - m_2^2}}{3m_2}$. Этот случай реализуется при $tg \frac{\varphi}{2} < 1$, то есть когда $\frac{1}{2} < \frac{m_1}{m_2} < \sqrt{\frac{5}{2}}$. В случае 6) треугольник ASB наиболее плоскый, поэтому быть прямой seizureя ASB конуса, проходящero через вершину $S$, равен $\frac{1}{2}l^2\sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между образующими AS и BS, и поэтому принимает наиболее плоское значение $\frac{\pi}{2} \leq \varphi < \pi$.

4. $f'(x) = \frac{4-2x}{(x^2 - 4x + a)^2}; a \in ] - \infty; -21[ \cup [5; +\infty]$.

Указание. Для того чтобы $f(x)$ была определенна при всех $x \in [5; 7]$, необходимо и достаточно, чтобы уравнение $\varphi(x) = x^2 - 4x + a = 0$ не имело корней на этом отрезке. Это в свою очередь будет тогда и только тогда, когда $\varphi(5) > 0$ и $\varphi(7) > 0$, или $\varphi(5) < 0$ и $\varphi(7) < 0$, то есть, когда $\varphi(5) \cdot \varphi(7) > 0$. Поскольку $f'(x) < 0$, при $x \in [5; 7]$ задача свойства к решению неравенства $f(5) \leq \frac{1}{10}$.

Физика

1. Запишем условия равновесия стержня:

$$Mg\left(\frac{l}{2} - \Delta l\right) = 2T\left(\frac{l}{2} + \Delta l\right),$$

где $T$ — сила натяжения нити, на которой подвешены грузы массой $m_1$ и $m_2$. Эту силу можно найти, используя второй закон Ньютона:

$$m_1a = m_1g - T,$$

$$-m_2a = m_2g - T,$$

откуда

$$T = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}.$$

Подставляя этот результат в условия равновесия стержня и использовать уравнение для масс $m_1$ и $m_2$:

$$m_1^2 - m_2^2 + M + \frac{M^2}{4}\left(\frac{l/2 - \Delta l}{l/2 + \Delta l}\right) = 0.$$

Решение этого уравнения дает

$$m_1 = \frac{M}{2}\left(1 + \sqrt{\frac{4\Delta l}{l + 2\Delta l}}\right) = 1,67 \text{ кг},$$

$$m_2 = \frac{M}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{4\Delta l}{l + 2\Delta l}}\right) = 0,33 \text{ кг}.$$

2. При движении вверх по наклонной плоскости шайба заменяется силой тяжестеки и силой трения. При этом ускорение шайбы

$$a_1 = g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$$

и время движения

$$t_1 = \frac{v_0}{a_1} = \frac{v_0}{g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)} = 1,6 \text{ с}.$$

Поскольку задачи требуют вычисления работы за время $t = 3,5$ с ($t > t_1$), необходимо рассмотреть также движение шайбы вниз по наклонной плоскости. В этом случае ускорение шайбы

