Метод электростатических изображений

39

В случае сопротивления движению твердого тела в жидкости или газе речь идет о передаче импульса (количества движения) молекул слоя, который движется в каком-то направлении с большей скоростью, чем соседний слой, молекулам этого соседнего слоя.*) И наоборот, молекули этого медленного слоя, обладая кроме своего хаотического движения еще и медленным направлением движения вдоль границы слоя, разавляют «быстрый» слой, тем самым замедляя его. Объчно считается, что слой, неосредственно прилегающий к телу, имеет ту же скорость, что и тело. Следовательно, он испытывает ту же силу треня и, в свою очередь, замедляет илиускоряет слой, отстоящий чуть дальше. При этом играет роль то, как быстро нарастает (или убивает) скорость по мере перехода от одного слоя к другому, или, как говоря, сколько градент скорости.

Исследования различных ученых показали, что при небольших скорости сила взкого треня пропорциональна скорости относительной движения твердого тела и жидкости или газа. Она зависит от природы жидкости и от формы и размеров тела. Такую силу сопротивления испытывать, например, частицы тумана и дыма, оседающие в воздухе, маленькие твердые шарики, падающие в взкой жидкости (например, в глицерин) и т. п.

При любом виде треня движения происходит еще одно крайнее важное явление. Это превращение энергии механического движения во внутреннюю энергию (темловое движение молекул) в соответствии с законом сохранения энергии. Еще Кулон исследовал затухание круглых колбаний цилиндра в жидкости. В этом опите механическая энергия цилиндра при колбании рассеивает, превращается в тепло, и жидкость вместе с цилиндром нагреваются. А если жидкость была идеальной, т. е. не обладающей взкостью, то цилиндр мог бы колбаться на упругом подвеске вечно.

Итак, вззкое трене приводит к потере механического энергии, к сопротивлению движению тела в жидкости. Но означает ли это, что вззость жидкости или газа нужно во всех случаях уменьшать, что самолет, например, в таком случае будет летать быстрее? Отнюдь! Самолет в воздухе, лишенном внутреннего треня (в идеальной «жидкости»), вообще не взлетит, так как подъемная сила его крыла будет равна нулю, как и сила тягги воздушного винта. Дело здесь в особом свойстве лишенного вззости потока идеальной жидкости. Оказывается, на тело любой формы такой поток может действовать только с силами, сумма которых равна нулю. В этом состоянии существенно так называемого парадокса Даламбера — Эйлера. Но обсуждение этого вопроса, к сожалению, выходит за рамки данной заметки.

В. В. Буховцев

Metод электростанческих изображений

В школьном курсе физики вы познакомились с явлением электростанческого индукции. Вспомним, в чем оно заключается.

Поднесем точный заряд +q к какому-либо проводнику, например к незаряженному металлическому шарику. За очень малое время свободные заряды на шарике перераспределятся так, что напряжение результирующего поля внутри него становится нулю. После этого движение зарядов прекратиется. Поле внешнего заряда оказывается компенсированным полем зарядов, «появившихся» на поверхности шарика. Будем назвать их наведенными зарядами.

*) Более подробно о механизме жидкого треня можно прочитать, например, в замете Е. Е. Городцкого «О явлениях перенаса» («Квант», 1986, № 9, с. 27). (Примеч. ред.)

40

Поле наведенных зарядов есть и вне проводника, в частности, оно действует на заряд +q — заряд притягивается к шарику, хотя полный заряд шарика равен нулю (рис. 1, а). Если бы шарик был замещен, притяжение было бы сильнее, поскольку на шарике появился бы избиточный отрицательный заряд (рис. 1, б). Этот заряд переtek бы на проводник с земли под действием поля заряд +q.*)

Как расчитать поле наведенных зарядов? Расмотрим пример. Пусть проводник занимает все право полупространство (рис. 2). Тогда на его плоской границе OO′ соберутся наведенные отрицательные заряды, которые уничтожат поле всуду в проводнике. Вычислить поле вне проводника (слева от OO′) нам помогет тот очевидный факт, что поле наведенных зарядов симметрично относительно плоскости OO′. Посмотрите на рисунок 2 — на нем хорошо видно, чем равно поле наведенных зарядов справа от OO′ (в проводнике). Раз это поле компенсирует поле заряд +q, то, очевидно, оно совпадает с полем воображаемого заряд —q, помещенного в ту же точку, что и заряд +q. Теперяясно, какое поле создают наведенные заряды слева от OO′ (вне проводника). Оно в точности равно полю воображаемого заряд —q, но помещенного по другую сторону от плоскости OO′, симметрично по отношению к заряду +q. Заряд —q называют изобравлением заряда +q.

*) Поле вне проводника может быть определено, если известен либо полный заряд проводника (как в случае, изобравлением на рисунке 1, а), либо его потенциал (как на рисунке 1, б). Первая слуая соответствует изолированному проводнику, второй — проводнику, соединенного с удаленным очень большим проводником известного потенциала (например, с землей). Мы, в основном, будем рассматривать второй тип задач. Пotenциал бесконечного проводника будем считать равным потенциалу на бесконечности, т. е. нулю.

