Bài toán kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học khác nhau vào năm 1986

50

với thể tích $V_1=100$ l có $m_2=1,4$ kg nitơ dưới áp suất $p_1=1,5 \cdot 10^6$ Pa, trong xi lanh thứ hai có thể tích $V_2=250$ l có $m_2=1,2$ kg argon dưới áp suất $p_2=5 \cdot 10^5$ Pa. Áp suất và nhiệt độ nào được thiết lập trong các xi lanh khi Ventilb được mở? Nhiệt dung của một mol nitơ ở thể tích không đổi là $C_1=(5/2)R$, nhiệt độ của một mol argon là $C_2=(3/2)R$. Khối lượng mol của nitơ và argon bằng $M_1=28$ g/mol và $M_2=40$ g/mol.

Chúng tôi tìm thấy nhiệt độ ban đầu của nitơ và argon từ phương trình Mendelev-Clapeyron:

$$T_1 = \frac{p_1 V_1}{v_1 R} = 360 \text{ K}, \quad T_2 = \frac{p_2 V_2}{v_2 R} = 500 \text{ K},$$

trong đó $v_1 = m_1 / M_1 = 50$ mol và $v_2 = m_2 / M_2 = 30$ mol là số mol nitơ và argon.

Nhiệt độ của hỗn hợp $T$ được thiết lập sau khi mở Ventilb được xác định từ định luật nhiệt động thứ nhất - nội năng của hệ khi trộn các khí không đổi (không có sự trao đổi nhiệt với các vật xung quanh, hệ đang hoạt động)

Bài tập

1. Trong một bình có thể tích $V=1$ l có $m=0,28$ g nitơ ở nhiệt độ $T=1800$ K. Ở nhiệt độ này, một phần phân tử $\alpha=30\%$ phân hủy thành nguyên tử. Xác định áp suất trong bình.

2. Một bình thép có thể tích $V=60$ l chứa hỗn hợp hydro và oxy có tổng khối lượng là $m=60$ g. Áp suất trong xi lanh ở nhiệt độ $T=300$ K bằng $p=3,28 \cdot 10^5$ Pa. Khối lượng nước sẽ được tạo thành từ hỗn hợp này là bao nhiêu nếu hydro và oxy phản ứng?

3. Một mảng hydro và heli giống hệt nhau được đặt trong một bình có thể tích $V_1$, được tách ra khỏi bình có thể tích đã sơ tán $V_2$, một chuỗi thu được bằng một vách ngăn mà qua đó chỉ các phân tử hydro mới có thể khuếch tán. Sau khi kết thúc quá trình khuếch tán, áp suất ở bình thứ nhất giảm đi 2 lần. Xác định tỷ lệ $V_2/V_1$ nếu nhiệt độ được giữ không đổi trong suốt quá trình.

Bài toán kỳ thi tuyển sinh ở tạp chí khác nhau năm 1986

Chúng tôi cung cấp tuyển chọn bài toán kỳ thi tuyển sinh môn toán và vật lý tại một số trường đại học - Belarus (1), Gorky (2), Omsk (3), Saratov (4), Ural (5) và các học viện - Sư phạm Kiev (6), Kiến trúc Moscow (7), Sư phạm khu vực Moscow (8), Viện Kỹ sư Đường sắt Novosibirsk (9), Bách khoa Rome (10), Bách khoa Tomsk (11), Đại học Kỹ thuật Moscow (12).

Toán học
đại số

1(1). Từ thành phố $A$ đến thành phố $B$, nằm cách $A$ 105 km, một chiếc autorus rời đi với tốc độ không đổi $v$ km/h. Sau 30 phút, một ô tô đi ra từ $A$ bên trái với vận tốc 40 km/h, đuổi kịp ô tô đang chạy trên đường.

xe buýt, quay lại và di chuyển với tốc độ như nhau. Xác định tất cả các giá trị của $v$ mà autorom quay về $A$ muộn hơn so với autorom đến $B$.

2(1). Hai chiếc máy nạo có công suất khác nhau cùng làm việc thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành công việc. Nếu người thứ nhất làm việc trong 4 giờ, người thứ hai làm việc trong 6 giờ thì họ đã hoàn thành được 80% tổng công việc. Hỏi mỗi người thợ nạo riêng biệt làm việc trong bao nhiêu giờ sẽ hoàn thành toàn bộ công việc?

3(1). Khi tổng hợp tính toán, tỷ lệ số thành viên trong nhóm vượt kế hoạch nằm trong khoảng từ 92,5% đến 93,5%. Xác định số lượng thành viên tối thiểu có thể có trong nhóm.

4(4). Hai đại lượng xuất hiện đồng thời từ một điểm theo một hướng. Chiếc đầu tiên di chuyển với tốc độ 15 km/h, chiếc thứ hai - 12 km/h. Nửa giờ sau, người đi xe đạp thứ ba từ cùng một điểm đi theo cùng một hướng, sau một thời gian đã đuổi kịp người thứ hai và sau 1 giờ 30 phút nữa đã đuổi kịp người thứ nhất. Tìm vận tốc của người đi xe đạp thứ ba.

5(4). Ba đội máy kéo cùng nhau cày một cánh đồng trong 4 ngày. Đội thứ nhất và đội thứ hai cùng nhau cày một cánh đồng trong 6 ngày, đội thứ nhất và đội thứ ba cùng nhau cày trong 8 ngày. Diện tích cày mỗi ngày của đội thứ hai lớn hơn diện tích cày mỗi ngày của đội thứ ba là bao nhiêu lần?

6(4). Đổ 40 kg dung dịch muối vào hai bình sao cho bình thứ hai chứa nhiều hơn bình thứ nhất 2 kg muối nguyên chất. Nếu cho 1kg muối vào bình thứ 2 thì lượng muối trong đó sẽ lớn gấp 2 lần.