$$a_2 = g(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)$$

62

и время движения
$$t_2 = t - t_1.$$
За время $t$ шайба прохит путь
$$l = \frac{v_0^2}{2a_1} + \frac{a_2 t_2^2}{2}.$$
На этом пути сила треня $F_{\text{тр}} = \mu mg \cos \alpha$ совершает над шайбой работу
$$A_{\text{тр}} = -F_{\text{тр}} l = -\frac{\mu m \cos \alpha}{2} \left( \frac{v_0^2}{\sin \alpha + \mu \cos \alpha} + g^2 (\sin \alpha - \mu \cos \alpha) \left( t - \frac{v_0}{g (\sin \alpha + \mu \cos \alpha)} \right)^2 \right) = -7,2 \text{ Дж}.$$
3. Для нахождения силы натяжения нити $T$ и ускорения грузов $a$ запишем второй закон Ньютона для тел $A$ и $B$:
$$ma = T - mg \sin \alpha,$$
$$ma = mg - T,$$
откуда получаем
$$a = \frac{g}{2} (1 - \sin \alpha); \quad T = \frac{mg}{2} (1 + \sin \alpha).$$
Мощность $N$, развиваемая силой натяжения нити, через время $t$ после начала движения можно найти по формуле
$$N = T a t = \frac{mg^2 t}{4} (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = \frac{mg^2 t}{4} \cos^2 \alpha = 75 \text{ Вт.}$$
4. Давление $p_1$ и объем $V_1$ газа в начальном состоянии 1 связаны с давлением $p_3$ и объемом $V_3$ в конечном состоянии 3 уравнений состояния
$$p_1 V_1 = p_3 V_3 = RT_1.$$
Газ совершает работу только при переходе из промежутного состояния 2 в конечное состояние 3:
$$A = p_3 (V_3 - V_1) = p_3 V_3 \left( 1 - \frac{V_1}{V_3} \right) = RT_1 \left( 1 - \frac{1}{n} \right).$$
Отсюда получаем
$$T_1 = \frac{n A}{R(n-1)} = 300 \text{ К.}$$
5. Запишем второй закон Ньютона для движения шарика до и после внесения заряда в центр окружности:
$$m \omega_1^2 R = mg t g \alpha,$$
$$m \omega_2^2 R = mg t g \alpha - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 R^2},$$
где $\alpha$ — угол между нитью подвеса и вертикалью. Из этих уравнений находится
$$\omega_2 = \sqrt{\omega_1^2 - \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 R^3 m}} = 1,7 \text{ с}^{-1}.$$
6. В тот момент, когда нить занимает вертикальное положение, второй закон Ньютона в проекции на вертикальное ось запишется в виде
$$F - mg = \frac{mv^2}{l},$$
где $F$ — сила натяжения нити, $v$ — скорость шарика в этот момент, $l$ — длина нити. Скорость $v$ можно найти с помощью закона сохранения энергии
$$\frac{mv^2}{2} = m g l (1 - \cos \alpha) + q E l \sin \alpha.$$
Решая полученную систему уравнений, находим
$$F = mg + 2 mg (1 - \cos \alpha) + 2 q E \sin \alpha = mg (3 - 2 \cos \alpha) + 2 q E \sin \alpha = 18,4 \text{ Н.}$$

7. Мощность, потребляемую лампой сразу после ее включения, запишем в виде
   $$P = \frac{U^2}{R},$$
   где $U$ — напряжение на лампе, $R = R_0 \times (1 + a t_k)$ — сопротивление спирали при комнатной температуре $t_k \approx 20^\circ \text{C}$ ($R_0$ — сопротивление при $0^\circ \text{C}$). После нагрева сопротивление спирали увеличивается до значения $R' = R_0 (1 + a t)$, и лампа потребляет мощность
   $$P' = \frac{U^2}{R'} = \frac{PR}{R'} = P \frac{1 + a t_k}{1 + a t} \approx 44 \text{ Вт.}$$
8. Сила, с которой пучок действует на пластинку, может быть вычислена по формуле
   $$F = \frac{\Delta P}{\Delta t},$$
   где $\Delta P$ — импульс пучка протонов, передаанный пластинке за время $\Delta t$. Преобразуем эту формулу следующим образом:
   $$F = mv \frac{\Delta N}{\Delta t} = \frac{mv}{e} \frac{e \Delta N}{\Delta t} = \frac{mv}{e} \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{mv}{e} I.$$
   Здесяв $v$ — скорость протонов, $\Delta N$ — число протонов, попадающих на пластинку за время $\Delta t$, $\Delta q$ — заряд протонов, достигающих пластинку за время $\Delta t$. Скорость $v$ найдем с помощью закона сохранения энергии:
   $$\frac{mv^2}{2} = e U, \quad v = \sqrt{\frac{2 e U}{m}}.$$
   Теперь окончательно получаем
   $$F = I \sqrt{\frac{2 m U}{e}} = 1,6 \cdot 10^{-3} \text{ Н.}$$
9. В области магнитного поля протон движется по дуге окружности и вылетает под углом $a$ (рис. 2). Время $t$ движения протона в области магнитного поля связано со вверменем полного оборота $T$ соответствием
   $$\tau = \frac{\pi + 2 a}{2 \pi} T.$$
   Для вычисления времени $T = 2 \pi R / v$ необходимо найти отношение скорости протона $v$ к радиусу траектории $R$. Это отношение получим из уравнения движения протона
   $$\frac{mv^2}{R} = ev B, \quad \frac{v}{R} = \frac{e B}{m}.$$
   Таким образом,
   $$T = \frac{2 \pi m}{e B}.$$
   Подставив этот результат в формулу для времени $t$ и решив полученное уравнение относительно индукции магнитного поля, найдем
   $$B = \frac{(\pi + 2 a) m}{e \tau} = 8,4 \cdot 10^{-3} \text{ Тл.}$$

Puc. 2.

