Уравнение касательной

51

Уравнение касательной

В. М. БЕККЕР,
В. М. ГОЛЛЬХОВОЙ,
кандидат педагогических наук Ю. И. ИОНИН

В этой статье мы разберем несколько типов задачи по теме «Касательная», часто предложаем на конкретных экзаменах по математике.

Напомним, что уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент $k$ и проходящий через точку $M(x_0; y_0)$, можно записать в виде $y = k(x - x_0) + y$. Так как угловой коэффициент касательной к графику дифференцируемой функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен $f'(x_0)$, уравнение касательной имеет вид

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$$

Таким образом, чтобы написать уравнение касательной, нужно знать три числа: $x_0$, $f(x_0)$ и $f'(x_0)$. Начнем с задачи, в которых из условия легко находится значение $x_0$, а затем вычислются $f(x_0)$, $f'(x_0)$.

Задача 1 (МГУ, психологический факультет, 1980). Вычислите площадь треугольника, ограниченной осями координат и касательной к графику функции $y = \frac{x}{2x - 1}$, в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Решение. Найдем уравнение касательной. Для этого вычислим последовательно $f(1)$, $f'(x)$, $f'(1)$:

$$f(1) = 1, f'(x) = -\frac{1}{(2x - 1)^2}, f'(1) = -1.$$

Уравнение касательной имеет вид $y = -(x - 1) + 1$, то есть $y = -x + 2$.

Эта прямая пересекает оси координат в точках $A$ (2; 0) и $B$ (0; 2). Таким образом, искомая площадь $S_{AOB} = \frac{1}{2} |OA| \cdot |OB| = 2$.

Задача 2 (Краснойский ГУ, математический факультет, 1980). Хорда парабольы $y = -a^2x^2 + 5ax - 4$ касется кривой $y = \frac{1}{1-x}$ в точке $x_0 = 2$ и делится этой точкой пополам. Найдите $a$.

Решение. Нашим уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{1}{1-x}$ в точке $M$ с абсциссой $x_0 = 2$:

$$f(2) = -1, f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2}, f'(2) = 1,$$

так что уравнение касательной имеет вид $y = x - 3$.

Предположим, что эта касательная пересекает данную парабolyну в точках $A$ и $B$. Абсциссы точки $A$ и $B$ это корни уравнения $-a^2x^2 + 5ax - 4 = x - 3$, или

$$-a^2x^2 + (5a - 1)x - 1 = 0.$$

Точка $M$ является серединой отрезка $AB$ в том и только в том случае, если абсцисса равна получиме абсцисса точки $A$ и $B$. Воспользовавшись теоремой Виета, это условие можно записать в виде равенства $\frac{5a - 1}{a^2} = 4$, которое выполняет при $a = 1$ и при $a = \frac{1}{4}$. Остается проверить, пересекаются ли при этих значениях $a$ данной парабolyну и прямая $y = x - 3$, то есть имеет ли корни уравнения (1). При $a = 1$ получаем уравнение $-x^2 + 4x - 1 = 0$ с положительным дискриптом, а при $a = \frac{1}{4}$ – уравнение $-\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{4}x - 1 = 0$ с отрицательным дискриптом.

Таким образом, $a = 1$.

Задача 3. Нашим уравнение касательной к парабolyну $y = 2x^2 - x - 1$ в точке с ординатом 5, если известно, что эта касательная не проходит через точку $M$ (1; -2).

Решение. В условии задачи задана не абсцисса, а ordinata точки касания. Для нахождения абсциссы решения $2x^2 - x - 1 = 5$. Получим два корня $x_1 = -\frac{3}{2}$, $x_2 = 2$. Пусть $f(x) = 2x^2 - x - 1$. Тогда $f'(x) = 4x - 1$, $f'(-\frac{3}{2}) = -7$, $f'(2) = 7$. Нашим уравнение касательных: $y = -7(x + \frac{3}{2}) + 5$ и $y = 7(x - 2) + 5$, то есть $y = -7x - 5,5$ и $y = 7x - 9$.

52

Подставив координаты точки $M$ в каждое из уравнений, мы обнаружим, что первая касательная не проходит через точку $M$, а второй проходит через эту точку.

Итак, ответ: $y = -7x - 5, 5$.

В задачах 4, 5, 6 условие, заданное касательную, позволяет найти значение произвольной в точке касания, а затем абсциссу и ordinateу этой точки.

