Московский институт стали и сплавов

56

Рис. 1.

Рис. 2.
воздух из правой части сосуда откачивают. Найдите энергию, запасенную вружине после откачки, если температура газа в левой части не изменилась.

4. Система из трех шариков, два из которых связаны с третьим изолирующим нитями одинаковой длины $l=3$ см, движется под действием силы $F$, приложенной к шарику $C$ (рис. 3). Массы всех трех шариков одинаковы, заряды шариков $A$ и $B$ одинаковы и равны $q=10^{-7}$ Кл, а шарик $C$ не заряжен. Определите силу, при которой нити образуют угол $\alpha=60^\circ$. Действие поля тяжесте не унитывать.

5. К проводником $AB$ и $CD$ одинакового сопротивления $R=2,5$ Ом подключены два источника тока (рис. 4). ЭДС и внутренние сопротивления источников: $E_1=1,5$ В, $E_2=2,0$ В, $r_2=1,6$ Ом. Найдите показания высокомного волтметра, включенного между ними точками проводников.

6. Тонкаяружина жесткостью $k=20$ Н/м закреплена в недеформированном состоянии в точках $A$ и $C$, расстояние между которых $l_0=20$ см, и помещена во внешнее магнитное поле с индукцией $B=0,80$ Тл (рис. 5). При пропускании поружине тока она приобретает форму других окружностей радиуса $R=30$ см. Найдите силу тока $I$.

7. Электрическая цепь содержит источник тока, амperметр, резисторы с сопротивлениями $R_1=2,5$ Ом и $R_2=7,5$ Ом, катушка индуктивности с пребрежимо малым активным сопротивлением (рис. 6). Сразу после замыкания ключа $K$ через амperметр течет ток $I_1=0,20$ А, а после установления постоянного значения тока в катушке амperметр показы-

вает ток $I_2=0,40$ А. Найдите внутреннее сопротивление и ЭДС источника тока.

8. Контур с источником тока, ЭДС которого $E=0,4$ В и внутреннее сопротивление $r=0,2$ Ом, находится в одноморном магнитном поле с индукцией $B=0,1$ Тл. Вектор $B$ перепидикулярен к плоскости контура и направлен так, как показано на рисунке 7. Найдите теплую мощность, выделяемую в проводнике $AC$ при его движении вправо с постоянной скоростью $v=10$ м/с. Длина проводника $l=10$ см, его сопротивление $R=0,1$ Ом, сопротивление остальных проводников пребрежимо мало.

9. Колбательный контур состоит из катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкостью $C$, который представляет собой три металлические пластины, каждой площадью $S=1$ см², разделенных диэлектриком ($\varepsilon=4$) толщиной $d=1$ мм. Пластины конденсатора подключены так, как показано на рисунке 8. На сколько нужно изменить индуктивность, чтобы перерастить контур с линиями волны $\lambda_1=25$ м на длину волны $\lambda_2=31$ м?

10. Стальной шарик падает без начальной скорости с высоты $h=0,8$ м на собственную линия и разбивает ее. В начальной момент расстояние от шарика до линии равны расстоянию от линия до действияительного изобравжения шарика. Сколько времени существовал минимое изобравжение шарика?

Публикацию подготовили В. И. Архипов, А. И. Руденко, В. Е. Чужов, Н. В. Шолохов

Московский институт стали и сплавов

Математика
Вариант письменного экзамена

1. Упростите до числового значения
   $\left(\frac{a+1}{a^3}-1-\frac{1}{a^2+a+1}-\frac{2}{1-a}\right):\frac{a^2+a+2}{a^3-1}$.
2. Найдите область определения функций
   $y=\sqrt{\frac{8+2x^2-x^4}{x^2+2x+1}}$.

57

В ответе запишите количество цельх чисел, входящих в область определения.

3. Решите уравнение
   $$\sqrt{x}-1=\frac{2x+4}{x-4}.$$

В ответе запишите менный корень уравнения.

4. Сплав из цинка и меди содержал на 1280 г меди больше, чем цинка. После того, как из сплава удалили 60 % цинка и 30 % меди, его масса стала равной 1512 г. Какова была первоначальная масса сплава (в граммах)?

5. Решите уравнение
   $$2\sqrt{x^2+256}-\sqrt{x^2+16}+4=0.$$

В ответе запишите сумму корней этого уравнения.

6. Решите неравенство
   $$\log_{1/2}\log_5(x-3)>0.$$

В ответе запишите сумму цельх решений этого неравенства.

7. При каком наименьшем значении параметра $k$ график функции
   $$y=(k-1)x^2+2kx+3k-2$$
   касается оси абсцисс?

8. Исследуйте функцию $y=4x^3+6x^2-24x-20$ на экстремум. В ответе запишите значение функции в точке максимума.