51

Hơn trong lần đầu tiên. Tìm khối lượng dung dịch trong bình thứ nhất.

7(6). Chúng tôi trộn dung dịch axit clohydric 30% với dung dịch 10% và thu được 600 g dung dịch 15%. Mỗi dung dịch đã lấy bao nhiêu gam?

8(6). 200 g nước được thêm vào dung dịch chứa 40 g muối, sau đó nồng độ của nó giảm 10%. Dung dịch đó chứa bao nhiêu nước và nồng độ của nó là bao nhiêu?

9(9). Tổng của ba số hạng đầu tiên của một cấp số nhân tăng dần là 26, tích của chúng là 216. Tìm số hạng đầu tiên và mẫu số của cấp số nhân tăng dần.

10(12). Tìm các số chẵn tạo nên một cấp số nhân trong đó tổng các số hạng cực trị là 112 và tổng các số hạng ở giữa là 48.

11. Tính toán:

a) (10) $\frac{1}{16} \sqrt{192} - 2,5 \sqrt{\frac{4}{75}} - \frac{1}{234} \sqrt{98^2 - 71^2}$;

b) (10) $\frac{\sqrt[8]{3^{11}} \cdot \sqrt[8]{3^{21}}}{\sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 - \sqrt{19}}}$;

c) (10) $\frac{(2 - \sqrt{3})(\cos 750^\circ + \cos 420^\circ)}{\sin 330^\circ + \cos (-390^\circ)}$;

d) (10) $tg(\alpha + 2\beta)$ nếu $tg\alpha = \frac{1}{7}$, $tg\beta = \frac{1}{3}$, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $0^\circ < \beta < 90^\circ$;

e) (11) $\sin(2\alpha - \pi)$ nếu $tg\alpha = 3$;

f) (8) $\sin 2\alpha$ nếu $\sin\alpha + \cos\alpha = a$;

g) (11) $tg\sqrt{6} \cdot \log_3 36$.

12. Thực hiện theo các bước sau:

a) (11) $(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2}) \cdot (1 - \frac{a}{x}) \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3}$;

b) (11) $(\frac{a + 3b}{(a - b)^2} + \frac{a - 3b}{a^2 - b^2}) : \frac{a^2 + 3b^2}{(a - b)^2}$ và đánh giá ở $a = 0,3$; $b = 1,7$;

c) (11) $\frac{2\sin\alpha + \sin 2\alpha}{2\sin\alpha - \sin 2\alpha}$ và tính nếu $ctg\frac{a}{2} = 2$;

d) (11) $\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})\cos(2\pi - \alpha) + \sin(2\pi - \alpha)\times \sin(\pi + \alpha)$;

e) (10) $\sqrt{10}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}\right)$,

nếu $tg\alpha = \frac{3}{4}$, $\pi < \alpha < \frac{3}{2}$ $\pi$.

13(6). Chứng minh tính đúng đắn của $\sin^3 x(1 + ctg x) + \cos^3 x(1 + tg x) = \sin x + \cos x$.

14(6). Với những giá trị nào của tham số $a$ thì nghiệm của phương trình $x^2 + x - a(1 + a) = 0$ có dấu?

15(10). Tại giá trị nguyên nào $b$ thì một trong các nghiệm của phương trình $4x^2 - (3b + 2)x + (b^2 - 1) = 0$ là số thứ hai nhỏ hơn số kia?

16(8). Tại giá trị nào của $q$ thì tổng lập phương của các nghiệm của phương trình $x^2 - x - q = 0$ bằng 19?

17(3). Các nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình $x^2 + ax + 12 = 0$ có các tính chất $x_1 - x_2 = 1$. Tìm $a$.

18. Giải các phương trình:

a) (1) $|2x - 3| = 3 - 2x$;

b) (1) $\sqrt{3 - x} - \sqrt{x + 1} = 0,5$;

c) (1) $(x - 3)(x + 1) + 3(x - 3)\sqrt{\frac{x + 1}{x - 3}} = (a - 1)(a + 2)$;

d) (10) $\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2$;

e) (3) $\left(\frac{4}{9}\right)^x \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x - 1} = \lg 4/\lg 8$;

jk) (11) $4^x - 10 \cdot 2^{x - 1} = 24$;

h) (1) $\frac{3}{2^{3 - x}} = 4^{x - 4} - 7$;

i) (1) $\log_3 \frac{x + 1}{3} = \log_3 \frac{x}{2 - x}$;

k) (10) $1 - \frac{1}{2}\lg(2x - 1) = \frac{1}{2}\lg(x - 9)$;

k) (3) $\log_2 2 \cdot \log_2 2x = \log_4 x^2$;

m) (7) $\log_2 x + \log_3 x = 1$;

n) (6) $3\log_2 x + x\log_3 = 162$;

o) (2) $1 + \log_6 \frac{x + 3}{x + 7} = \frac{1}{4}\log_6(x - 1)^2$;

p) (3) $\left(\frac{1}{9}\right)\log_3 \sqrt{x + 1} - \frac{1}{2}\log_3(x^2 - 1) = \sqrt{2(x - 1)}$;

p) (10) $\log_5(3x - 11) + \log_5(x - 27) = 3 + \log_58$;

c) (6) $4\log_2 \lg x = \lg x - \lg^2 x + 1$.

19 (10). Tìm nghiệm lớn hơn của phương trình $\lg(x + 6) - 2 = \frac{1}{2}\lg(2x - 3) - \lg 25$.