Итак, плоская поверхность проводника притягивает точный заряд +q, удаленный от нее на расстояние d, с такой же силой, с какой его притягивал бы заряд —q, удаленный на расстояние 2d:

$$F = kq^2/(2d)^2.$$

Мы получили удивительный результат: поле, создаваемое зарядом и проводником (рис. 3, а), в пространстве в неprodникка совпадает с полем всего двух точных зарядов (рис. 3, б). Почему оказывается возможность такая подмена? Вспомним, что поверхность проводника представляет собой эквивалентную поверхность, причем в нашем примере потенциал проводника равен нулю. Поле же двух зарядов +q и —q обладает следующим свойством: эквивалентная поверхность φ=0 совпадает с плоскостью симметрики OO′, т. е. точно повторяет форму поверхности расматриваемого проводника. Именено в этом скрыта причина совпадения полей, изобравенных на рисунке 3, а и б. И в других случаях надо стремиться расположить заряды изобравнения внутри проводника так, чтобы поверхность проводника совпала с поверхностью постоянного потенциала, равного потенциалу проводника.*)

Возникает резонный вопрос — как это сделать? Как найти заряды изобравнения и их положения, если известны форму и потенциал проводника? К сожалению, в общем случае такого

*) Тогда поле внешних зарядов и проводника будет совпадать с полем внешних зарядов и зарядов изобравнения (т. е. проводник помещается изобравениями). Дело в том, что граница расматриваемой области (пространство в неprodникка) имеет в этих двух слуаях одинаковый потенциал, и расположение зарядов внутри области также одно и то же (все изобравнения находится вprodнику, т. е. вне этой области). Выполнение этих условий достаточно, чтобы утверждать, что поля совпадают в точную внутреннюю область. Это утверждение часто называют приципом единственности в электростатике.

41

Резецта не существует, и обычно приходится действовать, как говоря, «с конца» — от зарядов к проводнику.

Возьем несколько точных зарядов, рассчитаем их поле, найдем любую эквивпотенциальную поверхность $\varphi = \varphi_0$ и заполним пространство внутри этой поверхности проводником с потенциалом $\varphi_0$. Тогда поле, которое мы уже рассчитали, представляется собой готовое решение для получения шегосяпровдника и тех зарядов, что оказывась в него! Заряды же, которые «погибли» внутри проводника, играют роль зарядов-изображений. Таким способом можно построить много «готовых» решений, но нет гарантии, что среди них найдется проводник заранее заданной формы.

Рассмотрим пример. Возьем какую-нибудь эквивпотенциальную поверхность для тех же зарядов $+q$ и $-q$, например с $\varphi = -1$ В (рис. 4, а). Поле этих двух зарядов вне этой поверхности совпадает с полем заряда $+q$ и проводника, имеющего фиксированный потенциал $\varphi = -1$ В (рис. 4, б).

Еще пример. Поле четырех зарядов $+q$, $+q$, $-q$ и $-q$, размещенных в вершинах прямого угольника (рис. 5, а), имеет эквивпотенциальную поверхность $\varphi = 0$ в виде двух взаимно перpendикулярных плоскостей. Значит, часть этого поля, заключенная в первом квадрате, совпадает с полем заряда $+q$, помещенного в двухгранный угол (рис. 5, б). При других зарядах является изображениями заряда $+q$. Попробуйте сами найти решение для заряда, помещенного в трехгранный угол, — для этого вам придется использовать семь дополнительных зарядов.

Вернемся теперь к примеру с металлическим шариком, о котором шла речь в начале статьи. Возьем заряда $+q_1$ и $-q_2$ ($q_1 > q_2$), расположенные на расстоянии $l$ друг от друга. Оказывается, что эквивпотенциальная поверхность $\varphi = 0$ представляется собой

сферу (рис. 6, а).*) Чтобы определить радиус этой сферы $R$ и расстояние $L$ от ее центра до заряда $+q_1$, можно приравнять к нулю потенциальы точек $A$ и $B$ (рис. 6, б):

$$k \frac{q_1}{L-R} - k \frac{q_2}{R-(L-l)} = 0,$$

(*)

$k \frac{q_1}{L+R} - k \frac{q_2}{R+(L-l)} = 0.$

Поле этих двух зарядов в пространстве вне сферы в точности совпадает с полем, которое возникает, если заряд $+q_1$ помещить на расстоянии $L$ от центра заемленного металлического шара радиусом $R$ (рис. 6, б). В этом случае, когда задано положение шара, нам известны $R$ и $L$, а положение отпечатленного заряд-изображения ($l$) и его величины ($q_2$) можно найти из той же системы (*):

$$l = L - R^2/L, \quad q_2 = q_1R/L.$$

Сила, с которой заряд $+q_1$ принята к шару, равна

$$F = k \frac{q_1q_2}{l^2}.$$

*) Потенциаль точного заряда $q$ имеет вид: $\varphi = kq/r$. Условие $kq_1/r_1 - kq_2/r_2 = 0$ преобразуется к равенству $r_1/r_2 = q_1/q_2$, т. е. описывается геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до заданных двух точек имеет фиксированное значение. Доказьте сами, что это сфера.