Задача 4 (ЛГУ, биологический факультет, 1977). К графику функции $y = x^3 - x^2 - 13x + 4$ проведена касательная в точке второй четверти, где угловой коэффициент равен 3. Надите точки пересечения этой касательной с координатными осями.

Решение. Пусть $a$ — абсцисса точки касания. По условию $f'(a) = 3$. Так как $f'(x) = 3x^2 - 2x - 13$, для нахождения $a$ получаем уравнение $3a^2 - 2a - 13 = 3$, имеющее корни $-2$ и $8/3$. Значение $a = 8/3$ нужно отбросить (по условию задачи точка касания лежит во второй четверти). При $a = -2$ точка касания имеет координаты $(-2; 18)$ и лежит во второй четверти. Уравнение касательной имеет вид $y = 3x + 24$. Эта прямая пересекает оси координат в точках $(-8; 0)$ и $(0; 24)$.

Задача 5 (ЛГУ, математикомеханический факультет, 1977). При каком значении $a$ касательная к графику функции $y = a - x^2$ отсекает от первой четверти равноведренный прямой угольный треугольник с площадью, равной $\frac{9}{32}$?

Решение. Из условия задачи следует, что угол наклона касательной к оси абсцисс равен $135^\circ$. Поскольку $tg 135^\circ = -1$, абсцисса точки касания — это корень уравнения $-2x = -1$. Следовательно, уравнение касательной имеет вид $y = -x + a + \frac{1}{4}$. Эта прямая пересекает оси координат в точках $A(0; a + \frac{1}{4}), B(a + \frac{1}{4}; 0)$.

По условию задачи точки $A$ и $B$ лежат на положительных полуосах, так что $a + \frac{1}{4} > 0$. Площадь треугольника, о котором говорится в условия, равна $\frac{1}{2}(a + \frac{1}{4})^2$. Решив уравнение $\frac{1}{2}(a + \frac{1}{4})^2 = \frac{9}{32}$ (с учетом того, что $a + \frac{1}{4} > 0$), получим ответ: $a = \frac{1}{2}$.

Если прямая задана уравнению вида $y = kx + b$, то коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс (мы пользовались этим, решая задачу 5). Отсюда следует, что прямые, заданные уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, параллельны в том и только в том случае, если $k_1 = k_2$.

Задача 6 (Ереванский ГУ, факультет прикладной математики). В какой точке кривой $y = \sqrt{1+x^2}$ касательная параллельна прямой $y = 3x + 24$. Эта прямая пересекает оси координат в точках $(-8; 0)$ и $(0; 24)$.

Решение. Вычислим произвольную данную функцию: $y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $a$ равен значению произвольной в этой точке. По условию этот угловой коэффициент должен быть равен $\frac{1}{2}$. Таким образом, абсцисса искомой точки — это корень уравнения $\frac{a}{\sqrt{1+a^2}} = \frac{1}{2}$. Решая это уравнение, получаем $a = 1/\sqrt{3}$.

Ответ: $(1/\sqrt{3}; 2/\sqrt{3})$.

Задача 7 (МАИ, 1981). В каких точках графика функции $y = (1-x)\times(1+x)^2$ надо проверить к нему касательные, чтобы они проходит через точку $(-1; 0)$?

Решение. Обозначим через $t$ абсциссу точки касания. Так как $y' = -(1+x)^2 + 2(1+x)(1-x) = (1+x)\times(1-3x)$, уравнение касательной имеет вид $y = (1+t)(1-3t)(x-t) + (1-t)(1+t)^2$. Условие проходитняя касательной через точку $(-1; 0)$ запишется теперь в виде уравнения относительно $t$:

$$0 = (1+t)(1-3t)(-1-t) + (1-t)(1+t)^2,$$

которое легко преобразуется к виду $(1+t)^2 \cdot 2t = 0$. Корни этого уравнения $t = 0$, $t = -1$ — абсциссы искомых точек; их ordinаты находим, вычисляя соответствующие значения данной функции. Ответ: $(0; 1), (-1; 0)$.

Задача 8 (Воронежский ГУ, математический факультет). Найдите уравнение касательной к кривой

53

$$y = \frac{x+1}{x},$$
если известно, что касательная проходит через точку $M(a; b)$.
Сколько существует решений в зависимости от точки $M(a; b)$?