20. Giải các phương trình lượng giác:

a) (7) $\cos 2x + \cos^2 x = 0$;

b) (7) $\sin 2x + \cos x - \sin x - 1 = 0$;

b) (1) $\cos^2 x - \sin^2 3x = 0$;

r) (3) $1 - \cos x = \sin x \sin \frac{x}{2}$;

d) (8) $\sin 3x - 4 \sin x \cdot \cos 2x = 0$;

e) (3) $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$;

jk) (4) $\sin^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \cos^2 4x$;

h) (2) $ctg x - tg x = \frac{2\sqrt{3}\cos 2x}{1 + \cos 2x}$;

i) (2) $(\sin x + \cos x)^2 = 2\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \times \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$;

k) (3) $2\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \cos 2x}{1 + \sin x}$;

k) (4) $(\sin 2x + \sin 4x) \lg x = 0$;

m) (2) $5 \sin x \cdot tg x - \sin x - 5 \lg x + 1 = 0$;

n) (8) $3^{1 + \sin x} + 2 \cdot 3^{2 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} = 21$.

21. Giải các hệ phương trình:

a) (2) $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2 - 3xy + y^2 = 3, \\ x^2 + 2xy - 2y^2 = 6; \end{array} \right.$

b) (6) $\left\{ \begin{array}{l} 3^y \cdot 9^x = 81, \\ \lg(x + y)^2 - \lg x = 2 \lg 3; \end{array} \right.$

b) (2) $\left\{ \begin{array}{l} 2 \lg \sqrt{x} + 2^y + 1 = 0, \\ \lg x^3 + 4^y - 1 = 0; \end{array} \right.$

r) (2) $\left\{ \begin{array}{l} 9^{x - y} + 2 \cdot 3^{x - y} = \log_2 8, \\ (1 - y) \lg 3 = \lg(4 - 3^x); \end{array} \right.$

52

22. Giải các bất đẳng thức:

a) (3) $\frac{4-3x}{3-2x} < 1$;
b) (3) $|x|+|2x+1|-x>1$;
c) (8) $x^2-|5x+8|>0$;
d) (8) $\sqrt{5-x^2}>x-1$;
e) (12) $\sqrt{2x+4}<4$;
f) (1) $\frac{\sqrt{12+x-x^2}}{2x+7} \geq \frac{\sqrt{12+x-x^2}}{x+5}$;
g) (2) $3\sqrt{6+x-x^2}+2>4x$;
h) (1) $\sqrt{2x^2-6x+1}-x+2>0$;
i) (1) $\log_2(x-1)+\log_2x \geq 1$;
j) (2) $\frac{1}{3^x-1} > \frac{1}{1-9^{x-1}}$;
k) (4) $\sqrt{\log_2\frac{3-2x}{1-x}} < 1$;
m) (4) $\log_2x-2\log_2x+1 \geq 0$;
n) (1) $\frac{1}{\log\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2} < \lg 2$;
o) (4) $\log_{3x+5}(3x^2+8x+9) > 2$.
23(2). Tìm đối tượng định nghĩa hàm
$$y = \lg \left(\frac{x^2+6}{8+2x-x^2}-1\right).$$
24(6). Ở giá trị nào của tham số $a$ hệ thống thực hiện
$$-3 < \frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1} < 2$$
có thỏa mãn với mọi giá trị thực của $x$ không?
25(1). $a$ phương trình để làm gì
$$\cos^2 ax + \cos x = 2(\cos ax + \cos x - 1)$$
có một lời giải?

Phân tích
1(11). Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
$$y = \frac{x^2-1}{x-1} \text{ и } y = 2^x.$$
2(10). Tìm các giá trị của hàm $y = x^3-3x^2-9x+15$ tại điểm nhỏ nhất.
3(11). Tìm độ dốc của tiếp tuyến vẽ với đồ thị của hàm $y = \mathrm{tg} x$ tại điểm có hoành độ $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
4(6). Đặt $x_1$ và $x_2$ là điểm cực trị của hàm số
$$f(x) = 2x^3 + 3(a-2)x^2 - 6(a+1)x + 2.$$
Tại mức nào $a$ biểu thức $x_1^2 + x_2^2$ có giá trị nhỏ nhất?
5(1). Đặt $x_1$ và $x_2$ là điểm tối thiểu và tối đa tương ứng của hàm $y = -2x^3 + 3(1-2a)x^2 + 12ax - 1$. Tại giá trị nào của $a$ thì $x_1^2 = x_2^2$ được thỏa mãn?

