Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

53

Если $0 < b \leq 1$, то второе неравенство будет выполнено при любом $y$. Если же $b > 1$, то $b^2 - 1 > 0$, и то неравенство можно привести к виду $y \leq b/(b^2 - 1)$. Таким образом, полученная система неравенств распадается на две:

$$\begin{cases} y \geq b^3 - b, \\ 0 < b \leq 1 \end{cases} \quad \begin{cases} y \geq b^3 - b, \\ y \leq b/(b^2 - 1), \\ b > 1. \end{cases}$$

Первая из двух систем описывает часть закращенной на рисунке 6 области, расположенную ниже прямой $b = 1$, а вторая — оставшуюся часть той же области. Ответ обоснован.

Изложенный метод решения позволяет быть уверенным: если удается решить соответствующей неравенству уравнения, то и решение неравенства не вызовет затруднений.

Упражнения
Решите неравенства 1-4:
1 (ЛГУ, 1965). $x + 4a > 5\sqrt{ax}$.

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-mатематический и экономический факультет)

1. Решите уравнение
   $$3\sin^2 x = \cos 2x + 4\sin 2x.$$
2. Числа $\log_2(3^x - 1)$, $\log_4(9 + 9^x - 7 \cdot 3^x)$ и $\log_2(3 - 3^x)$ являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите $x$.
3. Дана трапеция $ABCD$ с основанием $AD$ и диагоналими $BD$ и $AC$. Известно, что $AC = 3$, $BD = 4$, $\angle CAD = 2\angle BDA$. Найдите площадь трапеция $ABCD$.
4. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнения
   $$\begin{cases} ax + 3y = a^2 + 1, \\ (3a + 14)x + (a + 8)y = 5a^2 + 5 \end{cases}$$
   не имеет решений.
5. Точки $M$ и $N$ — соответственно середины ребер $AC$ и $SB$ правильно тетраэдра $SABC$. Ребра тетраэдра имеют длину 1. На прямых $AS$ и $CN$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что прямая $PQ$ параллельна прямой $BM$. Найдите длину отрезка $PQ$.

Вариант 2
(геолого-геофизический факультет и факультет естественных наук)

1. Решите уравнение
   $$2\cos 2x + 5\cos^2 x = 8\sin 2x - 6.$$
2. Решите уравнение
   $$\log_2(2x - 2) + \log_4(x + 1)^2 = 2 + \log_2(x^2 + x - 3).$$
3. Длина стороны $BC$ треугольника $ABC$ равна $a$, величины угла $A$ равна $a$. Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $B$, $C$ и $O$.
4. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнения
   $$\begin{cases} 2ax + y = a^2 - 2a, \\ -10x + (a - 6)y = 10a - 5a^2 \end{cases}$$
   не имеет решений.
5. В правильном тетраэдре $SABC$ плоскость $a$ проходит через вершины $S$, $C$ и середину $M$ ребра $AB$, плоскость $\beta$ проходит через вершину $B$ и точки $K$ и $L$ — середины ребер $SA$ и $SC$ соответствующего проекции через точки $B$, $C$ и $O$.
6. Найдите величины угла между прямой $l$ и плоскостью грани $ABC$.

Вариант 3
(физический факультет)

1. Решите уравнение
   $$2\cos 2x + 1 = 5\sin^2 x + 6\cos x.$$
2. Найдите наиболее значения функции $y = x^3 - 6x^2 + 6x + 3$ на отрезке [1; 6].
3. Окружности $O_1$ и $O_2$ радиусов 5 и 3 соответственно пересекаются в точках $A$ и $B$, причем $AB = 4$. Известно, что центр окружности $O_2$ лежит вне кругла $O_1$. Точка $C$ — середина дуги $AB$ окружности $O_2$, лежащей в кругле $O_1$. Лучи $AC$ и $BC$ пересекаются окружностью $O_1$ в точках $M$ и $N$. Найдите длину отрезка $MN$.

54

4. Решите неравенство
   $$\log_{x+1} \frac{3x}{5x-8} > 1.$$

5. В основании примыда $SABC$ лежит равноведенный прямогольный треугольник $ABC$ ($AB=BC=1$), длина боковых ребер $SA$, $SB$ и $SC$ равна 3. Точки $K$ и $L$ — середины ребер $AC$ и $BC$, точки $M$ и $N$ выбраны соответственно на ребрах $SA$ и $SB$ так, что $SM=1$, $NB=1$. Найдите объем примыды KLMN.

