Bài toán để cắt

44

Về đổi mới, nghệ thuật, thể thao và khoa học
Những ai quan tâm đến cờ vua đều biết về một cuộc tranh luận lâu đời: cờ vua là gì - tranh luận, nghệ thuật hay khoa học? Nhiều bài báo và sách đã được viết về chủ đề này, tập hợp những quan điểm khác nhau về trò chơi hấp dẫn này.

Không có cách nào để tranh luận về toán học theo cách này. Đây là khoa học! Ngay cả “khoa học của mọi ngành khoa học,” như nhiều nhà chức trách khẳng định. Nhưng chúng ta hãy suy nghĩ một chút.

Bạn học được gì trong các bài học toán ở trường? Soạn và giải các phương trình, xử lý các lũy thừa, logarit, các phép tính tùy ý, v.v. Họ dạy gì trong các khóa học cắt và may? Cắt và may bảng mạch, xử lý máy may, vật liệu và dụng cụ, v.v. Ở đây họ dạy kỹ năng sửa chữa, và trong các bài học toán họ dạy kỹ năng sửa chữa, khả năng thực hiện các phép tính toán học, một phần không thể thiếu trong quá trình đào tạo một người được đào tạo về kỹ thuật.

Thủ công thường trái ngược với nghệ thuật. Lưu ý rằng ở Hy Lạp cổ đại, toán học được xếp vào loại nghệ thuật ngang hàng với âm nhạc, hội họa và kiến ​​trúc (các kỹ thuật đếm, cân và đo lường không được xếp vào toán học). Và điều này là tự nhiên, vì bài toán được kiểm tra đã được giải quyết riêng biệt bằng phương pháp riêng của chúng. Thái độ coi toán học như một nghệ thuật vẫn tiếp tục vào thời Trung Cổ. Sau đó, với những chuyến tham quan hiệp sĩ, các tư thế và tư thế tubadors, cũng có những chuyến tham quan của các nhà toán học, nơi họ thể hiện nghệ thuật của mình trong lời giải bài toán.

Dừng lại, dừng lại! Khoa học toán học ở đâu? Vai trò của cô ấy là gì? Các nhà toán học khám phá những kết nối mới giữa các đối tượng toán học. Kết quả của công việc này là đã tìm thấy các phương pháp chung cho lời giải của các lớp khác nhau bài toán. Và những bài toán này nhận được các phương pháp “tiêu chuẩn” lời giải, chuyển từ danh mục “sáng tạo” bài toán sang danh mục “kỹ thuật”, tức là yêu cầu lời giải của họ sử dụng các phương pháp đã biết.

Tất nhiên, tôi không nói rằng việc học toán ở trường và áp dụng những kiến ​​thức đã học vào thực tế là hoàn toàn không có yếu tố sáng tạo. Ngược lại, remontsement có thể tạo ra một tác phẩm nghệ thuật bằng cách suy nghĩ lại về sản phẩm mà nó lựa chọn theo một cách mới; và một học sinh, khi giải được “tiêu chuẩn” bài toán ở trường, có thể tìm ra một cách mới, hay lời giải. Mọi thứ được nói đều có sự hỗ trợ hoàn toàn của những điều sau: bài toán được chia thành những phần mà các phương pháp đặc biệt lời giải đã được tạo và những phần không có phương pháp đó. Cái sau chủ yếu bao gồm bài toán để được phép. Thật vậy, hãy so sánh hai bài toán.

bài toán đầu tiên là giải phương trình *)

$$1 + \frac{2}{1 + 32} = 1987.$$

Trông có vẻ đáng sợ phải không? Thậm chí còn có một câu chuyện cười cổ điển về những phương trình như vậy:

Giáo viên gọi Petya lên bảng (trên đó viết phương trình tương tự) và nói: “Tìm yêu cầu!” Petya nhìn bảng một lúc lâu, cuối cùng chỉ tay vào bảng và vui mừng kêu lên: “Anh ấy đây rồi!”

Mặc dù ở đây bạn sẽ không hiểu ngay xác nhận quyền sở hữu ở đâu, nhưng bằng cách đơn giản hóa nhất quán biểu thức bên trái, từng bước loại bỏ sự phức tạp

*) Phương trình này được độc giả của chúng tôi từ Sterlitamak A. Spivak gửi tới người biên tập.

45

theo các quy tắc đã biết, chúng ta sẽ rút gọn phương trình này về dạng $x = -2$.