6(8). Tìm điểm cực trị của hàm số $y = 5|x|-x^2-4$.
7(12). Tìm điểm cực trị của hàm số $y = -3\sin(6x+1)+9x$.
8(1). Một ống tủy có tiết diện hình thang đều được thiết kế với diện tích và chiều cao nhất định. Góc nhọn của hình thang phải là bao nhiêu để sử dụng ít vật liệu nhất để lót các bức tường bên và đáy?
9(4). Một hình cung có góc ở tâm $a$ được cắt ra khỏi hình tròn. Tạo một cái phễu từ phần còn lại của vòng tròn. Ở giá trị nào của $a$ thì kênh sẽ gần nhau nhất?
10(11). Tìm nghiệm lớn hơn của phương trình
$$f'(x) = 2, \text{ если } f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 - 3x.$$
11(4). Góc chẵn chính xác, độ dài của đường chéo bằng $\sqrt{3}$; góc tạo bởi đường chéo này với đáy bằng $a$. Tìm khối lượng nhận dạng và tìm ra giá trị nào $a$ khối lượng nhận dạng sẽ lớn nhất.
Hình học
1(1). Một đường tròn bán kính $r$ nội tiếp một tam giác đều. Tìm diện tích của hình tam giác.
2(11). Hai chân của một tam giác vuông là 12 và 5. Tìm bán kính của hình tròn nội tiếp tam giác đó.
3(3). Tìm diện tích hình vuông nội tiếp hình thang bên phải có hai cạnh $a$ và $b$, nội tiếp hình thoi có một góc chung $C$ với tam giác. Tìm độ dài các cạnh của hình thoi.
5(6). Chu vi của một tam giác vuông là 84 và chiều dài cạnh huyền của nó là 37. Tính diện tích của tam giác này.
6(12). Một tam giác có hai cạnh $a=5$ cm, $b=4$ cm và một góc giữa chúng $a=30^\circ$. Tìm bán kính của hình tròn nội tiếp tam giác.
7(1). Trong một tam giác $ABC$ có chu vi 2$p$, độ dài cạnh $AC$ bằng $a$ và độ lớn của góc nhọn $ABC$ là $a$. Một vòng tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có tâm $O$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại điểm $K$. Tìm diện tích của tam giác $BOK$.
8(11). Một hình thang cân bằng được mô tả xung quanh một hình tròn có chu vi là 80 và góc nhọn là $-30^\circ$. Tìm diện tích của hình thang.
9(7). Đáy chính của hình thang cân là đường kính của một hình tròn có bán kính $R$ ngoại tiếp xung quanh nó. Tìm tỉ số giữa diện tích hình tròn và diện tích hình thang nếu đáy nhỏ hơn của nó là $a$ và góc có đáy lớn hơn là $a$.
10(4). Một vòng tròn được ghi trong tam giác có chu vi dựng sẵn 2$p$. Một tiếp tuyến được vẽ với đường tròn này song song với cạnh của tam giác. Tìm đoạn tiếp tuyến dài nhất có hai đầu thuộc các cạnh của tam giác.
11(3). Xác định góc của hình thoi khi biết diện tích của nó $Q$ và diện tích hình tròn nội tiếp nó $S$.
12(1). Cho một đường tròn có đường kính $KL$. Đường tròn thứ hai có tâm tại điểm $K$ cắt đường tròn thứ nhất tại các điểm $M$ và $N$ và đường kính $KL$ tại điểm $A$. Trên cung $AN$ không chứa điểm $M$, lấy một điểm $B$, khác với các điểm $A$ và $N$. Tia $LB$ cắt đường tròn đầu tiên

53

ity tại điểm C. Biết CN=c, CM=d. Tìm BC.

13(2). Trong tam giác đều ABC (AB=BC), hai đường phân giác BD và AF cắt nhau tại điểm O. Tỉ số diện tích của tam giác DOA và diện tích của tam giác BOF là $\frac{3}{8}$. Chứng minh rằng AC:AB=1:2.

14(8). Tỷ lệ diện tích mặt cắt ngang của một hình tứ giác đều với diện tích đáy của nó là $\sqrt{3}$. Tìm góc nghiêng của cạnh bên của hình trụ với mặt phẳng của đế của nó.

15(6). Các mặt của hình bình hành là những hình thoi bằng nhau tính từ cạnh a và có một góc nhọn 60°. Tìm thể tích của hình bình hành.

16(6). Đáy của độ dốc nằm trên một hình bình hành - một hình vuông, cạnh của nó bằng 1. Tuy nhiên, tính từ các cạnh bên thì nó bằng 2 và tạo thành một góc 60° với mỗi cạnh liền kề của đáy. Tìm thể tích của hình bình hành.

17(6). Ở đáy đáy có một tam giác vuông có cạnh huyền c và góc nhọn α. Mỗi mặt bên tạo thành một góc β với mặt phẳng đáy. Xác định thể tích của chất sơ cấp.

18(10). Đáy là một tam giác vuông có cạnh huyền c và góc nhọn α. Mỗi mặt bên tạo thành một góc β với mặt phẳng đáy. Xác định thể tích của chất sơ cấp.

19(2). Các mặt bên của bệ, ở đáy là hình thang cân có chiều cao h, được xếp chồng đều trên mặt phẳng của đế. Từ đỉnh bệ, các đường vuông góc được hạ xuống các cạnh của hình thang và các đáy của chúng được nối với nhau. Trong tiết diện tam giác thu được, góc ở đỉnh là α và diện tích mặt cắt ngang là S. Tìm thể tích của hình gốc.

20(3). Diện tích bề mặt bên của hình nón là S, và tổng bề mặt là P. Xác định góc giữa chiều cao và đường sinh.

21(2). Một đáy hình chữ nhật được nội tiếp vào hình trụ sao cho một trong các cạnh bên của nó là đường sinh của hình trụ. Tìm thể tích của hình trụ bằng bán kính R của đáy hình trụ và góc kép α ở cạnh bên của hình trụ.

Vật lý

Cơ học

1(10). Khoảng cách giữa hai điểm A và B là l=3 km. Từ điểm này hai chiếc xe đạp gọi nhau gặp nhau. Tốc độ đồng đều của chúng là v₁=18 km/h và v₂=9 km/h. Sau bao lâu (tính bằng giây) họ sẽ gặp nhau?

2(4). Ôtô đi nửa quãng đường với vận tốc v=60km/h. Trong quãng đường còn lại, nửa thời gian người đó lái xe với vận tốc v₂=15 km/h, nửa quãng đường còn lại với vận tốc v₃=45 km/h. Tìm vận tốc trung bình của ô tô trên toàn bộ quãng đường.

3(9). Vật bắt đầu chuyển động với gia tốc đều và trong giây thứ năm kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vật đi được quãng đường l = 45 m. Nó đã chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu?

4(11). Một vật ở độ cao H=45 m so với mặt đất bắt đầu rơi tự do. Nó sẽ đi được bao xa trong giây cuối cùng của chuyển động? Trình bày kết quả theo đơn vị SI. Lấy g=10 m/s2.

5(5). Một vật rơi từ độ cao H nhất định và đi hết quãng đường h=200 m trong thời gian τ=4 s. Thi thể rơi xuống trong bao lâu? Chiều cao H lớn bao nhiêu? Sức cản của không khí không được tính đến.