63

10. При движении проводника со скоростью $v_2$ ЭДС индикции $Blv_2$ оказывается равной ЭДС и источника тока:
    $$\mathcal{E} - Blv_2 = 0, \quad \mathcal{E} = Blv_2.$$
    Следовательно, при движении проводника со скоростью $v_1$ по цепи потечет ток
    $$I = \frac{\mathcal{E} - Blv_1}{r + R} = \frac{Bl(v_2 - v_1)}{r + R} = 1,0 \text{ A}.$$

Московский институт стали и сплавов
Математика

1. (9). 2. (2). 3. (-1). 4. (20). 5. (3). 6. (100).
2. (1,125). 8. (67). 9. (1,5). 10. (5). 11. (204).
3. (21).

Физика

1. $t = \sqrt{\frac{2l}{F/m} - \mu g(1 + m/M)} \approx 0,52 \text{ c}.$
2. $\tau = m(c\Delta T + \lambda)/P = 10 \, 200 \text{ c}.$
3. $m = \eta kW/U \approx 0,63 \text{ кг}.$
4. $T = \pi \sqrt{2l/g} \approx 0,63 \text{ c}.$
5. $t = \frac{c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_2}{c_1 m_1 + c_2 m_2} \approx 17,7^\circ \text{ C}.$
6. $h = D \sqrt{n^2 - 1}/2 \approx 0,885 \text{ м}.$
7. $\varphi_2 = \varphi_1 \frac{p_{\text{H1}}}{p_{\text{H2}}} \frac{T_2}{T_1} \approx 62 \%.$
8. $R' = 500 \text{ Ом}.$
9. $m_1/m_2 = (r_1/r_2)^2 = 4.$
10. $\mu = 4\pi^2 n^2 r/g \approx 0,025.$
11. $E_k = hc/\lambda - A \approx 1,84 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1,15 \text{ ЭВ}$ (здесь $h = 6,62 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$ — постоянная Планка, $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/c}$ — скорость света, $1 \text{ ЭВ} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}.$)
12. $F_1 = l - F_2 = 0,06 \text{ м} = 6 \text{ см}.$

Московский энергетический институт
Математика
Писменный экзамен

1. $2 \cdot (a^2 + b^2)^{-1}$ при $a \neq 0, b \neq 0, a \neq \pm b$.
2. $\left\{ \left(\frac{9}{4}; \frac{3}{8}\right), \left(\frac{3}{8}; \frac{9}{4}\right) \right\}$.
3. $\left\{ \frac{7}{6}; -\frac{1}{2} \right\}$.
4. $x = -\frac{3\pi}{2}$.
5. $\left\{ \arcsin \frac{2}{\pi}; \pi - \arcsin \frac{2}{\pi} \right\}$.

Задание устного экзамена

1. а) Диагонали параллелограмма должны быть конгруэнтны друг другу; 6) Диагонали параллелограмма должны быть перпендикулярны друг другу.

2. Воспользуйтесь неравенством Коши: $a + b \geq 2\sqrt{ab}, a, b \geq 0$.

3. 0. Указание e. Учитите, что область определения данного выражения является множество.
      $$\{(a, b, c) : a + b + c = 0; ab + bc + ca \geq 0\} \equiv \{(a, b, c) : a + b + c = 0; ab + bc + ca = 0\}.$$

4. $T = 2\pi$.

5. $M = 2 + \sqrt{5}, m = 2 - \sqrt{5}$.

6. Два.

7. $|x| \leq 4$. Указание e. Доказите, что sin $x \cdot \sin 7x \neq 1$.

8. Указание e. Учитите область определения функции.

9. 1 при $x > 0$.

10. $x = \frac{1}{n} (a_1 + a_2 + \dots + a_n)$.

Физика
Писменный экзамен
2. $v_1(t) = t; v_2(t) = 3 - 0,6t; \text{см. рис. 3.}$

Рис. 3.
3. $T_2 = T_1 p_2/p_1 = 250 \text{ K}; t_2 = -23^\circ \text{ C}$.
4. $v_{\text{max}} = \frac{2hc}{\lambda m} - \frac{2A}{m} \approx 6,2 \cdot 10^5 \text{ м/c}$.
5. $v = \sqrt{\frac{qEB}{m \cos^2 \alpha (\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta)}} = 2,7 \text{ м/c}$.
Вариант 2
2. Нацыщенный водяной пар.
3. Мнимое, прямое и уменшенное изображение на расстоянии $f = dF/(d + F) = 3,3 \text{ см от линзы}$.
4. $L = U_m/(\omega^2 q_m) = 10^{-3} \text{ Гн}$.
5. $r = R^2/R_{\text{Б}} = 0,8 \text{ Ом}$.