Và đây là một bài toán khác: làm thế nào để cắt một hình tam giác đều thành bốn phần, từ đó có thể tạo thành một hình vuông có kích thước bằng nhau?

Ở đây kiến ​​​​thức được tìm thấy gần như vô dụng.

Bây giờ về việc cắt thực tế

Lời giải bài toán về việc cắt một tam giác đều được đưa ra ở hình 1, ​​​​mặc dù nếu bạn cố gắng tự mình tìm ra, bạn có thể nghi ngờ về khả năng cắt như vậy ngay cả đối với những trường hợp lớn

Hình 1.

số mảnh. Nhưng vào đầu thế kỷ trước, nhà toán học Hungary F. Bolyai và người yêu toán học người Áo P. Gerviin gần như đồng thời chứng minh rằng hai đa giác bất kỳ có kích thước bằng nhau đều có thể cắt thành các cặp phần giống hệt nhau.

Thật là tò mò, nhưng đối với điều này thì đủ để chứng minh rằng bất kỳ đa giác nào cũng có thể được cắt thành nhiều phần, từ đó có thể thêm các hình vuông có kích thước bằng nhau (và do đó, giống hệt nhau). Chúng ta hãy vẽ trên một hình vuông như vậy ranh giới của các phần của đa giác thứ nhất đặt trên đó, sau đó là ranh giới của các phần của đa giác thứ hai (ví dụ: như trên hình 2). Bằng cách cắt hình vuông dọc theo tất cả các đường kết quả, có thể tạo thành cả đa giác thứ nhất và thứ hai từ các mảnh kết quả.

Phép biến đổi hình bình hành và hình chữ nhật thành hình vuông, được mô tả trong hình 2, rất hữu ích cả trong việc cắt bê tông và chứng minh định lý Bolyai-Gerwin mà chúng ta đã thảo luận.

hình 3 cho thấy một phép biến đổi hữu ích khác của hình bình hành thành hình khác có kích thước bằng nhau

46

lãng phí, nhưng, tất nhiên, bạn muốn có ít chất thải hơn. Bất động sản trong trường hợp không có giới hạn về số lượng bộ phận cắt có thể được kiểm tra bằng các phương pháp tiêu chuẩn, giống như những phương pháp chúng ta đã nói đến, nhưng đối với số lượng bộ phận lớn hơn.

Nếu bạn đủ may mắn để giảm số lượng phần ở bất kỳ phần bài toán nào so với những phần được chỉ định, hãy gửi lời giải của bạn đến tòa soạn của chúng tôi.

Nhiệm vụ *)

1. Xương cá. Cắt xương cá thành 4 miếng sao cho có thể gấp thành hình vuông.

2. Trong số hai - một. Cắt hình vuông có hai đường thẳng thành 4 phần sao cho từ chúng có thể gấp hình vuông mới và hình vuông thứ hai.

3. Trong số ba - một. Cắt hình vuông lớn hơn thành ba phần để năm hình thu được có thể gấp lại thành một hình vuông.

4. Hai con số. Từ hai hình, cắt chúng ra, làm năm hình để bạn có thể gấp chúng thành hình vuông.

5. Bình phương hình. Cắt hình được mô tả thành 4 phần, từ đó bạn có thể gấp một hình vuông.

6. Hình vuông đục lỗ. Cắt hình vuông có lỗ thành 8 mảnh để tạo thành một hình vuông hoàn chỉnh.

7. Hình vuông lởm chởm. Biến hình vuông lởm chởm thành hình vuông thông thường bằng cách cắt nó thành 5 mảnh.

8. Hình vuông lởm chởm Holey. Cắt hình vuông có răng cưa thành 5 miếng để có thể gấp lại thành hình vuông.

9. Thang. Biến “cái thang” thành hình vuông bằng cách cắt nó thành ba phần.

10. Các bước. Cắt từng bước của “bậc thang” thành hai mảnh có thể gấp lại thành hình vuông.

11. Chữ thập Malta. Cắt “chữ thập Malta” thành 5 mảnh để có thể gấp lại thành hình vuông.

*) Chúng tôi đã lấy bài toán này từ Ya. I. Bộ sưu tập của Perelman “Fun bài toán” (Những kiến ​​thức cơ bản, Petrograd, 1919).

*) Bài toán “Xương cá” được N.I. Abilov, bài toán “Trong hai, một” - N.K. Antonovich, phần còn lại bài toán do L.P. Mochalov đề xuất.