Задачи на разрезание

44

О ремонсе, искусстве, спорте и науке
Te, кто интересовался шахматами, знают о давнем споре: что же такое шахматы — спор, искусство или наука? По этому поводу написано много статей и книг, в которых стalkиваются различные точки зрения на эту увлекательную игру.

О математике вode бы не поспорить подобным образом. Это — наука! Даже «наука всех наук», как утверждают многие авторитеты. Но давайте немного подумаем.

Чему вы учитесь в школе на уроках математики? Составлять и решать уравнения, обращаться со степенями, логарифмами, произвольными и т. п. А чему учат, скажем, на курсах кройки и шитья? Кроить и шить платы, обращаться со швейными машинами, материалами и инструментами и т. п. Тут учат ремонсу, и на уроках математики учат ремонсу, умению проводить математические выкладки, что является составной частью подготовки технических образованного человека.

Ремеслу принято противопоставлять искусство. Заметим, что в Древней Греции математика относлась к числу искусств, нарушу с музыкой, живописью и архитектурой (технику счета, взвешивания, измерения к математике не относили). И это было естественно, поскольку расматрившиеся задачи решались каждая отдельно, своим методом. Отношение к математике как к искусству сохранилось и в средние века. Тогда нарушу с рыцарскими турирами, состояниями позтов и тубадуров проводились и туриры математиков, где они демонстрировали свое искусство в решении задачи.

Стоп, стоп! А где же наука математика? Какова ее роль? Математики открывают новые связи между математическим объektами. В результате этой работы находится обще методы для решения различных классов задачи. И эти задачи получают «стандартные» методы решения, реходя из разряда «творческих» задач в разряд «технических», т. е. требующих для своего решения применения уже известных методов.

Конечно, я не утверждаю, что обучение математике в школе и применение полученных знаний на практике полностью лишено элементов творчества. Наоборот, и ремонsement может создать произведение искусства, по новому осмыслив произвольные им изделия; и школьник, решая «стандартную» задачу в школе, может найти новый, красивый способе решения. Все сказанное имело целую поддержку следующей: задачи делятся на те, для которых уже созданы специальные методы решения, и те, для которых таких методов нет. К последним относятся в большинстве своей задачи на разрешение. Действительно, сравним две задачи.

Первая задача — решить уравнение *)

$$1 + \frac{2}{1 + 32} = 1987.$$

Выглядит страшновато, не правда ли? По поводу таких уравнений даже существует старый школьный анекдот:

Учитель вызывает Петю к доске (на котором написано пожоже уравнение) и говорит: «Найди иск!. Петя долго смотит на доску, наконец, тычет в доску пальцем и радостно восслитает: «Вот он!».

Хотя здесь и не сразу разберешь, где же иск, но, последовательно упрощая выражение слева, шаг за шагом избавляясь от многоотажности

*) Это уравнение прислал в редакцию наш читатель из Стерлитамака А. Спивак.

45

по известным правилам, мы приведем это уравнение к виду $x = -2$.

А вот другая задача: как разрезать правильный треугольник на четыре части, из которых можно было сложить равновеликий ему квадрат?

Тут нашли знания оказываются почти бесполезными.

Тепер собственно о разрезаниях

Решение задачи о разрезании равностороннего треугольника дано на рисунке 1, хотя, если вы пробовали найти его самостояльно, у вас могло возникнуть сомнение в возможности такого разрезания даже на большие

Рис. 1.

число кусков. Но еще в начале прошло века венгерский математик Ф. Больяи и австрийский любитель математики П. Гервиин почти одновременно доказали, что любые два равновеликих многоугольника можно разрезать на попарно одинаковые части.

Любопытно, но для этого достаточно доказать, что любой многоугольник можно разрезать на части, из которых можно сложить равновеликие им (и, следовательно, одинаковые) квадраты. Нанесем на одном таким квадрате границы уложенных на нем кусков первого многоугольника, а потом — границы кусков второго многоугольника (например, как на рисунке 2). Разрезав квадрат по всем полученным линиям, из образованших кусков можно будет сложить как первый, так и второй многоугольник.

Превращения параллелограмма и прямоугольника в квадрат, изобразенные на рисунке 2, очень полезны как при конкретных разрезаниях, так и при доказательстве теоремы Больяи—Гервина, о которой мы говорили.

На рисунке 3 показано еще одно полезное преобразование параллелограмма в другой равновеликий ему

46

отходы, но, естественно, хочется, чтобы их было меньше. Недвижительность при отсутствии ограничения на число частей разрезание можно проверки стандартными методами, вроде тех, о которых мы говорили, но на большие число кусков.

Если вам удостсяменьшить в какой-либо из задач число частей по сравнению с указанным — присылайте свои решения к нам в редакцию.

Задания *)

1. Елочка. Разрежьте «елочка» на 4 части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

2. Из двух — один. Разрежьте квадрат с двумя двумя прямыми на 4 части так, чтобы из них и второго квадрата можно было сложить новый квадрат.

3. Из трех — один. Разрежьте больший квадрат на три части так, чтобы из полученных пятей фигур можно было сложить один квадрат.

4. Две фигуры. Из двух фигур, разрезав их, сделайте пять так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

5. Квадрирование фигуры. Изображенную фигуру разрежьте на 4 части, из которых потом можно было сложить квадрат.

6. Продырявленный квадрат. Разрежьте продырявленный квадрат на 8 части, из которых можно сложить целый квадрат.

7. Зубчатый квадрат. Превратите зубчатый квадрат в обычновенный, разрезав его на 5 части.

8. Дырявый зубчатый квадрат. Разрежьте дырявый зубчатый квадрат на 5 части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

9. Лесенка. Превратите «леесенку» в квадрат, разрезав ее на три части.

10. Ступенки. Сделайте ступенчатый разрез «ступенки» на две части, из которых можно сложить квадрат.

11. Мальтийский крест. Разрежьте «мальтийский крест» на 5 части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

*) Эту задачу мы взяли из сборника Я. И. Перельмана «Веселье задачи» (Начатки знаний, Петроград, 1919).

*) Задачу «Елочка» предложил Н. И. Абилов, задачу «Из двух — один» — Н. К. Антонович, остальные задачи предложил Л. П. Мочалов.