Viện thép và hợp kim Moscow

56

Hình 1.

Hình 2.
không khí từ phía bên phải của tàu được bơm ra ngoài. Tìm năng lượng tích trữ bên trong bong bóng sau khi bơm nếu nhiệt độ của khí ở phía bên trái không thay đổi.

4. Một hệ gồm ba quả bóng, trong đó có hai quả được nối với sợi cách điện thứ ba có cùng chiều dài $l=3$ cm, chuyển động dưới tác dụng của một lực $F$ tác dụng lên quả bóng $C$ (hình 3). Khối lượng của cả ba quả bóng bằng nhau, điện tích của các quả bóng $A$ và $B$ bằng nhau và bằng $q=10^{-7}$ C, còn quả bóng $C$ không bị tích điện. Xác định lực làm cho sợi dây tạo thành một góc $\alpha=60^\circ$. Tác dụng của trường hấp dẫn không thể giảm đi.

5. Hai nguồn dòng điện (hình 4) được nối với dây dẫn $AB$ và $CD$ có cùng điện trở $R=2,5$ Ohm. EMF và điện trở trong của nguồn: $E_1=1,5$ V, $E_2=2,0$ V, $r_2=1,6$ Ohm. Tìm số chỉ của một vôn kế cao áp nối giữa các điểm của dây dẫn.

6. Một khung mỏng có độ cứng $k=20$ N/m được cố định ở trạng thái không biến dạng tại các điểm $A$ và $C$, khoảng cách giữa chúng là $l_0=20$ cm và được đặt trong từ trường bên ngoài có cảm ứng $B=0,80$ T (hình 5). Khi dòng điện chạy qua thanh, nó có dạng hình tròn khác có bán kính $R=30$ cm. Tìm cường độ hiện tại $I$.

7. Mạch điện chứa một nguồn dòng, một ampe kế, các điện trở có điện trở $R_1=2,5$ Ohm và $R_2=7,5$ Ohm, một cuộn cảm có điện trở hoạt động không đáng kể (hình 6). Ngay sau khi đóng phím $K$, dòng điện $I_1=0,20$ A chạy qua ampe kế và sau khi thiết lập giá trị dòng điện trong cuộn dây không đổi, ampe kế hiển thị

dòng điện $I_2=0,40$ A. Tìm điện trở trong và lực điện động của nguồn dòng điện.

8. Một mạch điện có nguồn dòng điện, EMF là $E=0,4$ V và điện trở trong $r=0,2$ Ohm, nằm trong từ trường một chiều có cảm ứng $B=0,1$ T. Vector $B$ vuông góc với mặt phẳng của đường viền và có hướng như trong hình 7. Tìm nhiệt lượng tỏa ra trong dây dẫn $AC$ khi nó di chuyển sang phải với tốc độ không đổi $v=10$ m/s. Chiều dài của dây dẫn là $l=10$ cm, điện trở của nó là $R=0,1$ Ohm, điện trở của các dây dẫn còn lại không đáng kể.

9. Mạch dao động gồm một cuộn cảm $L$ và một tụ điện có điện dung $C$, gồm ba tấm kim loại, mỗi tấm có diện tích $S=1$ cm², được ngăn cách bởi một chất điện môi ($\varepsilon=4$) có độ dày $d=1$ mm. Các bản tụ được nối như hình hình 8. Độ tự cảm cần thay đổi bao nhiêu để phát triển một mạch có đường sóng $\lambda_1=25$ m lên bước sóng $\lambda_2=31$ m?

10. Một quả cầu thép rơi không vận tốc ban đầu từ độ cao $h=0,8$ m xuống đường thẳng của chính nó và làm vỡ nó. Tại thời điểm ban đầu, khoảng cách từ quả bóng đến đường thẳng bằng khoảng cách từ đường thẳng đến ảnh thật của quả bóng. Hình ảnh thu nhỏ của quả bóng đã tồn tại được bao lâu?

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. I. Arkhipov, A. I. Rudenko, V. E. Chuzhov, N. V. Sholokhov

Viện thép và hợp kim Moscow

Toán học
Tùy chọn thi viết

1. Đơn giản hóa thành một giá trị số
   $\left(\frac{a+1}{a^3}-1-\frac{1}{a^2+a+1}-\frac{2}{1-a}\right):\frac{a^2+a+2}{a^3-1}$.
2. Tìm miền hàm
   $y=\sqrt{\frac{8+2x^2-x^4}{x^2+2x+1}}$.

57

Trong đáp số viết số nguyên có trong miền định nghĩa.

3. Giải phương trình
   $$\sqrt{x}-1=\frac{2x+4}{x-4}.$$

Trong đáp số viết nghiệm biến của phương trình.

4. Hợp kim của kẽm và đồng chứa nhiều đồng hơn kẽm 1280 g. Sau khi loại bỏ 60% kẽm và 30% đồng ra khỏi hợp kim, khối lượng của nó trở thành 1512 g. Khối lượng ban đầu của hợp kim (tính bằng gam) là bao nhiêu?

5. Giải phương trình
   $$2\sqrt{x^2+256}-\sqrt{x^2+16}+4=0.$$

Trong đáp số hãy viết tổng các nghiệm của phương trình này.

6. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{1/2}\log_5(x-3)>0.$$

Trong đáp số hãy viết tổng các mục tiêu lời giải của bất đẳng thức này.

