Nhóm hữu hạn

8

NHÓM HỮU HẠN

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. V. SOSINSKY

Khái niệm nhóm, đặc biệt là nhóm hữu hạn, là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong toán học. Đồng thời, một trong những ứng dụng phổ biến nhất và hữu ích nhất.

Ví dụ, nếu không có các nhóm hữu hạn, không thể chỉ ra phương trình đại số nào có thể giải được bằng căn thức và phương trình nào không, để mô tả cách cấu trúc của các tinh thể hoặc tạo ra các mã sửa lỗi. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không nói về điều này ở đây mà sẽ giới hạn ở những ví dụ đơn giản nhất về nhóm hữu hạn.

Minh họa: Nhóm hành động

Một tập hợp không trống gồm một số hành động có thể được thực hiện tuần tự được gọi là một nhóm nếu tập hợp này cho mỗi hành động nhất thiết phải chứa nghịch đảo của nó và kết quả của việc thực hiện tuần tự hai hành động bất kỳ cũng là một hành động từ tập hợp này.

Để minh họa, hãy xem xét hành động của nhân viên giao hàng thực hiện lệnh diễn tập (hình 1). Các chuỗi hành động này tạo thành nhóm $R(\square) = \{C, \Pi, J, K\}$. Như vậy, kết quả thực hiện tuần tự các hành động P và K (ở bên phải và dốc) sẽ trùng với kết quả của hành động L (ở bên trái); cái này được viết là $K \cdot \Pi = J$. Tương tự như vậy $J \cdot \Pi = \Pi \cdot J = K \cdot K = C$. Các phần tương ứng còn lại trong nhóm có thể được trích xuất từ ​​bảng nhân của nó được hiển thị trong hình 1. Ở đây, hành động C đóng một vai trò đặc biệt, có thể được gọi là “tuần không có gì”. (Hành động như vậy chắc chắn tồn tại trong bất kỳ nhóm nào: chúng ta đạt được nó bằng cách thực hiện một hành động tùy ý, sau đó làm ngược lại). Hành động P và L của chúng ta nghịch đảo với nhau, hành động K nghịch đảo với chính nó, v.v.

Hãy xem xét một nhóm khác cũng bao gồm các lần lặp lại. Cụ thể là một nhóm các lần lặp lại của ngôi sao năm cánh $\Pi(\star)$ so với tâm của nó (hình 2). “Không phân chia” (trong trường hợp này, phần lặp lại trên $0^\circ$) được biểu thị bằng $R_0$ và các lần lặp lại còn lại (trên $72^\circ, 144^\circ, 216^\circ, 288^\circ$) được biểu thị bằng $R_1, R_2, R_3, R_4$. Đây $R_2 \cdot R_1 = R_1 \cdot R_2 = R_3$,

Hình 2.

$R_3 \cdot R_3 = R_1, R_1 \cdot R_4 = R_0$ (sau này có nghĩa là $R_4$ quay lại $R_1$), v.v. Tập hợp $\Pi(\star) = \{R_0, R_1, R_2, R_3, R_4\}; \circ$ tạo thành một nhóm.

Cuối cùng, hãy xem xét việc “đeo tất vào nhóm” (hình 3), bao gồm các hành động sau:

$O = \text{Оставь, как есть}$,
$\Pi = \text{Сними и надень на другую ногу}$,
$B = \text{Сними, выверни и надень на ту же ногу}$,
$\Pi' = \text{Сними, выверни и надень на другую ногу}$.

Nó không làm gì ở đây - đây là $O$, sau đó là $\Pi \cdot B = \Pi', \Pi \cdot B = \Pi' \cdot \Pi' = 0, \Pi' \cdot \Pi = B$, v.v.

Một lần nữa, chúng ta có nhóm $H = \{O, \Pi, B, \Pi'; \circ\}$, giống như $R(\square)$, bao gồm bốn hành động. Tuy nhiên, các nhóm $H$ và $R(\square)$ được coi là khác nhau: bảng nhân của chúng không chỉ khác nhau về cách chỉ định các phần tử mà còn về cấu trúc của chúng. Như vậy, dọc theo đường chéo của bảng nhân $H$ có hành động tương tự $O$, trong khi trên đường chéo $y R(\square)$ này có các phần tử khác nhau.

Tôi nghi ngờ rằng hầu hết những độc giả hướng tới máy chủ đang ngày càng nhận thức được một số hình thức đào tạo, mang tất - thật là vô nghĩa, nó không hoàn toàn khoa học! Tôi vội phản đối: một cách khoa học, thậm chí rất nhiều. Bạn có biết một tập hợp các hành động đầu hàng thực sự được gọi là gì không? Nhóm tuần hoàn bậc 4 hoặc nhóm dư modulo 4. Và nhóm “ngón chân” của chúng ta là nhóm Klein. Sự quay của một ngôi sao là một trong những nhóm được gọi là nhóm hữu hạn đơn giản, mà cả một bài báo đã được viết trên số Kvanat này (xem trang 2), và hàng nghìn bài báo trên các tạp chí khác về nó.

10

Trupla $Z_{12} = \{R^{25/12} = £, £^2, £^3, \dots, £^{10}, £^{11}, £^{12} = e\}$
Phần tử bậc 1 giây: $\{Z_6, e\} \cong Z_2$
Phần tử bậc 2: $\{Z^4, Z^8, e\} \cong Z_3$
Thứ tự yếu tố thứ 2 IV: $\{Z^3, Z^6, Z^9, e\} \cong Z_4$
Thứ tự yếu tố thứ 2 VII: $\{Z^2, Z^4, Z^6, Z^8, Z^{10}, e\} \cong Z_6$
Thứ tự yếu tố thứ 4 XII: $Z, Z^5, Z^7, Z^{11}$

Trupla $S_4 = \{(1 2 3 4)_{i_1 i_2 i_3 i_4} : \text{всего } 4! = 24\text{ перест.}\}$
Đơn hàng Yadels II $A_4 = e$
Đơn hàng Yadels III $B_4 = e$
Đơn hàng Bdeli II $(2341), (3412), (4123), e \cong Z_4$
$(2431), (4312), (3124), e \cong Z_4$
$\{(12), (34), (12), (34), e\} \cong K$ (gr. Zilina)
$\{(12, 34), (12), (34), e\} \cong S_3 \cong S(\Delta)$

Trupla $S_5 = \{(1 2 3 4 5)_{i_1 i_2 i_3 i_4} : i_n \in \{1, 2, 3\} \cong S_3 \cong S(\Delta)\}$
Có các yếu tố bậc II, III, IV, V, VII;
yếu tố cam kết bậc VII: $(1 2 3 4 5)_{2 1 4 5 3}$.
Có các nhóm con giống hệt $Z_2, Z_3, Z_4, Z_5, Z_6$.
Có các nhóm con giống hệt $S_3, S_4, u.K.$
Có các nhóm con, xác định $A_4$ (thứ tự $12^{20}$).
Có một nhóm con duy nhất $A_5$ cấp 60.