Công trình xây dựng với một la bàn

34

Công trình xây dựng
với một la bàn

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
D. V. FUCHS

Trong số vô số bài toán để xây dựng cũng có những thứ mà việc xây dựng phải được thực hiện bằng một thước kẻ hoặc một la bàn. Tuy nhiên, từ lâu người ta đã biết rằng nếu không có thước thì sẽ không có nhiều cách xây dựng khả thi: bất kỳ công trình nào được thực hiện bằng la bàn và thước đều có thể được thực hiện bằng một la bàn.

Ý tưởng chế tạo bằng một chiếc la bàn duy nhất được đưa ra bởi nhà khoa học người Ý Giovanni Battista Benedetti (1530-1590). Năm 1672, cuốn sách “Euclidus Danicus” của nhà hình học người Đan Mạch Georg Mohr (1640-1697) xuất hiện. Trong đó, ông đã chỉ ra rằng tất cả bài toán, có thể rút gọn bằng phương trình bậc hai, đều có thể được giải về mặt hình học bằng một la bàn. Hơn 100 năm sau, vào năm 1797, bài toán này là một công trình mới được xây dựng và được giải quyết bởi Lorenzo Mascheroni người Ý (1750–1800). Phát biểu tương ứng được gọi là định lý Mohr–Mascheroni.

Trong lưu ý này, chúng tôi sẽ cung cấp một bằng chứng về định lý này.

Trong tất cả các nhiệm vụ xây dựng được giải quyết dưới đây, chúng tôi giới hạn ở việc mô tả bản thân công trình, để người đọc chứng minh một cách độc lập rằng việc xây dựng dẫn đến mục tiêu mong muốn. Tuy nhiên, bằng chứng được đưa ra ở phần “Đáp số, gợi ý, lời giải” trên trang. 58.

1. Công thức của kết quả. Tất nhiên, không thể kiểm tra một đường thẳng bằng la bàn, do đó tất cả bài toán được xem xét để xây dựng phải bao gồm việc xây dựng một số điểm (trên mặt phẳng).

Định lý. Giả sử rằng điểm M có thể được dựng từ các điểm $A_1$, …, $A_n$ bằng compa và thước kẻ. Khi đó điểm M có thể được dựng từ các điểm $A_1$, …, $A_n$ bằng một la bàn.

Để chứng minh định lý này, chúng ta hãy dựng một số cách dựng tích bằng thước kẻ. Sử dụng thước kẻ, bạn có thể kiểm tra một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước và tìm giao điểm của nó với các đường thẳng và đường tròn đã tạo trước đó. Nhưng vì ngay từ đầu chúng ta đã cho điểm nên mọi đường thẳng dựng trước đó đôi khi được kiểm tra thông qua các điểm được dựng trước đó, và mọi

35

một đường tròn được tạo trước đó có một điểm được tạo trước đó làm tâm của nó. Do đó, trong quá trình xây dựng, thước chỉ được áp dụng cho lời giải một trong hai bài toán tiếp theo.

Bài toán 1. Dựa vào các điểm A, B, C, D cho trước, tìm giao điểm của đường thẳng AB và CD.

Bài toán 2. Cho tâm O và các điểm A, B cho trước, tìm giao điểm của đường tròn S với đường thẳng AB.

Định lý của chúng ta sẽ được chứng minh nếu chúng ta chứng minh được rằng cả hai bài toán này đều có thể giải được bằng một la bàn.

2. Các công trình phụ trợ. Trong đoạn này và các đoạn tiếp theo, khi chúng tôi nói “xây dựng”, chúng tôi muốn nói đến việc xây dựng bằng một la bàn. Chúng ta sẽ bắt đầu với lời giải bốn phụ bài toán.

Bài toán 3. Cho điểm A và B (khác nhau). Lấy điểm C trên tia AB sao cho AC=2AB.

Xây dựng (hình 1). Chúng ta hãy vẽ một đường tròn có tâm B đi qua điểm A. Trên đường tròn này, chúng ta vẽ đoạn AB ba lần, bắt đầu từ điểm A. Điểm C thu được sau lần trì hoãn thứ ba thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 4. Cho một đường tròn tâm O và có thanh AB trên đó. Xây dựng một điểm chia cung này làm đôi.

Xây dựng (hình 2). Qua điểm O vẽ đường tròn tâm A và B. Vẽ đường tròn tâm O bán kính AB. Lấy hai điểm: P và Q, giao điểm của đường tròn này với hai điểm được dựng; thì cung OP và OQ bằng cung AB. Sau đó, qua các điểm B và A ta vẽ các đường tròn có tâm P và Q cho đến khi chúng cắt nhau tại điểm R. Cuối cùng, với bán kính OR ta vẽ đường tròn tâm P hoặc Q. Điểm C giao điểm của đường tròn này với cung AB sẽ là điểm mong muốn.

Bài toán 5. Cho đường tròn S có tâm O và điểm P≠O. Trên tia OP, dựng một điểm P′ sao cho OP·OP′=r², trong đó r là bán kính của đường tròn S.

(Điểm P′ như vậy được gọi là đối xứng với điểm P so với đường tròn S.)

Sự thi công. Nghe 1. Điểm P nằm ngoài đường tròn S (hình 3). Vẽ đường tròn tâm P đi qua điểm O. Gọi Q và R là giao điểm của nó với đường tròn S. Vẽ đường tròn có tâm Q và R đi qua điểm O. Giao điểm của các đường tròn này khác O là điểm mong muốn P′.

(Cấu trúc này cũng áp dụng được trong trường hợp điểm P nằm bên trong đường tròn S, nhưng nằm cách tâm O của nó một khoảng lớn hơn r/2.)

