Bài toán M1051—M1055; F1063—F1067

36

Nhiệm vụ

M1051 — M1055, F1063 — F1067

M1051. Hai quân cờ được đặt ở góc dưới bên trái của bàn cờ hình vuông 8x8 theo hình vuông 3x3. Một con chip có thể nhảy qua bất kỳ con chip nào khác, phản xạ đối xứng với nó, nếu trường tương ứng trống. Có thể thu thập tất cả các chip dưới dạng hình vuông 3 × 3 bằng một số động tác như vậy không:
a) ở góc trên bên trái?
b) ở góc trên bên phải của bảng?

A. E. Briskin

M1052. Chứng minh rằng trong các tứ giác $n$ bị cắt khỏi một $n$-giác lồi bằng các đường chéo thì nhiều nhất $n/2$ có ​​thể ngoại tiếp được. Cho ví dụ về hình bát giác có 4 hình tứ giác như vậy.

N. M. Sedrakyan

M1053. Chứng minh rằng trong dãy số Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, trong đó mỗi số bằng tổng của hai số liền trước thì tại $m > 3$ sẽ có ít nhất 4 và nhiều nhất là 5 số $m$ chữ số.

M1054. Chứng minh rằng sáu điểm tiếp tuyến từng cặp của bốn mặt cầu luôn nằm trên cùng một mặt cầu hoặc trên cùng một mặt phẳng.

Yu. K. Koba

M1055. Có 21 điểm trên một vòng tròn. Chứng minh rằng trong số các cung có điểm cuối tại các điểm này có ít nhất 100 cung không vượt quá 120°.

A. F. Sidorenko

F1063. Người đi bộ cần đi từ điểm trường $A$ đến điểm trường $B$ trong thời gian ngắn nhất có thể, khoảng cách giữa đó là 1300 m. Cánh đồng được cắt ngang bởi một con đường thẳng sao cho điểm $A$ cách sân 600 m và điểm $B$ cách sân 100 m. Tốc độ di chuyển của người đi bộ qua cánh đồng là 3 km/h và đường bộ - 6 km/h. Người đi bộ nên đi theo con đường nào? Thời gian tối thiểu là bao lâu? Hãy xem xét trường hợp khi các điểm $A$ và $B$ nằm cùng một bên đường và khi chúng nằm ở hai phía đối diện nhau của đường.

S. S. Krogov

F1064. Sợi chỉ được gắn vào và quấn quanh vành của một chiếc vòng nặng. Nếu đầu kia được gắn vào trần nhà và vòng được thả ra, nó sẽ di chuyển xuống dưới, xoay và tháo sợi chỉ. Để ba vòng như vậy được kết nối “nối tiếp”, nghĩa là phần cuối của vòng tiếp theo được gắn vào trục của vòng trước (hình 1). Tất cả các vòng được thả ra cùng lúc và chúng bắt đầu chuyển động. Xác định gia tốc chuyển động của đỉnh vòng.

Phần trên của vòng sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu số vòng nối thành chuỗi rất lớn?

Giả sử rằng khối lượng của vòng được phân bổ đều dọc theo vành của nó, kim đan không có trọng lượng, các sợi chỉ không trọng lượng và không thể co giãn và không cần luyện tập.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

F1065. Một cái nồi đổ vào 1 lít nước không thể đun sôi bằng cách đun nóng