О касательной к графику функции

17

О касательной к графику функции

Член-корреспондент АН СССР
Д. К. ФАДДЕЕВ,
И. Ф. СОКОЛОВСКИЙ

Основная цель этой статьи — наглядно пояснить, чем касательная к графику дифференцируемой функции отличается от других прямых, проходящих через точку касания. Оказывается, ответ на этот вопрос не только проясняет геометрический смысл касательной, но позволяет находить ее уравнение, не вычисляя производную функцию.

Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $M(x_0; f(x_0))$ чаще всего определяется как предельное положение секущей $MN$, когда точка $N$ неограниченно приближается к точке $M$, двигаясь по графику функции (рис. 1). Из этого определения выводится («Алгебра и начала анализа», п. 23) известное уравнение касательной

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0),$$

(1) где $f'(x_0)$ — значение производной $f'$ функции $f$ при $x = x_0$. Эта формула верна в предположении, что функция $f$ имеет производную в точке $x_0$.

Может возникнуть вопрос: «Почему собственно понятно касательной удаляется столько внимания? Чем касательная в точке $(x_0; y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$, «лучше» других прямых, проходящих через эту точку?» Ведь в общем случае о касательной к графику функции нельзя даже сказать (по аналогии с касательной к окружности), что она имеет единственную общую точку с графиком функции. Далее, касательная к графику функции может пересекать график, переходя с одной стороны графика на другую, именно в точке касания; например, так ведет себя касательная к графику функции $y = x^3$ в точке $(0; 0)$, или касательная к графику функции $y = x^3 - 3x^2$ в точке $(1; -2)$. А касательная к графику функции $y = x^4$ sin $(1/x)$ пересекает график бесконечное число раз.

Итак, чем же применять касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0; y_0)$? Оказывется, что в достаточно малой окрестности точки касания касательная принадлежится к графику функции плотнее, чем любая другая пряма, проходящая через точку касания. Разберемся в этом детальнее.

Пусть $y = f(x)$ — данная функция, имеющая производную $f'(x_0)$ в данной точке $x_0$. Уравнение произвольной наклонной прямы, проходящей через точку $(x_0; y_0)$, имеет вид $y = k(x - x_0) + y_0$. При $k = f'(x_0)$ получаем уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0; y_0)$. Одината точки на графике.funcции $y = f(x)$ отличается от ordinаты соответствующей точки на прямой на вершину

$$\varepsilon = f(x) - (k(x - x_0) + f(x_0)) = f(x) - f(x_0) - k(x - x_0) = (x - x_0) \left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - k \right).$$

Вводя обозначения $x - x_0 = \Delta x$ и $f(x) - f(x_0) = \Delta f(x_0)$, это выражение можно записать короче:

$$\varepsilon = \Delta x \cdot \left( \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} - k \right).$$

Если $k = f'(x_0)$, то есть в случае касательной, при $\Delta x \to 0$ имеем $\frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} \to f'(x_0)$ и, следовательно, каждый компонент в правой части равенства стремится к нулю.

Рис. 1.

18

Если $k \neq f'(x_0)$, то $k = f'(x_0) + c$, где $c$ — неокоторая константа, не равная нулю. Тогда

$$\varepsilon = \Delta x \left( \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} - f'(x_0) - c \right).$$

При $\Delta x \to 0$ второй сомножитель в правой части равенства стремится к $c \neq 0$. Таким образом, при $\Delta x \to 0$ точка на касательной существует быстрее приближается к соответствующей точке графика, нежели точка с той же абсциссой, на прямой, отличной от касательной.

Что особенно важное, касательная прижимается к кривой не просто количественно лучше других прямых, а в неокотром смысле «на порядок лучше». Поясим это.