9. Упростите выражение до числового значения
   $$\frac{1-\cos 4a}{(\cos 2a)^{-2}-1}+\frac{1+\cos 4a}{(\sin 2a)^{-2}-1}.$$

10. Решите уравнение
    $$ctg x-2\cos x=0.$$

В ответе запишите решение (в градуах), удовлетворяющее условию $90^\circ<x<180^\circ$.

11. Около окружности с диаметром, равным 20, описана разновочная трапеция, длина боковой стороны которого равна 25. Найдите площадь трапеции.

12. Основанием четырехугольной парамиды является ромб с длиной стороны 6 и острым углом 60°. Вершина парамиды проектируется в точку пересечения диагональной ромба. Найдите объем парамиды, если ребро, проведенное к тупому углу ромба, образует с плоскостью основания угол 60°.

Физика
Вариант письменного экзамена

1. Вычислите, во сколько раз сила давления тела на горизонтальной плоскость больше сила его давления на наклонную плоскость, составляющую угол $a=60^\circ$ с горизонтом.

2. На какую высоту над поверхностью Земли нужно поднять тело, чтобы его силаяжесту уменьшилась в два раза? Радиус Земли принять равным $R_3=6400$ км.

3. В первом сосуде объемом $V_1=7$ л газ находится под давлением $p_1=50$ КПа, а во втором объемом $V_2=15$ л — под давлением $p_2=100$ КПа. Температура газа в сосудах одинаковая. Какое давление (в КПа) установится в сосудах после их соединения? Считать, что процесс протекает изтермический.

4. В неподвижном лице висит матник, перiod колбаный которого $T=2$ с. Лифт нацел опускаться вниз с ускорением $a=2$ м/с². Чему будет равен перiod колбаный матника в ускорению движения лице?

5. Стальной лом массой $m=5$ т расплавляется в электроперции (в кВт·ч), если КПД печи $\eta=62\%$. Начальная температура лома $t_1=16^\circ\text{C}$, температура плавления $t_2=1300^\circ\text{C}$, удельная темперакость $c=0,46$ кДж/(кг·К), удельная температура плавления $λ=82$ кДж/кг.

6. Из комнаты в течение суток теряется $Q=8,7 \cdot 10^7$ Дж телла. Какой длины надо взять нижромового проволоки диаметром $d=10^{-3}$ м для намотки электрической печи, поддерживающей постоянную температуру в комнате? Печь включается в сеть с напряжением $U=120$ В. Удельное сопротивление инжерома $\rho=1,1 \cdot 10^{-6}$ Ом·м.

7. В медном сосуде массой $m_1=2$ кг нагревается $m_2=0,8$ кг олова от $t_1=22^\circ\text{C}$ до $t_2=232^\circ\text{C}$. Какое количество теплоты потребуется для этого, если считать начальную и конечную температуру сосуда и олова одинаковыми? Удельная темперакость меди $c_1=395$ Дж/(кг·К), олова $c_2=230$ Дж/(кг·К).

8. При замкнутом ключе $K$ сопротивление группы резисторов, соединенных, как показано на рисунке 1, равно $R_1=30$ Ом. Вычислите сопротивление этой группы резисторов при разомкнутом ключе $K$.

9. Под каким углом $\beta$ к горизонту следует расположить плоское зерколо, чтобы освetterдно до колода отравненийми от него солнечных лучами, в то время как свет подает под углом $a=30^\circ$ к горизонту (рис. 2)?

10. Ватарая галванических элементов с ЭДС $\mathcal{E}=15$ В и внутренним сопротивлением $r=5$ Ом замкнута проводником, имеющим сопротивление $R=10$ Ом. К полосам батарей подключает конденсатор емкостью $C=1$ мкФ. Определите величины заряда на обкладках конденсатора.

11. Максимальная кинетическая энергия электропроводов, вылетающих из металла при освещении его ультрафилолетовыми лучами с длиной волны $\lambda=0,225$ м равна $E=4,54 \cdot 10^{-19}$ Дж. Определите работу выхода электронов из металла (в эВ). Постоянная Планка $h=6,62 \cdot 10^{-34}$ Дж·с, скорость света в вакууме $c=3 \cdot 10^8$ м/с.

12. Колбаательный контур, состоящий из воздуханого плоского конденсатора с площадью пластин $S=10^{-2}$ м² и катушки с индуктивностью $L=10^{-6}$ Ги, резонирует на электромагнитную волну с длиной $\lambda=10$ м. Определите расстояние между пластинами конденсатора. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \times 10^{-12}$ Ф/m, скорость света в вакууме $c=3 \cdot 10^8$ м/с.

Публикацию подготовили
В. А. Карасев, В. И. Марченко