Неравенства с параметром

49

Неравенства с параметром

Кандидат физико-mатематических наук
А. С. ЯРСКИЙ

В настоящей статье читатель найдет общий метод решения встречо-
щихся на вступительных экзаменах неравенств с параметром.

Пример 1 (ЛГУ, мат.-мex., 1965)
Решите неравенство
$$\log_x (x-a) > 2.$$ (1)

1. Найдем область определения неравенства (1):
   $$x > 0, x \neq 1, x-a > 0.$$

2. Решим соответствующее неравен-
   ству (1) уравнение
   $$\log_x (x-a) = 2 \Rightarrow x-a = x^2.$$

Изображим в плоскости Оха область
определения и график последней
функции на одном чертеже. Что каса-
ется функции, то проще выразить а
через x: $a=x-x^2$ — парабола в плоскости Оха. Нужно выяснить, как рас-
положена эта парабола по отношению к прямой $x=a$ — границе области
определения. Оказывается, эти пара-
бола и прямая имеютровно одну общую точку (0; 0) (проверьте). Все ска-
занное отражено на рисунке 1. Область определения на рисунке 1 закрашена. Красным цветом (на протя-
жении всей статы) изображены линия, в точках которых данное неравенство не определено или не выпол-
нено. (Отметим, что следовало изобранить лишь попаданию в области определения части параболы.)

Итак, области определения разби-
лась на четыре части $D_1, ..., D_4$.

Оказывается, справедливо следую-
щее.

Предложение. Каждая из области $D_1, ..., D_4$ обладает свойством: либо неравенство (1) выполняено во всех точках области, либо неравенно ни в одной точке.

50

Иначе говоря, каждая из области $D_1, \dots, D_4$ либо целиком входит, либо целиком не входит в ответ.

Интитивно это утверждение сомнений не вызывает. Действительно, ясна причина, по которой знак неравенства (1) может измениться в результате перехода из точки области $D_1$ в точку области $D_2$ — мы пересечем «красную» линию, т. е. побиваем в точке, где входящие в неравенство функций не определяны.

При переходе из $D_1$ в $D_3$ также придется пересечь «красную» линию — побивает в точке, где неравенство (1) обращается в неравенство. А при переходе из одной точки области $D_1$ в другую ее точку — не видно никаких «красных» линей, а значит, нет и причины для изменения знака неравенства!

Все эти верные по существу утверждения нуждаются в доказательстве. К сожалению, такое доказательство требует знаний, выходим из рамки школьной программы…

Если принять на веру справедливость предположения, то решение неравенства может завершить несложная

3. Проверка. В каждой из области $D_1, \dots, D_4$ произвольно выберем по одной точке, например, $A_1\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{8}\right) \in D_1$,

$$A_2(2; 0) \in D_2, \quad A_3\left(\frac{1}{2}; -1\right) \in D_3,$$

$$A_4(2; -3) \in D_4$$ (проверьте, попадают ли эти точки в соответствующие области). Подставляя в неравенство (1) выбранные значения $(x; a)$, получим, что неравенство выполнен только в точках $A_1$ и $A_4$. Это означает, согласно Предложению, что неравенство выполнен во всех точках области $D_1$ и $D_4$ и только в этих точках.

4. Как записать ответ. По традиции $x$ обозначает неизвестную, $a$ — параметр. Поэтому требуется указыть, как меняется $x$ в зависимости от значения параметра $a$. Выберем сначала произвольное $a < 0$. Множество точек на плоскости $Oxa$ с фиксированным $a$ образует горизонтальную прямую. Нужно выяснить, при каких значениях $x$ точки этой прямой находится в области $D_4$. Из рисунка 2 видно, что $x \in ]x_1; x_2[$ («красные» границы в ответ не входят), где $x_1 = 1$, а точка $(x_2; a)$ лежит на параболе $a = x - x^2$. Отсюда $x_2^2 - x_2 + a = 0$ и $x_2 = (1 + \sqrt{1 - 4a})/2$ (подумайте, почему при радиале выбран знак «+»). Итак, если $a < 0$, то $x \in ]1; (1 + \sqrt{1 - 4a})/2[$.

