Конечные группы

8

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ

Кандидат физико-математических наук
А. В. СОСИНСКИЙ

Понятие группы, в частности, конечной группы — одно из важнейших понятий математики. И вместе с тем одно из самых распространенных и наиболее полезных для приложений.

Без конечных группы нельзя, например, указать, какие алгебраические уравнения разрешимы в радиках, а какие — нет, описать, как устроены кристаллы, создавать коды, исправляющие ошибки. Об этом, однако, мы здесь расссказывать не будем, а ограничимся простейшими примерами конечных группы.

Иллюстрации: группы действий

Непустой набор некоторых действий, которые можно последовательно выполнять, называют группой, если в этом наборе для каждой действия обязательно присутствует обратное к нему, а результат последовательного выполнения любых двух действий тоже является действием из этого набора.

В качестве иллюстрации рассмотрим действия сдата, выполяющего команды стревой подготовки (рис. 1). Эти цепи действия составляют группы $R(\square) = \{C, \Pi, J, K\}$. Так, результат последовательного выполнения действий П и К (направо и крутом) будет совпадать с результатом действия Л (налево); это записьается в виде равенства $K \cdot \Pi = J$. Точно так же $J \cdot \Pi = \Pi \cdot J = K \cdot K = C$. Остальные соответствия в группе можно извлечь из ее таблицы умножения, показанной на рисунке 1. Особую роль играет здесь действие С, которое можно назвать «ничегонедельное». (Такое действие обязательно есть в любой группе: мы его получим, выполив произвольное действие, а затем обратное к нему). У нас действия П и Л обратные друг к другу, действие К — обратно к самому себе, и т. д.

Рассмотрим другую группу, тоже состоящую из повторов. Именно — группу повторов пятиконечной звезды $\Pi(\star)$ относительно ее центра (рис. 2). «Ничего-neделение» (в этом случае — повтор на $0^\circ$) обозначает через $R_0$, а остальные повторы (на $72^\circ, 144^\circ, 216^\circ, 288^\circ$) — через $R_1, R_2, R_3, R_4$. Здесь $R_2 \cdot R_1 = R_1 \cdot R_2 = R_3$,

Рис. 2.

$R_3 \cdot R_3 = R_1, R_1 \cdot R_4 = R_0$ (последнее означает, что $R_4$ обратно к $R_1$) и т. д. Набор $\Pi(\star) = \{R_0, R_1, R_2, R_3, R_4\}; \circ$ образует группу.

Рассмотрим, наконец, «группу надевания носка» (рис. 3), состоящую из следующих действий:

$O = \text{Оставь, как есть}$,
$\Pi = \text{Сними и надень на другую ногу}$,
$B = \text{Сними, выверни и надень на ту же ногу}$,
$\Pi' = \text{Сними, выверни и надень на другую ногу}$.

Здесь ничего не делает — это $O$, далее $\Pi \cdot B = \Pi', \Pi \cdot B = \Pi' \cdot \Pi' = 0, \Pi' \cdot \Pi = B$ и т. д.

Снова получается группа $H = \{O, \Pi, B, \Pi'; \circ\}$, состоящая, как и $R(\square)$, из четырех действий. Группы $H$ и $R(\square)$, однako, принимаются разные: у них таблицы умножения отличаться не только обозначением элементов, но и своим строением. Так, по диагонали таблицы умножения $H$ стоит одно и то же действие $O$, в то время как на этой диагонали $y R(\square)$ стоит разные элементы.

Подозреваю, что у самых серверных читателей нарастает возможность кака-то там стревой подготовка, надеванные носок — что за глупости также, не научно это все! Спешу возразить: научно, даже очень. Знаете, как на самом деле называется набор действий сдата? Циклическая группа 4-ю порядка или группа вычетов по modulo 4. А нашей «надеванные носок» — группа Клейна. Повороты же звезды — это одна из таких называемых простых конечных групп, о которых в этом номере «Кваната» написана целая статья (см. с. 2), а в других журналах — тысячи статьей.

10

Трупла $Z_{12} = \{R^{25/12} = £, £^2, £^3, \dots, £^{10}, £^{11}, £^{12} = e\}$
1 элемент II порядка : $\{Z_6, e\} \cong Z_2$
2 элемент III порядка : $\{Z^4, Z^8, e\} \cong Z_3$
2 элемент IV поряд : $\{Z^3, Z^6, Z^9, e\} \cong Z_4$
2 элемент VII поряд : $\{Z^2, Z^4, Z^6, Z^8, Z^{10}, e\} \cong Z_6$
4 элемент XII поряд : $Z, Z^5, Z^7, Z^{11}$

Трупла $S_4 = \{(1 2 3 4)_{i_1 i_2 i_3 i_4} : \text{всего } 4! = 24\text{ перест.}\}$
Ядели II поряд $A_4 = e$
Ядели III поряд $B_4 = e$
Бдели II поряд $(2341), (3412), (4123), e \cong Z_4$
$(2431), (4312), (3124), e \cong Z_4$
$\{(12), (34), (12), (34), e\} \cong K$ (гр. Жилина)
$\{(12, 34), (12), (34), e\} \cong S_3 \cong S(\Delta)$

Трупла $S_5 = \{(1 2 3 4 5)_{i_1 i_2 i_3 i_4} : i_n \in \{1, 2, 3\} \cong S_3 \cong S(\Delta)\}$
Есть элементы порядков II, III, IV, V, VII;
приверг элемента порядка VII: $(1 2 3 4 5)_{2 1 4 5 3}$.
Есть подгурупы, идентичные $Z_2, Z_3, Z_4, Z_5, Z_6$.
Есть подгурупы, идентичные $S_3, S_4, u.K.$
Есть подгурупы, идентины $A_4$ ($12^{20}$ порядка).
Есть единственный подгуруп $A_5$ порядка 60.