Điểm và đường tuyệt vời

32

Dòng và dấu chấm tuyệt vời

Cường điệu được biết đến bởi nhà toán học Hy Lạp cổ đại. Nó được định nghĩa là một tập hợp các điểm có chênh lệch khoảng cách với hai điểm cho trước $F_1$ và $F_2$ được xây dựng. Những điểm này được gọi là tiêu điểm của hyperbol.

Một đường cong khác ít được biết đến hơn là đường conchoid. Nó được định nghĩa như sau: một đường thẳng $l$ và một điểm $O$ cố định trên mặt phẳng và cho trước số $a$. Qua điểm $O$ vẽ tất cả các loại đường thẳng, trên mỗi đoạn có độ dài $a$ được bố trí theo cả hai hướng kể từ giao điểm với đường thẳng $l$. Đầu thứ hai của các đoạn này tạo thành một hình nón.

Hãy tưởng tượng hai hòn đảo tròn trên đại dương và một chiếc thuyền đi dọc theo biên giới biển, tức là luôn ở cùng một khoảng cách với bờ của những hòn đảo này. Nếu kích thước của các hòn đảo bằng nhau thì đường đi của thuyền sẽ là đường thẳng, còn nếu không thì đường đi của thuyền sẽ đi theo một đường hyperbol.

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Nicomedes (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên) đã giải được phép tính bài toán Giếng bằng cách sử dụng một conchoid. Chúng ta hãy vẽ qua điểm $A$ một đường thẳng $l$, song song với đường thẳng $OD$, một đường tròn có tâm tại điểm $A$ và bán kính $a = AO$. Một hình nón được dựng dọc theo đường $l$, điểm $O$ và số $a$ sẽ cắt đường tròn tại điểm $C$. Góc COD bằng 1/3 góc $AOD$.

33

Hyperbol là một trong những phần hữu hạn: nó có thể thu được bằng cách giao một bề mặt hữu hạn với một mặt phẳng không đi qua đỉnh của nó và cắt cả hai nửa của nó. Các phần hữu hạn khác là parabol và elip.

Hyperbol là một đồ thị có tỷ lệ nghịch: $y = k/x$. Khi các điểm biểu đồ bị xóa về vô cực, chúng sẽ bị ép vào một trong các trục tọa độ $x$ hoặc $y$. Các kẹp này được nối với nhau bằng các đường tiệm cận của nó. Mọi hyperbol đều có tiệm cận.

Nếu bạn đặt một nguồn sáng tại một trong các tiêu điểm của gương hyperbol, thì khi phản chiếu trong gương, ánh sáng sẽ chuyển động như thể nó phát ra từ tiêu điểm thứ hai của hyperbol. Đây là một tính chất quang học của hyperbol. Nó được Garin sử dụng trong tiểu thuyết “Sự cường điệu của kỹ sư Garin” của A. N. Tolstoy.

Câu đố

1. Hình vuông được chia thành năm hình chữ nhật như trong hình. Được biết, diện tích các hình chữ nhật tiếp giáp với ranh giới của kaedrate là bằng nhau. Chứng minh rằng hình chữ nhật ở giữa là hình caedrate.

2. Một đường cong có thể có độ dài chính xác bao nhiêu để chia diện tích tam giác vuông bên a thành hai phần bằng nhau?