Огибающая

2

ОГИБАЮЩАЯ
Член-корреспондент АПН СССР
В. Г. ВОЛТЯНСКИЙ

На рисунке 1 изображена замкнутая выпуклая линия $L$. Эта линия является главной, т. е. в каждой точке этой линии можно проведить к ней касательную. Множество (или, как еще говоря, «семейство») всех касательных к линии $L$ обозначаем через $T$. На рисунке 2 изображены несколько прямых, принадлежих семейству $T$ (т. е. являющихся касательными к линии $L$). Эти прямые как бы «огибают» линии $L$; поэтому говорят, что линии $L$ является огибающей семейства прямых $T$.

Можно поставить и обратный вопрос: дано некоторое семейство прямых $T$ и требуется найти огибающую этого семейства, т. е. линии, которая касается всех прямых семейства $T$. Задача о нахождения огибающей части встречается в математике и ее приложениях. О решении этой задачи и будет здесь расссказано.

Огибающая семейства прямых

Вернемся к рисунку 2. Линия $L$ разбиает плоскость на две области, внутриною и внешнюю. Через каждую точку $M_0$, лежащую во внешней области $E$, проходят две линии семейства $T$ (т. е. касательных к линии $L$), а через точку $M_1$, лежащую во внутренней области $J$, не проходит ни одной касательной. Через каждую точку $M$ самой линии $L$ проходит одна прямая семейства $T$ (касательная).

Это обстоятельство и поможет нам найти аналогичный примем отыскания огибающей. Для этого каждой прямой из семейства $T$ мы сопоставим в качестве ее «номера» (точнее, параметра) некоторое действительное число $\alpha$. Именно, зафиксировав на линии $L$ начальный точку $A$, мы сопоставим прямой $l \in T$, касающейся кривой в точке $M$ (рис. 3), число (параметр) $\alpha$, равный длине дуги $AM$ линии $L$. Возможны и другие способы сопоставить каждой прямой $l$ семейства $T$ некоторое значение параметра.

Прямую (из семейства $T$), который сопоставлено значением параметра $\alpha$, обозначаем через $l(\alpha)$; пусть уравнение этой прямой имеет вид

$$A(\alpha)x + B(\alpha)y + C(\alpha) = 0. \quad (1)$$

Вспомним теперь (см. рис. 2), что через разные точки может проходить разное число прямых семейства $T$. Как же узнать, сколько есть значений параметра $\alpha$, для которых получаются равенство справедливо. Иначе говоря, надо решить относительно $\alpha$ уравнение

$$A(\alpha)x_0 + B(\alpha)y_0 + C(\alpha) = 0. \quad (2)$$

Например, если бы оказалось, что уравнение (2) является квадратным относительно $\alpha$, то было бы понятно, почему через некоторые точки проходят две линии семейства $T$ (уравнение имеет два различных действительных корня $\alpha_1, \alpha_2$), через некоторые точки не проходит ни одной

4

В инных случаях, например, легче геометрической увидеть, какая линия является огибающей, чем написать уравнение прямой, принадлежшей семейству, и приравнивать нулю дискриминант.

Пример 3. Дан угол (меньший развернутого). Семейство T состоит из всех прямых, отсекающих от этого угла треугольник построного перметра 2p. Найти одибающую этого семейства.

Решение. Отложим на сторонах данного угла O отрезки OA и OB, имеющие длину p (рис. 7), и рассмотрим окружность Γ, касающейся сторона угла в точках A и B. Любая касательная l к окружности Γ (проведенная так, что точка O и окружность Γ находится по разные стороны от нее) обладает требуемым свойством, т. е. l∈T, поскольку
$$OP + OQ + PQ = OP + OQ + PS + SQ = OP + OQ + PA + QB = OA + OB = 2p.$$
Если же прямая l’ не касается дуги AB окружности Γ, то отсекаемый его треугольник имеет либо меныший, либо больший перimeter, т. е. эта прямая не принадлежит семейству T. Итак, семейство T состоит из всех прямых, касающейся дуги AB окружности Γ, а огибающей этого семейства является дуга AB.

Огибающая семейства кривых

Заметим теперь, что в проведенных рассмотренных вопросах не использовался тот факт, что семейство T состоит из прямых линей. Важно было лишь то, что линей семейства T зависит от параметра α, относительно которого лежа часть уравнения является квадратным трехчленом. Следующий пример подтверждает сказанное.

Пример 4. В точке O расположено зенитное орудue, из которого можно выпускать снаряды (с заданной по величины начальной скоростью v₀) под любым углом к горизонту. Определить зону обстрела (сопротивлением воздуха претенбрец).

