Избранные школьные задачи

24

$$\varrho_{\pi} = \frac{M_{\pi}}{V_{\pi}} \approx \frac{m_p A}{V_{\pi}} \approx 10^{17} \text{ кг/м}^3.$$

Она оказывается чудовшно большой. Если бы можно было сплошать заполнить ядрами кубик объемом один кубический сантиметр, то масса этого кубика была бы равна примерно 100 миллионов тонн!

Такая градинозная плотность ядерного вещества свидетельствует, очевидно, о существовании огромных сил притяжения, действующих между частицами, составляющими ядро. (Обосновных свойств ядерных сил рассказывается в § 107 «Физики 10».) Кроме обычных ядер, физики-теоретики предполагают возможность существования и «необъичных»: чисто нейтронных, сверхплотных (в них вещество сжатое еще в несколько раз сильнее) и т. п. Экспериментальные поиски их пока не привели к положительной результатам.

Может ли в природе ядроное вещество существовать в виде больших образований? Положительный ответ на этот вопрос был получен, когда астрономы обнаружили (в 1967 году) нейтронную звезду.

Такая звезда может образовать из общий при быстром скатии. В общий звезде существует равновесие между силами gravитации, стремящимся сжать звезду, и силами давления нагретого звездного вещества, преястивующими этому скатию. Сжатие начинается, когда внутри звезды термоядерные источники энергии исчерпают свои ресурсы. Звезда остылает, равновесие нарушается, и вещество устремляется к центру звезды. Плотность материи резко возрастает, атомные электrons «видавливаются» в ядра и начинаются ядрные реакции превращения протонов в нейтроны. Приходит момент, когда вещество внутри звезды будет состоять, в основном, из нейтронов и иметь ядерную плотность. При этом звезда с массой, равной солнечной, должна сжаться до шара радиусом ~10 км.

Возможность существования нейтронных звезд предсказал выдавшийся советский физик Л. Д. Ландду.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Решите уравнение
   $$x^3 - 9x^2 + 27x = 19.$$
2. Докажите, что число 1984·1985·1986×1987+1 является полным квадратом.
3. Докажите, что если у двух выкульных четырехугольников середины сторона совпадает, то их площадь равны.
4. $x, y$ — целые числа, причем число $6x+11y$ делится на 31. Докажите, что число $x+7y$ также делится на 31.
5. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 100 км, одновременно вызжают навстречу друг другу два велосипеда, которые двигаются со скоростью 20 км/ч и 30 км/ч. Вместе с первым велосипедом из пункта А вылетает мука-слепень со скоростью 50 км/ч и летит по направлению к пункту B до встречи со вторым велосипедом, затем поворачивает и летит обратно до встречи с первым велосипедом, снова поворачивает и т. д. Сколько километров проектируют с направлением от пункту A к пункту B до того момента, как велосипеды встретились?

*) Эту же задачу нам прислал С.Р. Сефибеков. (Примеч. ред.)

Девятый класс
6. Построите график функции
$$y = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x+2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-2\sqrt{x-1}} \right).$$
7. Какое число больше: lg²11 или lg 12?
8. Докажите, что если отрезок, соединяющий двух противоположных сторон выпukлого четырехугольника, равен полусумме двух других его сторон, то это трапеция.
9. Существуют ли заданные на все числовой оси функции f и g такие, что для всех x и y выполняется равенство
$$f(x) \cdot g(y) = x+y+1?$$
10. Построите квадрат по четырем точкам, лежащим по одному на его сторонах.

Десятый класс
11. Какое число больше: cos sin 1 или sin cos 1?
12. Сколько у уравнения
$$x-y)^2=x+y$$
целочисленных решений, удовлетворющих неравенствам |x|<100, |y|<100?
13. Диагонали делят трапецию на четыре треугольника. Пусть s — площадь трапеции, s₁ и s₂ — площади двух треугольников, которые примыкают к основаниям трапеции. Докажите, что √s = √s₁ + √s₂.
14. Действительно числа x, y, a таковы, что x+y=a-1, xy=a²-7a+14. При каком значении a сумма x²+y² принимает наиболее значение?
15. Может ли сечение n-угодной признамы быть правильным (n+2)-угодником?

Публикацию подготовил Л.Д.Курляндчик