Московский инженерно-физический институт

55

Московский инженерно-физический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите неравенство
   $$\sqrt{x^3+x^2-2x}>x-1.$$
2. При каких $a \in R$ можно есть решение уравнения
   $$4\cos^2x=a^2-6 \text{ и } 1-\cos 2x=\frac{a}{6}$$
   совпадают?
3. Радиус сферы, описанной около прямоугольного круганого конуса с вершиной $P$, равен $R$. Прямая, проведенная в плоскости основания конуса, пересекает диаметр $AC$ окружности основания под углом $\varphi\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$, а окружность — в точках $B$ и $D$. Определите объем парамиды $PABCD$, если известно, что угол в освом сечении конуса при вершине $P$ равен $a$, а треугольники $APC$ и $DPB$ равновелики.
4. Из точки $A$ и $B$, расстояние между коротыми равно 1 м, по прямой $AB$ начинают одновременно двигаться два тела. Первое тело начинает движение с постоянной скоростью из точки $A$ по направлению к точке $B$, а второе — в том же направлении с начальной скоростью 16 м/c и неоторым постоянным ускорением. Известно, что через 1 с после начала движения второе тело находится от точки $A$ на расстоянии, не больше чем 15 м, а еще через 1 с — не меньше, чем 25 м. Определите скорость первого тела, если через 3 с после начала движения расстояние между телами составляет 2 м.

Вариант 2

1. Решите неравенство
   $$\frac{2}{2+\log_2 x}+\frac{1}{\log_2 2x}\left(\frac{1}{2+\log_2 x}-1\right) \geq 0.$$
2. При бригадах, работа вместе, могут выполнить неокоторую работу за $a$ дней. Если сначала будет работать в течение 2 дней одна первая бригада, а затем в течение 1 дня вторая и третья бригады, то выполненой оказется 1/3 этой работы. За какое время может выполнить всего работу одна первая бригада?
3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{\sin x-\cos y}=\cos x, \\ \sin x+\cos y=\sin^2 x. \end{cases}$$
4. Боковое ребро $SA$ правильной четырехугольной парамиды $SABCD$ имеет длину $l$ и составляет с плоскостью основания угол величины $a$. В эту парамиду вписана правильная четырехугольная признака, что все вершины верхнего основания признамы лежат на боковых ребрах парамиды, а все вершины нижнего — на основании $ABCD$ парамиды. Найдите площадь основания признамы, если известно, что площадь полной поверхности этой признамы имеет наиболее возможное значение.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Шарик массой $m=0,1$ кг закрыли на полу дуумя одинаковыми пружинами жесткостью $k=15$ Н/m каждая (рис. 1). В исходном состоянии пружины не деформированы и имеют длину $l_0=40$ см. Шарик поднимают вертикальное на высоту $h=30$ см и опускают. Какой импульс передает шарик полу при абсолотно упругом удар?
2. На гладкой горизонтальной поверхности лежит дочка длиной $l=1,2$ м и массой $M=1,6$ кг (рис. 2). На край докси положили небольшое тело массой $m=0,4$ кг. Коэффициент трея между телом и доской $\mu=0,3$. С какой минимальной скоростью $v_0$ следует резко толкнуть доску вправо, чтобы тело сосoclизну с нее?
3. Пилиндрический сосуд расположен горизонтально и разделен на две части поршнем площадью $S=10$ см², пружренным к левому торцу сосуда пружиной жесткостью $k=2 \cdot 10^3$ Н/m. Вначале в обеих частях сосуда находится воздух при атмосферном давлении $p_0=10^5$ Pa, при этом пружина не деформирована и имеет длину $l_0=20$ см. Затем весь