7. Tại giá trị tối thiểu nào của tham số $k$ đồ thị của hàm số
   $$y=(k-1)x^2+2kx+3k-2$$
   chạm vào trục x?

8. Xét hàm $y=4x^3+6x^2-24x-20$ để tìm cực trị. Trong đáp số, viết giá trị của hàm tại điểm cực đại.

9. Rút gọn biểu thức thành giá trị số
   $$\frac{1-\cos 4a}{(\cos 2a)^{-2}-1}+\frac{1+\cos 4a}{(\sin 2a)^{-2}-1}.$$

10. Giải phương trình
    $$ctg x-2\cos x=0.$$

Trong đáp số viết lời giải (theo độ) thỏa mãn điều kiện $90^\circ<x<180^\circ$.

11. Một hình thang có chiều dài bằng nhau được mô tả xung quanh một hình tròn có đường kính 20, chiều dài cạnh bằng 25. Tìm diện tích của hình thang.

12. Đáy của tứ giác paramid là hình thoi có cạnh bằng 6 và góc nhọn bằng 60°. Đỉnh của paramid được chiếu tại điểm giao nhau của hình thoi chéo. Tìm thể tích của paramid nếu cạnh tạo thành góc tù của hình thoi tạo thành một góc 60° với mặt phẳng đáy.

Vật lý
Tùy chọn thi viết

1. Tính bao nhiêu lần lực ép của vật lên mặt phẳng nằm ngang lớn hơn lực ép của vật đó lên mặt phẳng nghiêng tạo một góc $a=60^\circ$ với đường chân trời.

2. Một vật phải được nâng lên độ cao bao nhiêu so với bề mặt Trái đất để lực của nó giảm đi một nửa? Bán kính Trái đất được lấy bằng $R_3=6400$ km.

3. Trong bình thứ nhất có thể tích $V_1=7$ l, khí chịu áp suất $p_1=50$ kPa, và trong bình thứ hai có thể tích $V_2=15$ l, khí chịu áp suất $p_2=100$ kPa. Nhiệt độ của khí trong bình là như nhau. Áp suất nào (tính bằng kPa) sẽ được thiết lập trong các bình sau khi nối chúng? Giả sử quá trình là đẳng nhiệt.

4. Trên một khuôn mặt bất động treo một tấm matnik, chu kỳ của nó là $T=2$ s. Thang máy hướng tới đi xuống với gia tốc $a=2$ m/s². Chu kỳ của tấm lót bình khi gia tốc chuyển động của khuôn mặt sẽ là bao nhiêu?

5. Thép phế có trọng lượng $m=5$ t được nấu chảy bằng năng lượng điện (tính bằng kWh) nếu hiệu suất của lò là $\eta=62\%$. Nhiệt độ phế liệu ban đầu $t_1=16^\circ\text{C}$, nhiệt độ nóng chảy $t_2=1300^\circ\text{C}$, nhiệt độ riêng $c=0,46$ kJ/(kg K), nhiệt độ nóng chảy riêng $λ=82$ kJ/kg.

6. $Q=8,7 \cdot 10^7$ J Tella bị lạc khỏi phòng trong ngày. Nên lấy chiều dài dây mạ crôm thấp có đường kính $d=10^{-3}$ m để quấn một lò điện để duy trì nhiệt độ không đổi trong phòng? Lò được nối với mạng có điện áp $U=120$ V. Điện trở suất của lò điện là $\rho=1,1 \cdot 10^{-6}$ Ohm m.

7. Trong một bình đồng có khối lượng $m_1=2$ kg, $m_2=0,8$ kg thiếc được nung nóng từ $t_1=22^\circ\text{C}$ đến $t_2=232^\circ\text{C}$. Lượng nhiệt cần thiết để làm điều này là bao nhiêu, nếu chúng ta coi nhiệt độ ban đầu và nhiệt độ cuối cùng của bình và thiếc là như nhau? Nhiệt độ riêng của đồng $c_1=395$ J/(kg K), thiếc $c_2=230$ J/(kg K).

8. Khi công tắc $K$ đóng, điện trở của nhóm điện trở được nối như minh họa ở hình 1 là $R_1=30$ ohms. Tính điện trở của nhóm điện trở này khi công tắc $K$ mở.

9. Nên đặt một gương phẳng ở góc $\beta$ nào so với đường chân trời sao cho boong được chiếu sáng bởi các tia mặt trời từ nó, trong khi ánh sáng được cung cấp ở góc $a=30^\circ$ so với đường chân trời (hình 2)?

10. Một cục pin gồm các phần tử điện có suất điện động $\mathcal{E}=15$ V và điện trở trong $r=5$ Ohm được đóng lại bằng một dây dẫn có điện trở $R=10$ Ohm. Một tụ điện có công suất $C=1$ uF được nối với các dải pin. Xác định điện tích trên các bản tụ điện.

11. Động năng cực đại của dây dẫn điện bay ra khỏi kim loại khi được chiếu sáng bởi tia tử ngoại có bước sóng $\lambda=0,225$ m bằng $E=4,54 \cdot 10^{-19}$ J. Xác định công năng của các electron trong kim loại (tính bằng eV). Hằng số Planck là $h=6,62 \cdot 10^{-34}$ J·s, tốc độ ánh sáng trong chân không là $c=3 \cdot 10^8$ m/s.

12. Một mạch dao động gồm một tụ điện phẳng không khí có diện tích tấm $S=10^{-2}$ m2 và một cuộn dây có độ tự cảm $L=10^{-6}$ Gi, cộng hưởng với một sóng điện từ có chiều dài $\lambda=10$ m. Xác định khoảng cách giữa các bản của tụ điện. Hằng số điện $\varepsilon_0=8,85 \times 10^{-12}$ F/m, tốc độ ánh sáng trong chân không $c=3 \cdot 10^8$ m/s.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
V. A. Karasev, V. I. Marchenko