Решение. Ответ на второй вопрос задачи легко представить себе, если посмотреть на график данной функции. На рисунке красным цветом изображена гипербола $1 + \frac{1}{x}$ и ее асимптоты (кроме точки их пересечения). Через каждую красную точку можно проведить одну касательную. Синним цветом изображены области, из точки которых можно проведены две касательные к одной ветви гиперболы. Через точки зеленых области также проходят две касательные, но по одной к каждой ветви гиперболы. Из точки же области, закрашенных желтым цветом, к данной гиперболе касательную проведены нелязья.

Обозначим теперь через $t$ абсциссу произвольной точки данной гиперболы и написем уравнение касательной в этой точке: $y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t} + 1$. Эта прямая проходит через точку $M(a; b)$ в том и только в том случае, если $b = -\frac{1}{t^2}a + \frac{2}{t} + 1$. Это условие равносильно системе
$$\begin{cases} (b-1)t^2 - 2t + a = 0, \\ t \neq 0. \end{cases}$$

Прежде всего рассмотрим случай $b=1$ (в этом случае уравнение (2) является линейным) и $a=0$ (это единственный случай, когда уравнение (2) имеет корень $t=0$).

При $b=1$ уравнение (2) имеет единственный корень $t = \frac{a}{2}$, отличный от нуля при $a \neq 0$. Уравнение единственный касательной в этом случае имеет вид $y = -\frac{4}{a^2}x + \frac{4}{a} + 1$.

При $a=0$ и $b \neq 1$ уравнение (2) имеет единственный от нуля корень $t = \frac{2}{b-1}$. Уравнение единственный касательной в этом случае имеет вид $y = -\frac{(b-1)^2}{4}x + b$.

Наконец, при $a=0, b=1$ уравнение (2) ненулевых корней не имеет.

Пусть теперь $b \neq 1, a \neq 0$. Дискриминент квадратного уравнения (2) равен $4(1+a-a b)$. Если $1+a-a b < 0$, то уравнение (2) корней не имеет, и, следовательно, уравнение $M(a; b)$ нельзя проведити касательную к графику данной функции. Заметим, что неравенство $1+a-a b < 0$ можно при $a > 0$ записать в виде $b > \frac{1+a}{a}$, а при $a < 0$ – в виде $b < \frac{1+a}{a}$. Таким образом, это неравенство задает желтые области на рисунке.

Если $1+a-a b = 0$ (то есть точка $M(a; b)$ лежит на гиперболе), то уравнение (2) имеет единственный корень $t = a$, и уравнение касательной имеет вид $y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a} + 1$.

Если $1+a-a b > 0$, то уравнение (2) имеет два корня $t = \frac{1 \pm \sqrt{1+a-a b}}{b-1}$. Подставляя эти корни в уравнение $y = -\frac{1}{t^2}x + \frac{2}{t} + 1$, мы получим уравнение двух касательных, проходящих через точку $M(a; b)$. Неравенство $1+a-a b > 0$ вместе с неравенствами $b \neq 1, a \neq 0$ задает области, окрашенные на рисунке в синей и зеленьй цвета.

Задание 9 (МФТИ, 1982). Из точки $M(1; 1)$ проведены касательные к двум ветвям гиперболы $y = \frac{k}{x} (k < 0)$, касающей эти ветвей в точках $A$ и $B$, причем треугольник MAB правильный. Найдите коэффициент $k$ и площадь треугольника MAB.

Решение. Пусть $t$ – абсцисса произвольной точки данной гиперболы. Касательная в этой точке зада-

54

ется уравнение $y = -\frac{k}{t^2}x + \frac{2k}{t}$ и проходит через точку $M(1; 1)$ в том и только в том случае, если $1 = -\frac{k}{t^2} + \frac{2k}{t}$ или $t^2 - 2kt + k = 0$. Это уравнение при $k < 0$ имеет два корня $t_1, t_2$ — абсциссы точки $A$ и $B$. По теореме Виета $t_1 + t_2 = 2k, t_1t_2 = k$. Поскольку ветви данной гипербольы симметрины относительно прямой $y = x$, а точка $M$ лежит на этой прямой, точки $A$ и $B$ симметрины относительно прямой $y = x$. Впрочем, в этом можно убедиться и так: $t_1t_2 = k$, то есть абсцисса точки $B$ равна ordinate точки $A$, а ordinata точки $B$ равна абсциссе точки $A$. Таким образом, точка $A$ имеет координаты $(t_1; t_2)$, а точка $B$ — координаты $(t_2; t_1)$. Отсюда следует, что $|MA| = |MB|$ при любом $k < 0$. Таким образом, $k$ нужно находить из равенства $|MA| = |AB|$. Вычислим $|MA|^2$ и $|AB|^2$:

