Điều kiện bổ sung trong bài toán cạnh tranh

42

Hình 3. Hình 4.

(hình 3). Do đó, theo tính chất III $\angle BMC=2\angle A=140^\circ$.

Ví dụ 2. Trong tam giác ABC: AB=AC, $\angle BAC=40^\circ$. Bên ngoài tam giác ABC nhưng bên trong góc ABC lấy điểm M sao cho $\angle AMB=30^\circ$, $\angle BMC=20^\circ$ (hình 4). Tìm $\angle ABM$.

Lời giải. Theo tính chất IV, điểm A là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Do đó AB=AM và $\angle ABM=\angle AMB=30^\circ$.

Ví dụ 2 có thể khái quát hóa cho tam giác ABC bất kỳ có AB=AC, $\angle BAC=2\angle BMC$, $\angle AMB=\alpha$. Sau đó $\angle ABM=\alpha$.

Bài 3. Cho tam giác ABC: AB=BC, $\angle ABC=80^\circ$. Điểm M nằm bên trong tam giác và $\angle MAC=10^\circ$, $\angle MCA=30^\circ$. Tìm $\angle BMC$ (hình 5).

Lời giải. Các góc BAC và BCA bằng 50°. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC. Khi đó theo Tính chất III $\angle AOM=60^\circ$ nên tam giác AOM vuông. Hơn nữa, BO là đường trung trực của đoạn AC (vì AB=BC và AO=OC). Các tam giác Primogol ABK và AOK bằng nhau vì $\angle OAK=60^\circ-10^\circ=50^\circ=\angle BAK$. Do đó, AB=AO, nhưng AO=AM nên AB=AM. Trong tam giác cân ABM, các góc ABM và AMB bằng nhau (180°-40°):2=70°. Cuối cùng, $\angle BMC=360^\circ-140^\circ-70^\circ=150^\circ$ (xem hình 5).

Để kết luận, chúng tôi đề xuất năm bài toán cho một lời giải độc lập.

Bài tập 1. Trong tam giác ABC: $\angle A=50^\circ$, $\angle B=60^\circ$. Chọn điểm D và E trên cạnh AB và BC sao cho $\angle DCA=\angle EAC=30^\circ$. Tìm $\angle CDE$.

2. Trong tam giác ABC: $\angle A=30^\circ$, $\angle B=80^\circ$. Điểm M nằm bên trong tam giác, có $\angle MAC=10^\circ$, $\angle MCA=30^\circ$. Tìm $\angle BMC$.

3. Trong tam giác ABC: $\angle A=20^\circ$, $\angle C=30^\circ$. Điểm K nằm bên trong tam giác với $\angle KAC=\angle KCA=10^\circ$. Tìm $\angle BKC$.

4. Trong tam giác ABC: AB=BC, $\angle C=40^\circ$. Bên ngoài tam giác ABC nhưng bên trong góc BAC lấy điểm M sao cho $\angle AMC=50^\circ$, $\angle ABM=\angle ACM$. Tìm $\angle BCM$.

5. Trong tam giác ABC: $\angle A=84^\circ$, $\angle C=78^\circ$. Chọn điểm D và E trên cạnh AB và BC sao cho $\angle ACD=48^\circ$, $\angle CAE=63^\circ$. Tìm $\angle CDE$.

D. F. Izaak

Điều kiện bổ sung trong bài toán cạnh tranh

Trong ghi chú này, chúng ta nói về hai bài toán ít được biết đến trong toán học, được đề xuất vào thời điểm đó (năm 1971) của MEPhI và MIPT và được xuất bản cùng với lời giải vào năm 1972 trên «Kvant». Những bài toán này:

Nhiệm vụ 1 (MEPhI, 1971; «Kvant», 1972, số 6, trang 52, 75-76). Nếu bạn chia một số có hai chữ số cho tổng các chữ số của nó, bạn sẽ được thương là 4 và dư 3. Nếu bạn chia số này cho tích các chữ số của nó, bạn sẽ được thương là 3 và dư 5. Tìm số này.

Nhiệm vụ 2 (MIPT, 1971; «Kvant», 1972, số 5, trang 43). Nếu một số có hai chữ số chia cho tích các chữ số của nó thì thương sẽ là 3 và số dư là 9. Nếu lấy tích các chữ số của nó trừ đi bình phương tổng các chữ số của số này thì sẽ thu được số này. Tìm số này.

Trên thực tế, đối với lời giải bài toán 1, chỉ cần biết điều kiện thứ hai là đủ và đối với lời giải bài toán 2 - điều kiện đầu tiên.

Thật vậy, khi viết số cần tìm dưới dạng 10x+y (1<x<9, 1<y<9), trong bài toán 1 từ điều kiện thứ hai, ta thu được

10x+y=3xy+5 (xy≠0).

Hãy biểu thị x theo y:

$$x = \frac{5-y}{10-3y}.$$

(Cuối cùng xem trang 47)