6(2). Lên trên slide, biên dạng của nó được biểu thị ở hình 1, dây dẫn được đẩy lên, tạo ra tốc độ v₀=10 m/s. Chiều cao tối đa mà nắp sẽ tăng lên là bao nhiêu? Hãy bỏ bê việc đào tạo.

7(4). Trong một thang máy đi xuống với gia tốc a=0,1 m/s2, một vật rơi từ độ cao h=1 m so với mặt sàn với vận tốc ban đầu. Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu rơi, vật sẽ chạm sàn thang máy?

8(9). Bán kính của bánh công tác tuabin thủy lực lớn hơn 8 lần và tốc độ quay nhỏ hơn 40 lần so với tuabin hơi. Tỷ số giữa gia tốc hướng tâm của các đầu cánh tuabin hơi và các đầu cánh tuabin thủy lực là bao nhiêu?

9(9). Một ô tô có khối lượng m=5 tấn bắt đầu chuyển động với gia tốc a=0,6 m/s2. Tìm lực tgigi nếu lực tgigi Fₙ=2 kN. Thể hiện Đáp số bằng kilonyot (kN).

10(9). Với gia tốc bằng bao nhiêu thì sợi cáp sẽ bị đứt, với độ bền kéo T=15 kN, khi nâng một vật nặng m=500 kg theo phương thẳng đứng?

11(3). Họ kéo trên một đoạn đường nằm ngang có tải trọng có tổng khối lượng m=80 kg đằng sau một sợi dây, tạo một góc α=30° với phương ngang. Lực của tuyết là F = 250 N. Xác định hệ số ma sát nếu gia tốc chuyển động của tuyết là a = 0,15 m/s2.

12(10). Hai mảnh xanh có khối lượng m₁=7 kg và cao m₂=11 kg ở hai đầu của một sợi dây được ném qua một khối. Greenie ban đầu có cùng độ cao. Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động, hạt nhẹ hơn sẽ cao hơn hạt nặng hơn h=20 cm? Bỏ qua khối lượng của khối và sợi dây cũng như ma sát trong khối; sợi dây không thể mở rộng được; g=10 m/s2.

13(3). Máy bay tạo thành một vòng lặp. Tìm trọng lượng của phi công tại điểm trên cùng và dưới cùng của vòng lặp, nếu bán kính của vòng lặp là R=200 m, khối lượng của phi công là m=80 kg, và tốc độ của máy bay là v=360 km/h.

14(3). Một quả bóng có khối lượng m=0,5 kg, rơi từ độ cao h₁=10 m, rơi xuống tuyết và đục một lỗ sâu h₂=80 cm. Giả sử chuyển động trong không khí và trong tuyết là như nhau

54

và lực cản trong nước $F_{c1}=0,8$ N, tìm lực cản trong tuyết.

15(11). Một người đứng trên mép của một bệ hình tròn nằm ngang có bán kính $R=3$ m. Số vòng quay tối thiểu trong một phút mà sàn phải quay quanh trục thẳng đứng là bao nhiêu để một người không thể đứng trên đó với hệ số ma sát là $\mu=0,2$? Làm tròn kết quả đến phần mười gần nhất. Lấy $g=10$ m/s².

16(10). Một xi lanh đầy đủ nổi trong dầu hỏa. Để hình trụ có thể nổi với cùng một độ chìm (độ sâu ngâm) trong nước thì phải đặt một tải trọng có khối lượng $m=100$ kg vào trong đó. Xác định khối lượng của xi lanh. Mật độ dầu hỏa $\rho_{к}=800$ kg/m³, nước $\rho_{в}=1000$ kg/m³.

17(2). Đầu trên của thang tựa vào một bức tường thẳng đứng nhẵn, còn đầu dưới nằm trên sàn gồ ghề (hình 2). Với tải trọng nào thì thang sẽ cân bằng? Hệ số ma sát $\mu=0,5$ thì trọng tâm của thang nằm ở giữa.

18(9). Trên các cốc của cân đòn bẩy có hai bình giống hệt nhau chứa đầy nước tới miệng. Một mảnh gỗ nổi trong bình đặt trên cốc bên trái. Đĩa cân sẽ ở vị trí nào? Chọn đáp số: 1) cốc trái xuống; 2) cốc bên phải được hạ xuống; 3) cân ở trạng thái cân bằng.

19(10). Lực $F=20$ N sẽ thực hiện bao nhiêu công để nâng một vật nặng $m=2$ kg dọc theo mặt phẳng nghiêng lên độ cao $h=2,5$ m với lực nâng $a=5$ m/s²? Lực tác dụng song song với mặt phẳng nghiêng. Hãy bỏ bê việc đào tạo.

20(5). Một quả bóng cao su có khối lượng $m$ và bán kính $R$ được nhúng vào nước đến độ sâu $h$ rồi thả ra. Quả bóng sẽ nảy lên ở độ cao bao nhiêu tính từ mặt nước? Nó không tính đến lực cản của nước và không khí trong quá trình di chuyển. Mật độ của nước là $\rho$.

21(11). Một viên đạn có khối lượng $m=8$ g, bay với tốc độ $v_{1}=400$ m/s, xuyên qua một khúc gỗ dày $d=20$ cm và bay ra khỏi nó với tốc độ $v_{2}=100$ m/s. Xác định lực cản trung bình đối với chuyển động của viên đạn trong khúc gỗ. Trình bày kết quả bằng kilonewton (kN).

22(2). Một viên đạn bay với tốc độ $v_{0}$ xuyên qua một số tấm ván giống hệt nhau nằm cách nhau một khoảng. Viên đạn sẽ bị kẹt ở bảng nào nếu tốc độ sau khi vượt qua bảng đầu tiên là $v_{1}$ và $v_{0}=1,2v_{1}$?