Nghe 2. Điểm P nằm bên trong đường tròn S. Sử dụng bài toán 3, chúng ta lần lượt dựng trên tia OP các điểm P₂, P₃, … sao cho OP₂=2OP, OP₃=3OP, … cho đến khi đạt đến điểm Pₙ, điểm này sẽ nằm trong S. Đối với điểm Pₙ, chúng ta dựng một điểm đối xứng với đường tròn S P′₁, hãy sử dụng cấu trúc trước đó. Cuối cùng, trên tia OP′₁ (tức là trên tia OP), chúng ta xây dựng các điểm P′₂, P′₃, … sao cho OP′₂=2OP′₁, OP′₃=3OP′₁, … Điểm P′ₙ sẽ là điểm cần có.

Bài toán 6. Cho đường tròn S tâm O và phân kỳ các điểm A, B. Dựng đường tròn đi qua điểm O và giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn S (với giả thiết đường thẳng AB không đi qua tâm đường tròn S và cắt nó tại hai điểm). Chứng minh rằng đường tròn này trừ điểm O là quỹ tích các điểm đối xứng

36

điểm của đường thẳng AB so với đường tròn S.

Xây dựng (hình 4). Chúng ta hãy vẽ các đường tròn có tâm A và B đi qua điểm O. Chúng ta biểu thị điểm giao nhau của chúng, khác với O, bằng P. Vẽ một điểm P’, đối xứng với điểm P so với đường tròn S (bài tập 5) và dựng một đường tròn có tâm P’ đi qua O. Đây là đường tròn mong muốn.

3. Các công trình cơ bản. Xây dựng bài 2. Nếu điểm O không nằm trên đường thẳng AB thì ta tiến hành xây dựng bài 6 và cả dạng đơn giản của nó: dựng điểm P như bài 6 rồi vẽ đường tròn tâm P bán kính bằng bán kính đường tròn S (nghĩa là tâm đường tròn là S, có thể đổi bán kính đường tròn bằng một vòng tròn); các giao điểm của đường tròn dựng được với đường tròn đã cho là các điểm cần tìm. Nếu điểm O nằm trên đường thẳng AB thì cách dựng này không đúng: điểm P sẽ hợp nhất với điểm O. Sau đó, ta dùng cách xây dựng khác (hình 5): tâm A (hoặc tâm B, nếu A=O) vẽ đường tròn tùy ý cắt đường tròn S tại hai điểm, ký hiệu giao điểm là C và D và chia CD và DC của đường tròn S làm đôi (bài 4). Điểm chia sẽ là điểm chúng ta đang tìm kiếm.

Xây dựng nhiệm vụ 1 (hình 6). Chúng ta hãy dựng một đường tròn S tùy ý, chứa tất cả các điểm đã cho bên trong và tâm O của nó không nằm trên bất kỳ đường thẳng AB và CD nào. (Việc này dễ thực hiện “bằng mắt”, nhưng để “xây dựng chặt chẽ”, sàng như vậy không phù hợp. Bạn có thể xây dựng như thế này: dựng một đường tròn tùy ý, tìm, sử dụng cách xây dựng ở bài 2, tìm các điểm giao nhau của nó với các đường thẳng AB và CD và lấy O là một điểm của đường tròn đã dựng khác với các điểm đã tìm được.) Sau đó, sử dụng cách xây dựng ở bài 6, chúng ta dựng đường tròn S₁ đi qua O và đi qua các giao điểm của đường tròn S với đường thẳng AB và một đường tròn. S₂, đi qua O và đi qua giao điểm của đường tròn S với đường thẳng CD. Sau đó, chúng ta biểu thị P là điểm giao nhau của các đường tròn S₁ và S₂, khác với O và dựng một điểm P′, đối xứng với điểm P so với đường tròn S. Đây là điểm mong muốn.

4. Nhận xét kết luận. 1°. Nếu dữ liệu nhiệm vụ xây dựng không chỉ bao gồm các điểm thì có thể cần dùng thước cho lời giải của nó. Ví dụ: Cho đường cong c và các điểm A, B; Tìm giao điểm của đường cong c và đường thẳng AB. Nói chung, điều này không thể thực hiện được nếu không có thước kẻ. Tuy nhiên, điều xảy ra là việc gán các thuộc tính tương tự với các thuộc tính thuộc loại được xem xét sẽ được giải quyết bằng một vòng lặp. Ví dụ: vẽ một đường tròn trên mặt phẳng; sử dụng một chu kỳ để tìm trung tâm của nó. Việc này có thể thực hiện như sau: đánh dấu ba điểm A, B, C trên đường tròn; như bạn đã biết, với một chiếc vòng tròn và thước kẻ, bạn có thể dựng tâm của một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; Điều này có nghĩa là điều này có thể được thực hiện với một chu trình. (Tuy nhiên, bài toán có các thành phố và lời giải đơn giản hơn là tìm nó!) Nhân tiện, chúng ta thấy rằng trong 2, 4, 5 và 6 đã cho, không cần thiết phải chỉ ra tâm của vòng tròn đã cho.

2°. Không phải mọi công trình đều có thể được thực hiện chỉ bằng thước kẻ; làm điều đó với một cái móc và một thước kẻ. (Để chứng minh, xem cuốn sách: Rademacher G. và Teplitz O. Numbers and Figs. - M.: Nauka, 1966.) Tuy nhiên, có một định lý đáng kinh ngạc của Steiner, theo đó tất cả các phép dựng được thực hiện bởi một thước đo và một thước đo có thể được thực hiện bằng một thước kẻ, nếu trước tiên một đường tròn được vẽ trên tờ giấy và tâm của nó được đánh dấu.