Bài toán M1026—M1030; F1038—F1042

22

Bài toán
M1026—M1030, F1038—F1042

M1026. a) Năm hai AB, BC, CD, DE, EA bằng nhau được sắp xếp sao cho mỗi phần kề nhau được chia thành ba phần bằng nhau (hình 1). Tìm độ lớn của mỗi cung (tính bằng độ).
6) Câu hỏi tương tự dành cho một “hình hoa thị” có m cung bằng nhau, mỗi cung được chia thành ba phần bằng nhau bởi các cạnh của nó.
A. V. Shvetsov

M1027. Chứng minh rằng số đó là 1985!! + 1986!! chia cho năm 1987. (N!! biểu thị tích của tất cả các số tự nhiên không vượt quá n và có cùng số chẵn lẻ, tức là n!! = n (n − 2)(n − 4)…)
V. V. Proizvolov

M1028. a) Hai đường thẳng cắt nhau trên mặt phẳng và trên chúng có một điểm (D và E). Vẽ tam giác ABC có các đường phân giác CD và AE nằm trên các đường thẳng cho trước và các đáy của chúng nằm trên các điểm D và E (hình 2) đã cho.
6)* Chứng minh rằng nếu ∠CDE = 30° thì một trong các góc của tam giác ABC bằng 60° hoặc 120°.
M. Volkevich, học sinh lớp 10. (Moscow)

M1029. Trong số n số hạng của cấp số cộng, chúng tôi đã chọn được k số hạng tạo thành cấp số nhân tăng dần. Chứng minh rằng n ≥ 2k−1.
V. F. Lev

M1030. Đối với một khối đa diện lồi M, chúng ta hãy biểu thị bằng S(M) tổng diện tích các mặt của nó và bằng P(M) tổng các tích của chiều dài tất cả các cạnh của nó và các góc ngoài tương ứng của khối đa diện (góc ngoài của một cạnh cho trước là góc giữa các đường vuông góc với các cạnh liền kề với cạnh đó và hướng ra vùng bên ngoài của khối đa diện; nó bằng 180° trừ đi giá trị của góc cạnh tương ứng). Chứng minh rằng khối đa diện M₁ nằm bên trong khối đa diện M₂ thì
a) S(M₁) ≤ S(M₂);
b) P(M₁) ≤ P(M₂).
A. V. Goncharov

F1038. Khi các sợi chỉ không giãn giống hệt nhau được gắn ở những khoảng cách bằng nhau vào một vòng có bán kính r₀ và tương tự như một vòng có bán kính 2r₀. Các sợi chỉ được truyền qua một hình tam giác có bán kính r₀ (hình 3). Vòng 1 được cố định trong mặt phẳng nằm ngang và tất cả các hệ thống đều được định vị. Tìm khoảng cách giữa tâm của các vòng 2 và 3. Tất cả các vòng đều được làm bằng cùng một sợi dây. Bỏ bê việc đào tạo.
V. P. Borodin

F1039. Một sợi dây được buộc vào một khối nằm trên mặt phẳng nghiêng và đi qua một vòng dây; ở đầu kia của sợi chỉ có trọng lượng (hình 4). Trong trường hợp này, khối bất động. Khi tôi nhấc vật nặng lên, khối đá bắt đầu chuyển động. Giải thích hiện tượng đó.
G. V. Meledin

F1040. Với cùng diện tích mặt phẳng dẫn điện S, mỗi cách sắp xếp song song với nhau