Московский институт радиотехники, электронники и автоматики
Математика
Вариант 1

1. {0; 126/65}. Указание e. Поскольку $x = 2$ не является корнем данного уровня, оно приводится к виду $t^2 + 4t - 5 = 0$,
   где $t = \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$.
2. $]\log_9 7; 1[ \cup ]1; +\infty[.$
3. $\frac{7}{9} \pi.$
4. 5 см.
5. 320 м.
   Вариант 2
6. {-4/3; 4}. 2. $(\sqrt{21} - 3)/6$. 3. $\pi/3$.
7. 6 см. 5. $-\infty; \frac{1}{2}[.$

Физика

1. $T = mg \frac{\sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = 0,1 \text{ H}$.
2. $\Delta h = (\rho_1 h_1 - \rho_2 h_2)/\rho \approx 0,5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,5 \text{ см}$.
3. $Q = (\rho_1 - \rho_2) Vgh = 4,5 \cdot 10^{-2} \text{ Дж}$.
4. $p_a = \rho la (n + 1)/(n - 1) \approx 10^5 \text{ Па}$.
5. Период колебаний уменшается в $\sqrt{1 + \frac{qE}{mg}}$ раз.
6. $\Delta T = \frac{\eta P^2 \rho t}{U^2 S^2 cD} \approx 0,8 \text{ K}$.
7. $R_i = \frac{\mathcal{E} + L \Delta I/\Delta t}{\mathcal{E} - \Delta I/\Delta t} = 15,25 \text{ Ом}$.

64

8. $x = 2\sqrt{2Wm}/(qB) \approx 0,72$ m.
9. $F = 2d_1d_2/(d_1 + d_2) \approx 26,7$ cm. Указание. Светящие точки нахождения по разные стороны от линии.
10. Расстояние от собирающей линии до фотопленки равно $a_1 = 40$ cm либо $a_2 = 10$ cm.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 2)

1. 41 год.

Рис. 4.

Рис. 5.

Шахматная страница
(см. «Квант», 1985, № 11, 12)

Задание 21 (Л. Кайев, 1947, г.). 1. c5 h4 2. Ce6 de 3. c6 h3 4. c7 h2 5. c8Ф h1Ф 6. Фс3+ Крd5 7. Фс5+ Кре4 8. Фс6+.

Задание 22 (А. Селезнев, 1927 г.). 1. Крс4! Кр:f4 2. d5 Кре5 3. Крс5 a4 4. d6 Кре6 5. Крс6 a3 6. d7 a2 7. d8Ф a1Ф 8. Фe8+ Кpf6 9. Фh8+, 3…f4 4. d6 Кре6 5. Крс6 f3 6. d7 f2 7. d8Ф f1Ф 8. Фe8+ и 9. Фf8+.

Задание 23 (Э. Погосянц, 1982 г.). Для решения задачи прежде всего следует повернуть доку на $180^\circ$, после чего король переставляется с e1 на c1, завершая длину руководку (недостаточие полхода!).

Задание 24 (В. Сидоров, 1981 г.). Вот одна из позицией, где любой шах ферзем ведет к его потере. Белые: Кpb5, Фe8; черные: Кpb2, Фh2.

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: Л. Г. Асламазов, А. А. Леонович, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев
Редакционная коллекция: А. А. Абриковов, М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, А. А. Варламов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Добилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Белев, В. В. Буховцев, Е. П. Белихов, И. Я. Верченko, В. В. Возввиженский, Г. В. Дорофев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патриkeeва, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенко, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовки:
А. А. Варламов, А. Н. Виленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров, И. Н. Клумова, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформления:
Е. В. Винодарова, М. В. Дубах, Т. Н. Кольченко, Д. А. Крымов, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина, П. И. Чернуский, В. В. Юдин
Фото представил А. С. Кондратьев

Заведующая редакция Л. В. Чернова

Редактор отдел художественного оформления
С. В. Иванов

Художественный редактор Т. М. Макарова

Корректор Н. Д. Дорожова

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, •Квант•, тел. 250-33-54

Сдано в набор 22.1.86. Подписано к печати 20.2.86
Печать офсетная. Усл. кр.-отт. 23,8
Вумага 70×108 1/16
Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,32. Т-06916
Тираж 200 527 экз.
Цена 40 коп. Заказ 91

Ордена Трудового Красного Заменини
Чеховский полигraphический комбинат
ВО •Союзполиграфром•
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphии и книжной торговли
142300 г. Чехов Московской области