23(2). Hạt nhân bay với tốc độ $v=20$ m/s, vỡ thành hai phần có khối lượng $m_{1}=10$ kg và $m_{2}=5$ kg. Tốc độ của bộ phận thay đổi bằng $v_{2}=90$ m/s và có hướng giống như tốc độ của lõi trước khi đứt. Xác định vận tốc của phần thứ nhất của hạt nhân.

24(1). Một hạt alpha sau khi va chạm với hạt nhân helium đứng yên sẽ chuyển động theo hướng tạo thành một góc $\beta=30^\circ$ với hướng ban đầu. Xác định góc mà các bộ phận nằm sau va chạm và tỉ số động năng của chúng.

25(12). Một dòng nước chảy theo phương ngang từ vòi chữa cháy chạm vào một bức tường thẳng đứng. Lượng nước tiêu thụ $Q=60$ l/phút. Diện tích mặt cắt ngang $S=1,5$ cm². Xác định lực ép lên tường, giả sử rằng tác dụng lên tường là hoàn toàn không đàn hồi. Mật độ của nước là $\rho=10^{3}$ kg/m³.

Vật lý phân tử. Hiện tượng nhiệt

1(10). Phải đun nóng chất khí lên bao nhiêu độ, giữ thể tích không đổi để áp suất tăng gấp đôi so với áp suất ở nhiệt độ $t=0^\circ C$ ($0^\circ C=273$ K, $\alpha=(1/273)$ K⁻¹)?

2(5). Một chất khí có khối lượng $m=1,2\cdot 10^{-3}$ kg chiếm thể tích $V_{1}=4\cdot 10^{-3}$ m³ ở nhiệt độ $T_{1}=280$ K. Khi nhiệt độ của khí thay đổi ở áp suất không đổi, mật độ của nó trở thành $\rho_{2}=0,6$ kg/m³. Xác định nhiệt độ cuối cùng của khí.

3(11). Hai bình được nối với nhau bằng một ống mỏng có vòi. Trong một bình, chúng ta tìm thấy $V_{1}=1,5$ lít nitơ ở áp suất $p_{1}=4,0$ Pa, trong bình kia - $V_{2}=3,0$ lít oxy ở áp suất $p_{2}=2,5$ Pa. Áp suất nào được thiết lập trong các bình nếu bạn mở vòi? Nhiệt độ của khí không đổi. Trình bày kết quả theo đơn vị SI.

4(3). Tính công mà khí thực hiện khi nó được nung nóng từ $t_{1}=20^\circ C$ đến $t_{2}=100^\circ C$, nếu nó ở trong một bình có pít-tông chuyển động. Thể tích thực tế của khí là $V_{1}=5$ dm³, áp suất khí quyển bình thường.

5(3). Một sữa oxy được đun nóng ở áp suất không đổi từ nhiệt độ $t_{0}=0^\circ C$. Phải truyền nhiệt lượng bao nhiêu để thể tích đó tăng lên? Nhiệt độ riêng của oxy trong các điều kiện này là $c=915,6$ J/(kg K).

6(2). Một sữa chứa khí lý tưởng có nhiệt độ $T$, sau đó được làm lạnh đẳng tích sao cho áp suất giảm đi một hệ số $n$. Sau đó, khí nở ra ở áp suất không đổi sao cho nhiệt độ của nó lại bằng $T$. Khí đã thực hiện được bao nhiêu công?

7(9). Cần bao nhiêu nhiệt lượng để thu được $m=5$ kg nước ở nhiệt độ $t_{0}=0^\circ C$ từ nước đá lấy ở $t=-20^\circ C$? Nhiệt độ đá riêng $c=2,1$ kJ/(kg K), nhiệt độ đá riêng $\lambda=330$ kJ/kg. Câu trả lời theo đơn vị (MJ).

8(5). Để thay đổi nhiệt độ của nước có khối lượng $m=0,05$ kg, người ta nhúng một nhiệt kế vào đó, kết quả cho thấy $t_{1}=80^\circ C$. Xác định nhiệt độ ban đầu của nước nếu nhiệt kế hiển thị nhiệt độ phòng $t_{2}=20^\circ C$ trước khi ngâm vào nước. Nhiệt độ nhiệt kế $C=3$ J/K, nhiệt độ nước riêng $c=4200$ J/(mol K), nhiệt độ hóa hơi riêng $r=2,2\cdot 10^{6}$ J/kg.

9(9). Trong quá trình làm mát, một chất chuyển từ trạng thái khí sang trạng thái lỏng, sau đó sang trạng thái rắn. Phần nào của đồ thị nhiệt độ $T$ của các chất theo thời gian $t$ (hình 3) ​​​​tương ứng với quá trình chuyển thể hơi thành lỏng? Chọn đáp số: 1) A - B; 2) B - B; 3) B - D; 4) G - D; 5) D - E.

10(12). Một bình chứa nước được làm nóng bằng điện tử từ $t=20^\circ C$ đến sôi trong $t=20$ phút. Mất bao lâu để 20% lượng nước biến thành hơi nước ở cùng điều kiện vận hành? Nhiệt độ riêng của nước $c=4200$ J/(mol K), nhiệt độ hóa hơi riêng $r=2,2\cdot 10^{6}$ J/kg.

11(12). Chúng tôi trộn $V_{1}=2$ m³ không khí với độ ẩm tương đối $\varphi_{1}=30\%$ và $V_{2}=1$ m³ với độ ẩm tương đối $\varphi_{2}=20\%$. Cả hai phần được lấy ở cùng nhiệt độ. Thể tích hỗn hợp chiếm $V=3$ m³. Xác định độ ẩm tương đối của nó.