При $a = 0$, как видно из рисунка 1, неравенство решений не имеет. Перевигая горизонтальную прямую выше, увидим (см. рис. 3), что если $a \in ]0; 1/4[$, то $x \in ]x_1; x_2[\cup]x_3; 1[$; если $a \in ]1/4; 1[$, то $x \in ]x_4; 1[$; если же $a \geq 1$, то неравенство решений не имеет. Выразим $x_1, x_2, x_3, x_4$ через $a$: $x_1 = a$, $x_2 = (1 - \sqrt{1 - 4a})/2$, $x_3 = (1 + \sqrt{1 - 4a})/2$, $x_4 = a$. И соединив найденные формулы, получим

Ответ: Если $a \in ]-\infty; 0[$, то $x \in ]1; (1 + \sqrt{1 - 4a})/2[$; если $a = 0$, то $x \in \emptyset$; если $a \in ]0; 1/4[$, то $x \in ]a; (1 - \sqrt{1 - 4a})/2[\cup](1 + \sqrt{1 - 4a})/2; 1[$; если $a \in ]1/4; 1[$, то $x \in ]a; 1[$; если $a \in ]1; +\infty[$, то $x \in \emptyset$.

Изложенное решение содержит серьезный изъян — ссылку на верное, но не доказанное предположение. По поводу такого решения экзаменатор сделает вывод: «Ответ верен, но не обоснован!» И задача абитриенту зачитена не будет. Поэтому для полного решения задачи необходимо дополнительное

5. Обоснование. Неравенство (1) равnocльно выполнено одной из двух систем неравенств:

$$\begin{cases} 0 < x < 1, \\ x - a < x^2, \end{cases}$$ либо $$\begin{cases} 0 < x < 1, \\ a > x - x^2, \end{cases}$$ либо $$\begin{cases} x > 1, \\ a < x - x^2. \end{cases}$$

Первая из двух систем описывается множество на плоскости $Oxa$, лежащей в полосе между прямыми $x = 0$ и $x = 1$

51

Рис. 4.

и одновременно — выше параблы $a=x-x^2$, т. е. (с учетом области определения) — в точности область $D_1$ (см. рис. 1). Аналогично вторая система описывает область, лежащую правее прямой $x=1$ и ниже параблы $a=x-x^2$ — область $D_4$. Найdenный ранее ответ полностью обоснован.

Легко заметить, что п. 5 сделал излишней проверению в п. 3 проверку. Однако откладывается от проверки неразумно: она проста, позволяет быстро получить ответ и, что самое главное, делает метод решения существенного более надежным.

При оформлении решения задачи лучше всего оставить сыгравшую свою роль проверку в черновике — она уже не нужна — и вписать на ее место выкладки из п. 5.

Пример 2 (ЛГУ, мат.-мex., 1966). Решите неравенство
$$\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}}<\sqrt{2}.$$
(2)

1. Найдем и изобразим на плоскости $Oxa$ область определения:
   $$x \geq 0, a+\sqrt{x} \geq 0, a-\sqrt{x} \geq 0.$$
   Получается область, расположенная правее прямой $x=0$ и выше параблы $a=\sqrt{x}$, что и показано на рисунке 4 (входящие в область определения границы изображены снимом цветом).

2. Решим соответствующее неравенству (2) уравнение
   $$\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}}=\sqrt{2}.$$
   Так как обе части уравнения неотрицательны, то, возведя в квадрат, получим (с учетом области определения) равносильное уравнение:
   $$2a+2\sqrt{a^2}-x=2 \iff \sqrt{a^2}-x=1-a \iff \left\{ \begin{array}{l} a^2-x=1-2a+a^2, \\ 1-a \geq 0 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} x=2a-1, \\ a \leq 1. \end{array} \right.$$
   Тепер нужно совместить область определения (рис. 4) и найdenную прямую $x=2a-1$ на одном чертеже. Несложно проверить, что эта прямая и парабола $a=\sqrt{x}$ имеют только одну общую точку (1; 1) (проверите). Изображив ту часть луча $x=2a-1,$

Рис. 5.

$a \leq 1$, которая попадает в область определения, получим рисунок 5. Итак, область определения разбилась на две части $D_1$ и $D_2$. Точно так же, как в примере 1, каждая из этих области может лишь целиком войти в ответ.

3. Проверка. Выберем точки $A_1(1/25; 1/4) \in D_1$, $A_2(1; 2) \in D_2$. Подставив в неравенство (2) координаты этих точки, получим, что неравенство выполнен только в точке $A_1$, а значит, — в области $D_1$ (и на «синей» части ее границ). Рассматривая пересечение области $D_1$ со всемозможными горизонтальными прямыми, получим

4. Ответ:
   если $a \in ]-\infty; 0[\cup[1; +\infty[$, то $x \in \emptyset$; если $a \in [0; 1/2[$, то $x \in [0; a^2]$; если $a \in [1/2; 1[$, то $x \in ]2a-1; a^2]$.

