36
Красивый многогранник, показанный на обложке, обладает кубической симметрией. Это значит, что он — как и куб — симметричен относительно двумя плоскостями, одного центра, а также совмещается с собой при повороте на углы, кратные π/2, около трех осей, и на углы, кратные 2π/3, около четырех осей. Произвольную грань многогранника можно почередно подвергать этим преобразованием, и она почередно совместится с 23 другими гранями того же вида.
Создавать подобные многогранники можно с помощью техники, разработанной В. Н. Гамаюновым и связывающим с вычерчиванием элюров специализного вида (проектографический чертежами, см. «Квант», 1982, № 2, с. 39). Мы не будем посять здесь построение таких элюров, а расскажем, как можно сконструировать модель показанного многоугольника по готовому элюру.
Для этого следует увеличить элюр (он приведен на второй странице обложки) до нужного размера и какую выделенную деталь (кроме красной) аккуратно вырезать из тонкого картона или плотной бумаги в 24-х экземплярах. Для удобства склейки, стороны детальной можно распирить «язычками», которые друг к другу и приклеиваются, когда соответствующие детали (грани) имеют общее ребро на многограннике. (Впрочем, можно обойтись без языков и склейать грани вдоль ребер «липучкой»).
Детали вырезаны. Как понять, с чем склейить данные? В этом помогают черные дужки, имеющиеся на элюре. Например, чтобы узнать, к какому ребру приклеивается ребро AB больший элемент детали, следует найти черную дужку на прямой AB (она расположена в точке O) и повернуть прямую около O на угол, заданный дужкой (здесь — 180°); тогда ребро AB перейдет в ребро A’B’ желтой детали: именно к нему следует приклеить ребро AB. Точно так же для ребра EF: шиsem дужку на прямой EF, находим ее в точке P и поворачиваем около P на угол 90°, в результате чего EF совмещается с E’F’, что и дает необходимую склейку. Аналогично, дужка в 60° в точке Q которое видны в «анфас» (а неокторого острия представляется собой самопересекающий четырехугольник.
Читателью, возможно, интересно узнать элюр (он приведен на второй странице обложки) до нужного размера и какую выделенную деталь (кроме красной) аккуратно вырезать из тонкого картона или плотной бумаги в 24-х экземплярах. Для удобства склейки, стороны детальной можно распирить «язычками», которые друг к другу и приклеиваются, когда соответствующие детали (грани) имеют общее ребро на многограннике. (Впрочем, можно обойтись без языков и склейать грани вдоль ребер «липучкой»).
Задача для исследования
a) На бесконечном листе клетчатой бумаги две играют в «крестики-полники». Выиграют тот, кто первый поставит подряд девять своих знаков по вертикали, горизонтали или диагонали. Доказите, что при правлении игре не может выиграть: най-
дите беспроигрывшую стратегию для второго играка.
b) Доказите аналогичное утверждение для следующей игры. На бесконечном поле, составленном из шестиугольников, двое играют в «крестики-полники». Выиграют тот, кто первый поставит подряд
семь своих знаков в шестиугольника, примыкающие друг к другу по сторонам (возможны три направления).
b) Верно ли утверждение задачи a) для чисел m<9 и задачи b) для чисел n<7?
О. А. Степанов
Возвращать к напечатному
В заметеке В. И. Стомахина «Геометрические преобразования в планиметрических задачах» («Квант», 1986, № 12, с. 16) решение задачи 6 (см. с. 18) верно только в случае, когда все углы треугольника меньше 120°; если один из углов треугольника больше 120°, то искомой точкой является вершина этого угла.
Замечание к задаче 7 также справедливо лишь для треугольников ABC, все углы которых меньше 120°. Если же один угол треугольника равен 120°, то указаны три прямые пересекаются в вершине этого угла.