Nguyên tắc cơ bản của điện động lực học

1(11). Tại hai điểm nằm cùng một đỉnh trên của hình vuông về phía hàn, giá trị tuyệt đối và dấu là điện tích điểm $q=2\cdot 10^{-8}$ Cl. Phí trên

55

đi trong chân không. Xác định cường độ điện trường tại một trong các đỉnh còn lại của hình vuông. Trình bày kết quả theo vôn trên centimet (1 V/cm = 100 V/m) và làm tròn đến số nguyên gần nhất. Hằng số điện $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/m}$.

2(9). Bán kính của giọt nước là $r = 1$ mm. Tìm mô đun thế năng của giọt nước nếu điện tích của nó được hình thành bởi các electron dư thừa với lượng $n = 10^8$. Chấp nhận $4\pi\varepsilon_0 = 10^{-10} \text{ Ф/m}$.

3(9). Các dây dẫn được tích điện cùng loại có điện thế $\varphi_1 = 40$ V và $\varphi_2 = 60$ V. Điện thế của những dây dẫn này sẽ là bao nhiêu nếu chúng được nối bằng dây?

4(9). Hai quả bóng dẫn điện có bán kính $R_1 = 8$ cm và $R_2 = 20$ cm nằm cách nhau một khoảng lớn và có điện tích $q_1 = +14 \cdot 10^{-9}$ C và $q_2 = -7 \cdot 10^{-9}$ C. Điện tích của quả bóng thứ hai sẽ là bao nhiêu nếu hai quả bóng được nối bằng dây dẫn? Đáp số thể hiện bằng nanocolons (nC).

5(4). Hai quả cầu kim loại giống hệt nhau, có điện tích dương $q_1 = 5 \cdot 10^{-9}$ C và $q_2 = 2 \cdot 10^{-9}$ C, nằm cách nhau $l = 30$ cm, lớn hơn đáng kể so với đường kính của chúng. Liệu lực giữa các quả bóng có thay đổi sau khi chúng được nối trong thời gian ngắn bằng dây dẫn không? Hằng số điện $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/m}$.

6(10). Điện trường đã di chuyển các hạt mang điện tích $q = 0,2$ C từ điểm $A$ có điện thế $\varphi_A = 600$ V đến điểm $B$, chưa xác định được điện thế. Trong trường hợp này, động năng của hạt thay đổi một lượng $\Delta W = 100$ J. Xác định thế năng của điểm $B$.

7(10). Một quả cầu nhỏ có khối lượng $m = 0,2$ g và điện tích $q = 10^{-6}$ C trượt từ độ cao $h = 3$ m dọc theo mặt phẳng nghiêng tạo thành một góc $\alpha = 36,5^\circ$ với đường chân trời. Ở góc trên bên phải được tạo bởi chiều cao $h$ và đường chân trời, có một điện tích đứng yên $Q = 2 \cdot 10^{-6}$ Cl. Xác định vận tốc của quả bóng tại chân mặt phẳng nghiêng nếu vận tốc ban đầu của quả bóng bằng 0. Hãy đưa ra yêu cầu bồi thường.

8(2). Tìm điện tích của tụ điện trong mạch như hình hình 4.

9(10). Điện trở nào $R_x$ phải nằm giữa các điểm $A$ và $B$ (hình 5) để điện trở của toàn mạch bằng $R = 10$ Ohm, nếu $R_1 = 3$ Ohm, $R_2 = 10$ Ohm, $R_3 = 10$ Ohm, $R_4 = 3$ Ohm?

10(1). Hiệu điện thế giữa các điểm $B$ và $A$ (hình 6) là $U_1 = 120$ V. Xác định tỉ số điện trở $R_1/R_2$ nếu $R_3/R_4 = 2$ và hiệu điện thế giữa các điểm $C$ và $D$ là $U_2 = 20$ V.

11(5). Một dòng điện có lực $I = 1$ A chạy qua pin có điện trở trong $r = 2$ Ohm và suất điện động $\varepsilon = 12$ B. Hiệu điện thế ở các cực của pin sẽ là bao nhiêu nếu điện trở của mạch ngoài tăng $\Delta R = 8$ Ohm?

12(9). Một cục pin có điện trở trong $r = 0,2$ Ohm cung cấp năng lượng cho mười đèn kết nối song song có điện trở $R = 250$ Ohm mỗi đèn. Xác định suất điện động của pin nếu cường độ dòng điện trong mỗi đèn là $I = 0,5$ A.

13(2). Một số mạch có điện trở $R$ được cấp nguồn bằng pin gồm $N$ phần tử giống hệt nhau. Tại giá trị nào của điện trở trong của phần tử nguồn thì dòng điện trong mạch sẽ bằng bao nhiêu khi các phần tử này mắc nối tiếp và song song vào pin?

14(3). Nguồn hiện tại được đóng bằng cách nối dây: một lần có điện trở $R_1 = 4$ Ohm và nguồn còn lại có điện trở $R_2 = 9$ Ohm. Nhìn chung, nhiệt lượng tỏa ra trong dây đồng thời là như nhau. Điện trở trong của nguồn là bao nhiêu?

15(11). Một cần trục nâng đồng đều một tải có khối lượng $m = 8,8$ t lên độ cao $h = 10$ m trong $t = 49$ s. Xác định dòng điện tiêu thụ của vòi nếu điện áp là $U = 220$ V và hiệu suất của vòi là $\eta = 80\%$. Trình bày kết quả theo đơn vị SI. Chấp nhận tăng tốc nguồn cấp dữ liệu miễn phí $g = 10 \text{ m/c}^2$.

16(11). Trong một từ trường có độ tự cảm $B = 2 \cdot 10^{-5}$ T, một đoạn dây có chiều dài $l = 2$ m và điện trở $R = 1$ Ohm được gấp làm đôi và hai đầu được nối với nhau. Sau đó, dây được kéo căng thành một hình vuông sao cho mặt phẳng của hình vuông được phân bố lại bằng chỉ thị tuyến tính của từ trường. Điện tích nào chạy qua tiết diện dây dẫn? Trình bày kết quả dưới dạng microcoulomb (1 µC = 10^{-6} C).