$$|AB|^2 = (t_1 - t_2)^2 + (t_2 - t_1)^2 = 2(t_1 - t_2)^2 = 2((t_1 + t_2)^2 - 4t_1t_2) = 8k^2 - 8k;$$

$$|MA|^2 = (t_1 - 1)^2 + (t_2 - 1)^2 = t_1^2 + t_2^2 - 2(t_1 + t_2) + 2 = (t_1 + t_2)^2 - 2(t_1 + t_2) - 2t_1t_2 + 2 = 4k^2 - 6k + 2.$$

Мы получили относительно $k$ уравнение $8k^2 - 8k = 4k^2 - 6k + 2$, которое имеет единственный отрицательный корень $k = -\frac{1}{2}$. Для нахождения плоскости правильно треугольника $MAB$ подставим найденное значение $k$ в выражение для $|AB|^2$. Получим $|AB|^2 = 6$ и, следовательно, $S_{MAB} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Задание 10 (МИСиС, 1978). Начните уравнение общей касательной к параболам $y = x^2 + 4x + 8$ и $y = x^2 + 8x + 4$.

Решение. Обозначим через $u$ и $v$ абсциссы точек касания. Уравнение касательной к первой параболе в точке с абсциссой $u$ имеет вид $y = (2u + 4)x - u^2 + 8$, а уравнение касательной ко второй параболе в точке с абсциссой $v$ имеет вид $y = (2v + 8x - v^2 + 4$. Так как оба уравнения — это уравнения одной и той же прямой, имеем $2u + 4 = 2v + 8$, $-u^2 + 8 = -v^2 + 4$. Из полученной системы уравнения находим $u = 2$, $v = 0$. Следовательно, уравнение искомой касательной $y = 8x + 4$.

Задание 11 (2-й тур Ленинградской математической олимпiadы). Найдите уравнение прямой, касающей графика функции $f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 + x - 2$ в двух точках.

Заметим, что $f(x) - (x - 2) = x^2(x - 1)^2$. Оказывется, если многочлен $f(x)$ представляет в виде $f(x) = (x - a)^2g(x) + l(x)$, где $l(x)$ — линейная функция, а $g(x)$ — произвольный многочлен, то прямая $y = l(x)$ является касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$. Действительно, в этом случае $f(a) = l(a)$, $f'(a) = l'(a)$, так что прямая $y = l(x)$ проходит через точку $(a; f(a))$ и имеет угловой коэффициент $f'(a)$. В нашем случае от сюда сразу же следует, что прямая $y = x - 2$ касается графика данной функции в точках с абсциссами 0 и 1. Таким образом, прямая $y = x - 2$ касается графика данной функции в двух точках. Доказите самостояльно, что никакая другая прямая не касается графика данной функции в двух точках. Итак, уравнение искомой касательной $y = x - 2$.

Уражнения

1 (ЛГУ, мат.-мех. факультет, 1977). При каком значении $k$ касательная к графику функции $y = kx^2$ обращет с осью абсцисс угол, равный $\frac{\pi}{3}$, и отсекает от четвертой четвертой треугольник с площадью, равной $\frac{8\sqrt{3}}{3}$?

2 (Казанский ГУ, физический факультет, 1978). На кривой $y = x^3 - 3x^2 + 2$ найдите точки, в которых касательная параллельна прямой $y = 3x$.

3 (МГУ, факультет выч. мат. и кибернетки, 1978). Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами $\left(\frac{1}{2}; 2\right)$, касающей график функции $y = -\frac{x^2}{2} + 2$ и пересекающей в двух различных точках график функции $y = \sqrt{4 - x^2}$.

4 (МГУ, мат.-мет. факультет, 1980). касательная к графику функции $y = \sqrt{3x^2}$ также, что абсцисса $c$ точки касания принадлежит отрезку $\left[\frac{1}{2}; 1\right]$. При каком значении $c$ площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью абсцисс и вертикальной прямой $x = 2$, будет наименьшей и чем равна эта наименьшая площадь?

5 (2-й тур Ленинградской математической олимпiadы, 1984). Доказите, что если две касательные к параболе $y = x^2$ взаимно перpendicularны, то расстояние между касания не меньше 1.