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет
Кажды́й вариант состоял из пяты задач трех типов.
Первые три задачи — расчетеные, различной трудности: от почти стандартных до сравнительно сложных, требующих смекалки, глубоких знаний, умения разобраться в непrivычной или условенной физической ситуации.
Четвертая задача — это задача-оценка. Для ее решения надо понять рассматриваемое физическое явление, формулировать простую (так как нужна только оценка) физической модель этого явления, выбрать разумные числовые значения физических величины и, наконец, получить численный результат, более или менее соответствующей реальности. В тексте задачи подвергиваюсь, что абитриент может сам выбрать необходимые для решения задачи величины и их числовые значения.
Пятая задача — это задача-демонстрация, в котором надо объяснить физическое явление, демонстрируемое в аудитории. Здесь важно понять существяя явление и среды различных факторов выделить главный.
На решение задачи давалось пять часов, начиная с завершення демонстрации.
Ниже после текста каждая задачи в скобках указаан средний процент решивших ее.

Вариант 1

1. Найдите подъемную силу аэростата, наполненную гелем. Масса гелем равна $m$. Давления и температуры внутри и вне оболочки аэростата одинаковы. Молярная масса гелия $M_r$, воздействия $M_b$, ускорение свободного падения $g$. Массой оболочки претензь (80 %)
2. Елочное украшение — тонкостеный шарик — разбиваемся при подении на каменный пол с минимальной высоты $h$ (рис. 1). С какой минимальной скоростью шарик должен налететь на такой же покоящся до соударения шарики, чтобы шарики разбиились? (49 %)
3. Найдите изображения точного источника $S$, создаваемые системой из линзы с фокусным расстоянием $F$ и конечного зеркала с углом при вершине, равным 90° (рис. 2). Ось конуса совпадает с осью линзы. Расстояние между вершиной конуса и линзой 2F, а между источником и линзой 3F/2. (42 %)
4. Оцените, какую мощность развивается вLOCиществ на финише. (51 %)
5. Колбу с закипевшей водой снимают с плитики — кипение прекращается. Колбу плотно закипывает резиновой пробкой с продетым сквозь нее массивным медным стержнем — вода закипает. Объясните явление. (65 %)

Вариант 2

1. Два шарика одинакового радиуса $R$, — но один из алюминия, а другой деревянный, — содерженные длиной нитью, медленно тонут в воде, двигаясь с постоянной скоростью (рис. 3). Найдите силу сопротивления воды, действующего на каждой из шариков. Плотность алюминия $\rho_1$, деревва $\rho_2$, воды $\rho_0$. Ускорение свободного падения $g$. (61 %)
2. Пробирка длиной $l$, содержащая воздухи и насыщенный водной пар, касается открытым концом поверхности воды (рис. 4). Пробирку погружают в воду наоловину, при этом поверхность воды в пробирке оказывается на глубине $a$. Найдите давление насыщенного водного пара. Температура постоянная, атмосферное давление $p$, плотность воды $\rho$, ускорение свободного падения $g$. (55 %)
3. Три одинаковые плоские металлические пластины $A$, $B$ и $C$ площадь $S$ каждой расположены параллельно друг другу на расстояниях $d_1$ и $d_2$ (рис. 5). Пластины изолированы; на пластинах $B$ и $C$ находятся зарары $+q$ и $-q$, а пластина $A$ не зарарына. Затем пластины $A$ и $C$ соединены черезistor, замкнут ключ $K$. Найдите количество теплоты, выделившее в резисторе. (46 %)
4. Оцените, на каком расстоянии железнодорожные рельсы кажутся слившимися. (65 %)
5. Проводящее колесо может свободно враться вокруг своей оси, расположенной вертикально. Между центром колеса и его ободом создается постоянная разность потенциалов. Если к колесу поднести магнит, оно начинает враться. При смете полока магнитна направление врашения изменяется на противоположное. Объясните явление. (52 %)

Вариант 3

1. Вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=5$ см движутся навстречу друг другу два светляка, находящемся по разные стороны линзы. Скорость светляков одна и та же и равна $v=2$ см/c. Через какое время перейдет светгретица с изображением второго, если в начальной момент они находились на расстояниях $l_1=20$ см и $l_2=15$ см от линзы? (70 %)
2. Две стороны правильно треугольника образованы одинаковыми равномерно заряженными палочки. При этом в центре $O$ треугольника потенциаль равен $\varphi_0$, а приженность электрического поля равна $\vec{E}_0$. Найдите потенциал, а также модель и направление вектора направления, которые будут в точке $O$, если одну из палочки убрать. (63 %)
3. Два одинаковых упругих шарика $A$ и $B$ движутся навстречу друг другу со скоростью $v$ и $2v$, причем прямые, проходящие через центры каждой шариков в направлении их движения, касаются другого шарика (рис. 6). Найдите, под каким углом к первоначальному направлению будет движения шарика $A$ после соударения. (38 %)
4. Оцените изменение давления в парной после того, как на раскаленные камни плескули воды из ковша. (При оценке парную считать герметичной.) (58 %)