17(10). Dưới tác dụng của một từ trường đều, một vật dẫn thẳng có tiết diện $S = 1 \text{ mm}^2$ chuyển động trong đó với gia tốc $a = 2 \text{ m/c}^2$. Hướng của dây dẫn được xác định lại bằng chỉ báo tuyến tính và dòng điện $I = 1$ A chạy qua dây dẫn. Mật độ của vật liệu dẫn điện là $\varphi = 2,5 \cdot 10^3 \text{ кг/m}^3$. Định nghĩa từ trường cảm ứng.

18(12). Một khung bán dẫn làm bằng dây dẫn có điện trở $R = 1$ Ohm, chuyển động với tốc độ không đổi $v = 4 \text{ m/c}$, đi qua một từ trường bán liên tục có điện cảm $B = 0,5$ T. Vector $\vec{B}$ xác định lại mặt phẳng của khung. Các cạnh của khung $l_1 = 10$ cm, $l_2 = 5$ cm, chiều rộng dải $l_3 > l_2$, khung di chuyển dọc theo cạnh $l_2$. Xác định lượng nhiệt tỏa ra trong khung khi nó đi qua dải.

Dao động và sóng

1(3). Hai nam châm bắt đầu dao động đồng thời. Trong cùng khoảng thời gian, vật thứ nhất thực hiện dao động $n_1 = 20$ và vật thứ hai thực hiện dao động $n_2 = 10$. Xác định tỉ số chiều dài của nam châm.

2(1). Một nam châm toán học có chiều dài $l = 1$ m bị lệch một góc $\alpha_0 (\alpha_0 \ll 1)$ và được thả ra với tốc độ ban đầu bằng 0. Bởi vì

56

Thời gian tối thiểu để góc lệch của nam châm bằng $a_0/2$ là bao nhiêu? Gia tốc của trọng lực được coi là bằng $g = 10$ m/s².

3(11). Thang máy di chuyển thẳng đứng lên trên với độ gốc $a_1 = 6$ m/s² trong thời gian $t_1 = 5$ s, sau đó với độ dốc $a_2 = -6$ m/s² trong thời gian $t_2 = 10$ s. Trong thang máy có một nam châm toán học dài $l = 0,25$ m. Nam châm sẽ tạo ra bao nhiêu nam châm trong quá trình thang máy chuyển động? Dễ chịu $g = 10$ m/s². Làm tròn kết quả thành số nguyên.

4(4). Một quả cầu tích điện nhảy vào từ trường của một tụ điện phẳng đặt trên một đế mỏng cách điện. Các tấm tụ điện được đặt nằm ngang. Khối lượng của quả bóng là $m = 10^{-3}$ kg, điện tích của nó là $q = 10^{-5}$ Cl. Vận tốc tối đa của quả bóng là $v = 0,8$ m/s, độ cao bay lên là $h = 5$ cm. Xác định hiệu điện thế giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của quỹ đạo quả bóng.

5(5). Mạch dao động được điều chỉnh đến tần số $v = 1,5 \cdot 10^7$ Hz. Nên thay đổi điện dung của tụ điện như thế nào để điều chỉnh mạch điện về bước sóng $\lambda = 40$ m? Tốc độ ánh sáng là $c = 3 \cdot 10^8$ m/s.

6(10). Mạch dao động gồm một cuộn dây có độ tự cảm $L = 10^{-3}$ Gi và một tụ điện có điện dung $C = 10^{-5}$ F. Tụ điện được tích điện đến hiệu điện thế cực đại $U_m = 100$ V. Xác định cường độ dòng điện cực đại trong mạch có bình đựng tự do bên trong.

7(11). Tốc độ truyền âm trong nước là $v = 1450$ m/s. Các điểm ở gần đó dao động ngược pha nhau ở khoảng cách bao nhiêu nếu tần số dao động là $v = 725$ Hz? Trình bày kết quả theo đơn vị SI.

8(12). Điện dung của tụ điện biến thiên trong mạch vô tuyến thay đổi từ $C$ đến $9C$. Xác định khoảng bước sóng của mạch thu sóng vô tuyến nếu điện dung của tụ tương ứng với bước sóng 3 m.

Quang học

1(2). Một tia sáng chiếu vào mặt phân cách giữa hai môi trường một góc $\gamma = 30^\circ$ so với mặt phân cách. Chỉ báo nguồn cung thứ Tư đầu tiên $n_1 = 2,4$. Xác định chiết suất của môi trường thứ hai nếu biết tia phản xạ và tia truyền tới vuông góc với nhau.

2(11). Một nhà thủy sinh học khi ở dưới nước nhìn thấy Mặt trời ở góc $\gamma = 52^\circ$ so với đường chân trời. Xác định góc phía trước của tia sáng mặt trời trên mặt nước. Trình bày kết quả tới ranh giới của môi trường vuông góc $n = 1,33$.

3(11). Một chùm tia song song rơi xuống một tấm kính dày theo một góc $a = 60^\circ$ và được cho là truyền vào tấm kính. Chiều rộng của chùm tia trong không khí là $a = 10$ cm. Xác định chiều rộng của chùm tia trong kính. Trình bày kết quả tính bằng cm (cm) và làm tròn đến phần mười gần nhất. Chỉ báo cung cấp kính $n = 1,51$.

4(10). Vật nằm cách đường lồi kép một khoảng $d = 0,25$ m. Ảnh thật, ngược chiều, phóng to. Độ cao tại Γ = 4 lần độ cao của vật. Xác định khoảng cách hình dạng của đường thẳng.

5(3). Một vật nên được đặt ở khoảng cách bao nhiêu so với một đường lồi có khoảng cách hình dạng $F = 60$ cm để thực hiện một hành động.

56