Решение. Достаточно рассмотреть точки, находящиеся в одной вертикальной плоскости. Если u — горизонтальная составляющая начальной скорости снаряда, вылетевшего из орудия в момент t=0, то вертикальная составляющая равна $$\sqrt{v_0^2 - u^2}.$$ Горизонтальная проекция снаряда S (точка P на рисунке 8) движется равномерно со скоростью u, т. е. в момент t абсцисса снаряда равна x=ut. вертикальная проекция движется по закону y=\sqrt{v_0^2 - u^2}·t-gt²/2, откуда (учитывая, что t=x/u) находится траекторию снаряда:

$$y = \sqrt{v_0^2 - u^2} \cdot \frac{x}{u} - \frac{gx^2}{2u^2}.$$

Выделяя слагаемое, содержащое радиал, и возводя в квадрат, получаем (после умножения на u⁴):

$$u^4 (x^2 + y^2) - u^2 x^2 (v_0^2 - gy) + g^2 x^4/4 = 0.$$

Левая часть зависит от параметра α=u² и представляется собой квадратный трехчлен относительно α. Приравнивая нулю дискриминант этого трехчлена, получаем уравнение огиба-

5

юшей семейства $T$ всех траекторий снарядов:

$$x^4(v_0^2 - gy)^2 - (x^2 + y^2)\cdot g^2x^4 = 0,$$

или, после деления на $x^4$ и упрощения,

$$y = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}x^2.$$

Эта отбайошая называется параболой безопасности (выше нее полет безопасен); вершина этой параболы находится в точке (0; $v_0^2/2g$), а ветви направлены вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательен (рис. 9).

Важный класс задач, связанный с построением отбайоших к семейству окружностей, возникает из принцена Гюйдеска («Физика-10», п. 37, с. 96). Мы здесь не касаемся этих задач (см. «Квант», 1982, № 6, с. 30).

Задание 1.

1. Рассматриваются всевозможные прямые $ax + by = 1$, где коэффициенты $a, b$ удовлетворяют условию $a^2 + b^2 = 1$. Найдите отбайошую этого семейства прямых.

2. Найдите отбайошую семейства прямых $y = 2\alpha x - \alpha^2$.

3. В плоскости данной прямая $d$ и не принадлежая ей точка $A$. Для каждой точки $M \in d$ рассматривается прямая $l_M$, являющаяся осью симметричной точки $A$ и $M$. Найдите отбайошую семейства всех прямых $l_M$.

4. Найдите (алгебраических) отбайошую семейства линей $(x - \alpha)^2 + y^2 - 1 = 0$ и дайте геометрическое полянение результата.

5. Рассматривается семейство окружностей (рис. 10)

$$(x - \alpha)^2 + y^2 = b^2 \left(1 - \frac{\alpha^2}{c^2}\right),$$

где $b, c$ — данные положительных числа, а $a$ — параметр ($|a| \leq c$). Доказите, что отбайошей этого семейства окружностей являются ellipsис, описываемый уравнением

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{где } a^2 = b^2 + c^2).$$

6. Рассматривается прямая $l(\alpha)$, определяемая уравнением

$$y - \alpha x + \frac{a}{2\sqrt{2}}(\alpha^2 - 1) = 0,$$

где $a$ — заданное положительное число, а $a$ — параметр ($|a| < 1$).

a) Найдите точки $P, Q$ пересечения этой прямой с бисекторисами первого и второго координатного углов и докажите, что $OP + OQ = a$.

b) Найдите отбайошую семейства прямых $l(\alpha)$ и убедитесь, что эта отбайошая представляется собой дуг параболы.

b) Дан прямой угол; рассматривается всевозможные прямые, отсекающие от этого угла треугольника, у которых сумма длины катетов равна $a$. Доказите, что отбайошей этого семейства прямых представляется собой дуг параболы.

7. Рассматривается прямая $l(\alpha)$, определяемая уравнением

$$bx(1 + \alpha^2) + ay(1 - \alpha^2) - 2\alpha ab = 0,$$

где $a, b$ — заданные положительные числа, а $a$ — параметр.

a) Найдите точки $P, Q$ пересечения этой прямой с прямыми $y = bx/a, y = -bx/a$ и докажите, что $OP \cdot OQ = a^2 + b^2, S_{\triangle OPQ} = ab$.

b) Доказите, что отбайошей семейства прямых $l(\alpha)$ является zunepбола, описываемая уравнением

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

b) Прямые $y = bx/a, y = -bx/a$ называются acsimptotami указанной генерболы; докажите, что произвольная касательная к гиперболе определяет вместе с acsimptotami треугольник постоянной площади $S = ab$.

8. Рассматривается прямая $l(\alpha)$, определяемая уравнением

$$bx(\alpha^2 - 1) + 2\alpha ay + ab(\alpha^2 + 1) = 0,$$

где $a, b$ — заданные положительные числа; а $a$ — параметр. Доказите, что отбайошей семейства прямых $l(\alpha)$ является ellipsис, описываемый уравнением в задание 5.

9. Найдите отбайошую семейства парабол $y = \alpha^2x^2 - 2\alpha$ (где $a$ — параметр). Сделайте чертеж.

10. Найдите отбайошую семейства окружностей $x^2 + (y - \alpha)^2 = \alpha$ (где $a$ — параметр). Сделайте чертеж.