Перепишем выражение для $\varepsilon$ в случае $k \neq f'(x_0)$ в виде

$$\varepsilon = \Delta x \left( \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} - f'(x_0) \right) - c \Delta x.$$

Из такой формулы записи видно, что в случае, когда прямая отлича от касательной, разность между ordinатами соответствующих точек на прямой и на графике функций содержит слагаемое пропорциональное $\Delta x$, то есть вид $c \cdot \Delta x$, где $c$ — постоянная, в случае же приближения по касательной расстояние между точкой на прямой и соответствующей точкой на графике уменшается «на порядок быстрее», чем само $\Delta x$, то есть имеет вид $\gamma \cdot \Delta x$, где $\gamma$ — переменная, стремишая к нулю вместе с $\Delta x$. Таким образом, среди всех прямых, проходящих через точку графика функции, только касательная отличается от функции на величины, не содержащую линейного слагаемого относительно $\Delta x$.

Это свойство касательной и составляет ту особенность, которая выделяет ее из всего семейства прямых, проходящих через точку касания. Оно вполне характеризует касательную и поэтому может быть положено в основу определения касательной; тогда производную функцию в точке можно определить как угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Выведенное свойство касательной обосновывает метод получения уравнения касательной через приближенные равенства, оценывающие значение функции величиз точки касания. Показем применение этого метода на примерах. (В дальнейшем $\Delta x$ будем обозначать буквой $\alpha$.)

При мер 1. Напишем уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 3x - 6$ в точке $x_0 = -1$.

Решение е. Пусть $x = -1 + \alpha$, где $|\alpha|$ близок к нулю. Тогда $f(-1 + \alpha) = (-1 + \alpha)^2 - 3(-1 + \alpha) - 6 = 1 - 2\alpha + \alpha^2 + 3 - 3\alpha - 6 = -5\alpha + \alpha^2 - 2$. Преобразая $\alpha^2$, получим $f(-1 + \alpha) \approx -5\alpha - 2$. Вернемся к старым обозначениям; получим $f(x) \approx -5x - 7$ величиз $x_0 = -1$. Примяя $y = -5x - 7$ величиз $x_0 = -1$ отличается от $f(x)$ на величины, не содержащую линейного относительного $\alpha$ слагаемого, а таким свойством обладает только касательная, значит, $y = -5x - 7$ уравнение касательной к графику данной функции в точке $x_0 = -1$. (Проверьте этот результат, получив уравнение касательной по формуле (1).)

При мер 2. Выведем уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2$ в произвольной точке $x_0$.

Решение е. Пусть $x = x_0 + \alpha$, где $|\alpha|$ близок к нулю. Тогда $f(x_0 + \alpha) = x_0^2 + 2x_0\alpha + \alpha^2$. Преобразаем $\alpha^2$ и получаем $f(x_0 + \alpha) \approx x_0^2 + 2x_0 \times (x - x_0) = x_0^2 + 2x_0x - 2x_0^2 = 2x_0x - x_0^2$. Примяя $y = 2x_0x - x_0^2$ касательная к графику функции в точке $x_0$, угловой коэффициент касательной $2x_0$ — производная функция $x^2$ в точке $x_0$.

Особенно простым становится вывод уравнения касательной в случае, когда выражение, задающее функцию $f(x)$, содержит линейные множители вида $(x - x_0)$.

При мер 3. Напишем уравнение касательных к графику функции

$$y = (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)$$

в точках пересечения графика с осью абсцисс.

Решение е. Пусть $x = x_0 + \alpha$, $y = \alpha(x_0 - x_1 + \alpha)(x_0 - x_2 + \alpha)$. Ясно, что при раскрытии скобок слагаемого, линейное относительное $\alpha$, имеет вид $\alpha(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)$, тогда

$$y = (x - x_0)(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)$$

— уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$. Аналогично получаем уравнение касательных в точках $x_1$ и $x_2$:

$$y = (x - x_1)(x_1 - x_0)(x_1 - x_2),$$

$$y = (x - x_2)(x_2 - x_0)(x_2 - x_1).$$

Показем конкретные примеры, в которых надо найти уравнение касательной в точке $x_0$.