Bài toán cho hỗn hợp khí

47

Nhiệm vụ
cho hỗn hợp khí

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
S. M. KOZEL

Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, trước tiên, ứng viên được cung cấp bài toán, bài kiểm tra này sẽ không kiểm tra các loại khí nguyên chất (hydro, oxy, v.v.), mà là hỗn hợp của một số loại khí. Những bài toán này rất quan trọng vì trong thực tế chúng ta thường phải xử lý hỗn hợp khí. Ví dụ, không khí bao gồm hỗn hợp nitơ, oxy, carbon dioxide với hỗn hợp các loại khí khác. Không khí ẩm cũng chứa hơi nước.

Các bài toán về hỗn hợp khí về cơ bản khác rất ít so với bài toán về các định luật của khí lý tưởng. Nếu theo điều kiện bài toán, thành phần của hỗn hợp khí không thay đổi thì chúng ta có thể coi hỗn hợp đó là một loại khí lý tưởng có khối lượng mol nhất định. Do đó, không khí khô thường được gán khối lượng mol $M_B=29$ g/mol, tính trung bình trên các thành phần chính của nó. Tuy nhiên, nếu thành phần của hỗn hợp thay đổi thì khái niệm khối lượng mol trung bình sẽ mất đi ý nghĩa và gặp một số khó khăn khi sử dụng phương trình trạng thái khí của không khí. Trong trường hợp này, sẽ rất hữu ích nếu đưa ra khái niệm áp suất riêng phần - đây thường được gọi là áp suất do bất kỳ khí nguyên chất nào gây ra khỏi hỗn hợp khi tất cả các khí khác được loại bỏ khỏi bình.

Nếu các khí đủ loãng (để chúng có thể được coi là lý tưởng) và không tương tác hóa học với nhau, thì các phân tử của các loại khí khác nhau không có tác dụng lên nhau và mỗi khí trong hỗn hợp hoạt động như thể không có khí nào khác. Theo đó, áp suất tổng cộng của hỗn hợp bằng tổng áp suất riêng phần:

$$p=p_1+p_2+\dots+p_n.$$

Định luật này được thiết lập bằng thực nghiệm bởi nhà vật lý người Anh Dalton và được đặt theo tên ông. Hãy để chúng tôi giải thích định luật Dalton và khái niệm áp suất riêng phần bằng một ví dụ.

Hai loại khí khác nhau $A$ và $B$ được đặt trong hai buồng có cùng thể tích và tạo ra áp suất $p_1$ và $p_2$ (xem trang 48). Sử dụng piston, khí từ buồng này được đẩy qua van sang buồng khác. Nhiệt độ được duy trì không đổi và giống nhau trong toàn bộ hệ thống. Kết quả là trong buồng thứ hai nó được lắp đặt

48

Áp suất $p = p_1 + p_2$. Áp suất $p_1$ và $p_2$ trong trường hợp này là áp suất riêng phần của các loại khí khác nhau và theo định luật Dalton, chúng cộng lại bằng áp suất tổng $p$.

Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng định luật Dalton chỉ đúng với các khí lý tưởng có cấu trúc phân tử không đáng kể. Kinh nghiệm cho thấy rằng ở áp suất cực cao (khoảng hàng chục atm) có thể xảy ra sai lệch so với định luật này.

Nếu chúng ta viết phương trình Mendeleev-Clapeyron cho từng chất khí thì từ định luật Dalton cho hỗn hợp khí chúng ta thu được

$$pV = \left( \frac{m_1}{M_1} + \frac{m_2}{M_2} + \dots + \frac{m_n}{M_n} \right) RT,$$

hoặc

$$pV = (v_1 + v_2 + \dots + v_n)RT,$$

trong đó $v_i = m_i/M_i$ là số mol của một chất khí nhất định trong hỗn hợp. Sự tương ứng này được gọi là phương trình trạng thái của hỗn hợp khí. Xét định luật Avogadro, theo đó một mol của bất kỳ chất nào đều chứa $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ phân tử ($N_A$ là số Avogadro), đẳng thức cuối cùng có thể được viết lại thành

$$pV = \left( v_1 N_A + v_2 N_A + \dots + v_n N_A \right) \frac{R}{N_A} T = (N_1 + N_2 + \dots + N_n) kT = NkT.$$

Ở đây $N_i = v_i N_A$ là số lượng phân tử của chất khí hiện có, $k = R/N_A = 1,38 \cdot 10^{-23}$ J/K là hằng số Boltzmann. Do đó, hóa ra áp suất của hỗn hợp khí ở nhiệt độ nhất định chỉ phụ thuộc vào tổng số phân tử và không phụ thuộc vào loại của chúng. Đây là một trong những hệ quả chính của lý thuyết phân tử về khí lý tưởng.

Chúng ta hãy xem xét chuỗi bài toán sử dụng định luật Dalton và phương trình trạng thái của hỗn hợp khí. Tất cả những bài toán này trong các năm khác nhau đều được mời đăng ký tham gia kỳ thi tuyển sinh viết vào Viện Vật lý và Công nghệ Moscow.

Bài toán 1. $m = 3$ g nước được đưa vào một bình có thể tích $V = 10$ l, chứa đầy không khí khô ở áp suất $p_1 = 10^5$ Pa và nhiệt độ $T_1 = 273$ K. Bình được làm nóng đến nhiệt độ $T_2 = 373$ K. Áp suất của không khí ẩm ở nhiệt độ này là bao nhiêu?

Áp suất của không khí ẩm trong bình là tổng áp suất riêng phần của không khí khô và hơi nước:

$$p = p_B + p_\pi.$$

Đồng thời

$$p_B = p_1 \frac{T_2}{T_1} = 1,37 \cdot 10^5 \text{ Pa}.$$

Coi hơi nước là một loại khí lý tưởng có khối lượng mol $M = 18$ g/mol và giả sử rằng toàn bộ nước sẽ bay hơi, chúng ta thấy

$$p_\pi = \frac{m}{M} \frac{RT_2}{V} = 0,52 \cdot 10^5 \text{ Pa}.$$

Áp suất này nhỏ hơn áp suất hơi bão hòa ở 373 K, bằng $p_\pi = 10^5$ Pa. Do đó, hơi nước không bão hòa và giả định của chúng tôi là đúng.

Như vậy,

$$p = p_B + p_\pi = 1,89 \cdot 10^5 \text{ Pa}.$$

Bài toán 2. Một bình có thể tích không đổi ở nhiệt độ $T_1 = 300$ K chứa $v_1 = 1$ mol neon và $v_2 = 2$ mol hydro. Áp suất trong bình $p_1 = 10^5$ Pa. Khi nhiệt độ tăng lên $T_2 = 2400$ K, áp suất tăng lên $p_2 = 8,8 \cdot 10^5$ Pa. Phần nào của phân tử hydro phân ly thành nguyên tử?

Ở nhiệt độ $T_1$ đối với hỗn hợp neon và hydro phân tử, chúng ta viết được phương trình

$$p_1 V = (v_1 + v_2) RT_1,$$

trong đó $V$ là thể tích của bình.

Nếu chúng ta biểu thị mức độ phân ly hydro, tức là tỷ lệ giữa số lượng phân tử phân rã trên tổng số phân tử trước khi phân ly, bằng $\alpha$, thì ở nhiệt độ $T_2$ có $v_1$ mol neon, $(1 - \alpha) v_2$ mol hydro phân tử và $2\alpha v_2$ mol hydro nguyên tử trong bình. Phương trình trạng thái của hỗn hợp khí được sử dụng ở dạng

$$p_2 V = (v_1 + v_2)(1 + \alpha) RT_2.$$