11. Найдите отбайошую семейства окружностей $(x - \alpha)^2 + y^2 = \alpha^2/5$ (где $a$ — параметр). Сделайте чертеж.

12. Найдите отбайошую семейства парабол $y = 2\alpha x^2 - \alpha^2$ (где $a$ — параметр). Сделайте чертеж.

13. Найдите отбайошую семейства парабол $y = \alpha x^2 + (1/\alpha - \alpha)$ (где $a$ — параметр); сделайте чертеж.

14. Найдите отбайошую семейства парабол $y = -\alpha x^2/4 + (\alpha + 1/\alpha)$ (где $a$ — параметр); сделайте чертеж.

Воспользовемся произвольной

Тепер мы рассмотрим другой, более общий способ нахождения отбайошей, применными и в том случае, когда левая часть уравнения не является квадратным трехчленом относительно параметра $a$. Этот способ основан на использовании поняття произвольной.

Пусть семейство линей задано уравнением

$$f(\alpha, x, y) = 0,$$

где $f$ — неокоторое выражение (напри-

7

ли по кругу, центр которого находится в точке $x = -v\alpha$ оси абсцисс, а радиус равен $\sqrt{(u\alpha)^2 - h^2}$ (рис. 12). Окружность этого кругга и ограничивает на земле ту зону, в которой (к контROLному моменту) расположился звук, произведенный самолетом при прохождения точки $A_\alpha$. Уравнение этой окружности имеет вид
$$(x + v\alpha)^2 + y^2 = (u\alpha)^2 - h^2.$$
Взяв обедининие всех указанных кругов, мы и получим образовательную к контROLному моменту зону слишимости. А чтобы найти границу зоны слишности, надо найти огню щуго (рис. 13) семейства окружностей (9). Уравнение (9) запишем в виде (4):
$$\alpha^2 (v^2 - u^2) + 2\alpha xv + (x^2 + y^2 + h^2) = 0.$$
Взяв производную по $\alpha$, получаем
$$2\alpha (v^2 - u^2) + 2xv = 0.$$
Наконец, определяем $\alpha$ из последнего соответствия и подставив в (10), получаем уравнение огибаюшей:
$$u^2 x^2 - (v^2 - u^2) y^2 = h^2 (v^2 - u^2).$$
Это уравнение описывает зигерболу; нам надо взять только левую ее ветвь, поскольку окружности (9) мы должны рассматривать лишь при $\alpha > 0$. (Заметим, что то же уравнение огибаюшей можно получить и прежним примом, взяв дискриминант квадратного трехчлена (10).)

Задание
15. Найдите огибаюшую семейства парабол $y = \alpha^3 x^2 - 3\alpha$ (где $\alpha$ — параметр). Сделайте чертеж.
16. Найдите огибаюшую семейства прямых $y = \alpha^3 x - 3\alpha^2/2$.
17. Найдите огибаюшую семейства прямых $y = 4\alpha^3 x - 3\alpha^4$.
18. Найдите такое семейство прямых, огибающего которого служит линия $y = x^6$.
19. Найдите огибаюшую семейства окружностей $(x - \cos \alpha)^2 + (y - \sin \alpha)^2 = 1/4$. Сделайте чертеж.
20. Решите задачу о зоне слишности, если самолёт летит (so сверхзвуковой скоростью) по прямой, наклоненной к земле под углом $\phi$.

Дискриминатная кривая
Заметим в заключение, что если задано неокторое семейство линей (4), то линяя $L$, получающая при исключении параметра $\alpha$ из уравнения (8) (она называется дискриминатной кривой), может, кроме точки огибаюшей, содержать и построение точки. Так, в примере 4 дискриминатная кривая, как легко проверить, содержит, кроме параболы безпасности, линейное $x = 0$ (ось ordинат). Часть этой оси, расположенную ниже точки $y = v^2/2g$, можно, в каком-то смысле, считать «касательной» к траектории, получающей при вертикальном выстреле вверх, но верхняя часть оси ordинат (выше этой точки) расположена вне зоны обстрела и никак не связана с траекторями снарядов.

Вообщество, дискриминатная кривая (если не считать ее «посторонние куски») отделяет друг от друга области, через которые проходит разное число линей семейства. Кроме того и «посторонних кусков» дискриминатная кривая может содержать особы точки линей семейства (например, точки их самопересечения). На рисунке 14 показано семейство линей
$$(x - \alpha)^3 + 3 (x - \alpha) y^2 - 3 ((x - \alpha)^2 - y^2) = 0.$$
Эти линей (называемые декартовыми листами) получаются друг из других параллельными переносами вдоль оси абсцисс. Каждый линей имеет особую точку (точку самопересечения). Diskриминатная кривая в данной случае состоит из трех параллельных прямых: прямой $y = 0$ (множества точка самопересечения всех наших линей) и прямых $y = -k$ и $y = k$, где $k = \sqrt{2\sqrt{3} - 3}$ (огибающих). Через каждую точку вне полосы $-k \leq y \leq k$ проходит одна линяя семейства, через каждую точку дискриминатной кривой — две, а через каждую точку — три.