Как и в примере 1, полученный ответ нуждается в обосновании.

5. Обоснование. Преобразуем неравенство (2):
   $$\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}}<\sqrt{2} \iff 2a+2\sqrt{a^2}-x<2 \iff \sqrt{a^2}-x<1-a \iff \left\{ \begin{array}{l} a \leq 1, \\ a^2-x<1-2a+a^2, \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} a \leq 1, \\ x>2a-1. \end{array} \right.$$
   Посленяя система неравенств описывается, лежащую ниже прямой $a=1$ и правее прямой $x=2a-1$, т. е. (с учетом области определения) область $D_1$. Ответ обоснован.

Пример 3 (МГУ, хим.-фак., 1984). Найдите все $a$, при которых неравенство
$$\frac{1}{2}|a-2||x+a-4|+ +\left(\frac{a^2-4a+3}{|a-2|}-|a-2|\right)|x-2|+ +\frac{1}{2}|a-2||x-a| \leq 1$$ (3)

52

выполняетсяровно для двух значений $x$.

Мы сделаем больше, чем требуется в задаче, — решим неравенство. Тогда, конечно, будет получен и ответ на поставленный вопрос.

1. Область определения: $a \neq 2$.
2. Преобразуем неравенство (3). Умножая обе части на $2|a-2| > 0$ и учитывая равенство $|a-2|^2 = (a-2)^2$, получаем $(a-2)^2|x+a-4| + 2(a^2-4a) + 3-(a-2)^2|x-2| + (a-2)^2|x-a| \leq 2|a-2| \Leftrightarrow (a-2)^2|x-2+a-2| - 2|x-2| + (a-2)^2|x-2-(a-2)| \leq 2|a-2|$.

Теперь наращиваем замена $x-2=y$, $a-2=b \neq 0$ ($a \neq 2$), приведя последнее неравенство к виду
$$b^2(|y+b|+|y-b|) \leq 2(|b|+|y|).$$

Итак, нам предстоит изобразить множество точек плоскости $Oyb$, координаты которых удовлетворяют неравенству (4). Заметим, что замена $(y; b)$ на $(y; -b)$ или $(-y; b)$ ничего не меняет в неравенстве (4) (проверьте). Это означает, что искомое множество обладает симметрией относительно обеих осей $Oy$ и $Ob$. Поэтому достаточно нарисовать лишь расположенную в первой четверти часть искомого множества и затем воспользоваться симметрией. В первой четверти $|y|=y$, $|b|=b$, $|y+b|=y+b$, и неравенство (4) примет вид
$$b^2(y+b+|y-b|) \leq 2(b+y).$$

Остается раскрыть $|y-b|$. В области $y \geq b$: $|y-b|=y-b$, и соответствующее неравенству (5) уравнение примет вид
$$2b^2y=2(b+y) \Leftrightarrow y=b/(b^2-1).$$

Теперь несколько нарисовать часть графика этой функции, расположенную в области $y \geq b$ (рис. 6). В области $y < b$: $|y-b|=b-y$, и соответствующее неравенству (5) уравнение примет вид
$$b^2 \cdot 2b=2(b+y) \Leftrightarrow y=b^3-b.$$

Остается нарисовать часть графика последней функции, попадающего в области $y < b$ (см. рис. 6).

3. Проверка показывает, что из двух области, на которые разбилась первая четверть, неравенству (5) удовлетворяет области, закрашенная на рисунке 6. Воспользовавшись симметрией, получим полную картину (рис. 7). Теперь из рисунка 7 видно, что только при $b=\pm \sqrt{2}$ неравенству (4) удовлетворяетровно два различных значения $y$. И вернулись к исходной переменной $a$, получим $a=b+2 \pm \sqrt{2}$.

4. Ответ: $a=2 \pm \sqrt{2}$.

5. Обоснование. Преобразуем неравенство (5) (расматривается первая четверть $y \geq 0$, $b > 0$):
   $$b^2(y+b+|y-b|) \leq 2(b+y) \Leftrightarrow b^2|y-b| \leq (2-b^2)(b+y) \Leftrightarrow -(2-b^2)(b+y) \leq b^2(y-b) \leq (2-b^2)(b+y).$$

Эту систему неравенств несложно переписать в виде
$$\begin{cases} y \geq b^3-b, \\ y(b^2-1) \leq b. \end{cases}$$