Как построить траекторию?

26

КАК ПОСТРОИТЬ ТРАЕКТОРИЮ?

С необходимостью расчитать траекторию того или иного движения человека стalkивается очень часто. Такая задача возникает и перед австралиским аборигеном, подкрадывощимся с бумерангом к стae птиц, и перед математиком, вычисляющим место применения космического корабля.

В этой статье мы хотим рассказать об одном методе приближенного построения траекторий сложных движения, пропллюстрировать его на конкретных примерах и предложить виниманию читатель несколько игр, в основе которых лежит этот метод.

Начнем с начала

Не боися начала, а я ещё конча.
Не дочитав сказки, не кидай указык.
В. Далъ. Пословиц русского народа

Основная идея метода очень проста и основана на известном соотношении, связывающихся вектор перемещения материальной точки с вектором ее средней скорости. Напомним, что средней скорость $\vec{v}_{\text{cp}}$ неравномерно движения называется физической величины, равная относению перемещения $\vec{s}$ тела за некоторый промежуток времени $\Delta t$ к длиельности этого промежутка:

$$\vec{v}_{\text{cp}} = \frac{\vec{s}}{\Delta t}.$$

Отсюда

$$\vec{s} = \vec{v}_{\text{cp}} \Delta t.$$

И средняя скорость, и перемещение — величины векторы, поэтому на рисунках они изображаются направлеными отрезками. При этом направления обих векторов одинаковые, а длины отличаются в $\Delta t$ раз. Очевидно, что соответствующим выбором масштаба можно сделать так, чтобы направленные отрезки, изображенные среднюю скорость и перемещения, совпадали

$$\vec{v}_0$$

Рис. 1.

полностью — и по направлению, и по длине. Именно это обстоятельство и дает возможность быстро и несколько строить, разумеется приближению, различные траектории.

Рассмотрим сначала простейший случай — равномерное прямолинейное движение. Пусть в начальной момент времени тело находится в точке $A_0$ и имеет скорость $\vec{v}_0$ (рис. 1). Поскольку (как мы договорились) вектор перемещения за промежуток времени $\Delta t$ совпадает с вектором скорости, то по истечении этого интервала тело оказывается в точке $A_1$, в которой оказывается отложенный из $A_0$ вектор начальной скорости $\vec{v}_0$. Отложив из точки $A_1$ еще один вектор $\vec{v}_0$, получим точку $A_2$, в которой тело оказывается по истечении двух интервалов $\Delta t$. Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность точки $A_n$, в которых тело будет находиться по истечении $n$ выбранных промежутков времени от начала движения. Примяя, прохождение через эти точки, и есть траектория равномерного прямолинейного движения.

Идей обобщения метода

Они впервые рассмотрели обобщение цры на случай «многоруководо игрок», т. е. игрок, имеющего более двух рук.

Из сборника «Математический цветник»

Рассмотренный выше случае равномерного прямолинейного движения является простейшим, однако основная идея метода остается неизменной и в более сложных ситуациях.

Идей метода в следующем.

Для приближенного построения траектории все время движения тела разобем на малые промежутки *),

*) В зависимости от условий движения длиельности «малого» промежутка может изменяться как долями микросекунд, так и миллиардами лет. Важно только, чтобы она была намного меньше времени протекания рассматриваемого процесса.

28

точку $A_3$. В ней тело окажется спустя интервал $\Delta t$ после прохождения точки $A_2$ и т. д. Построение дает приближенную траекторию — ломаную, которая похожа на хорошего извесную всем параболу, являющегося истинной траекторией.

Решение этой задачи особойности не представляется, поскольку ответ был известен заранее из школьного курса физики. Прочем, сравнение полученного результата с известным позволяет проверить метод, а также проверка всегда полезна.

Тепер мы готовы к рассмотрению более сложной и не изучаемой в школе задачи о движении тела в поле тяжесте при наличии сопротивления воздуха. Пусть в начальной момент времени тело находится в точке $A_0$ и имеет скорость $\vec{v}_0$ (рис. 4), а сила сопротивления воздуха $\vec{F}_c$ связана с вектором скорости тела $v$ соответствием $\vec{F}_c = -\alpha \vec{v}$ (α — постоянный коэффициент). Требуется установить, какой будет траектория тела в этом случае.

Ускорение $\vec{a}$, вызваемое двумя слиями — тяжесте и сопротивления, можно определить из второго закона Ньютона. Однако для построения удобнее ускорение $\vec{a}$ представить как сумму двух составляющих: ускорения $a_t = g$, сообщаемого слиной тяжесте, и ускорения $\vec{a}_c = \vec{F}_c / m = -(\alpha / m)\vec{v}$. Если изображить зависимость $a_c$ от $v$ в виде графика, то по нему легко определить величины ускорения $\vec{a}_c$ для любого значения скорости тела. Например, же этого ускорения всегда противоположно направлению вектора скорости $\vec{v}$.

Приступим к построению траектории. Спустя малый промежуток времени $\Delta t$ после того, как тело начало движение из точки $A_0$ (см. рис. 4), оно оказывается в точке $A_1$. Для построения вектора скорости на следующем шаге нужно из точки $A_1$ отключить вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ и прибавить к нему вектор ускорения $\vec{a} = \vec{g} + \vec{a}_c$ (как построить векторы $\vec{g}$ и $\vec{a}_c$ по отдельности, мы уже знаем). В результате построения получим точку $A_2$ — в нее и будет направлен новый вектор скорости. Таким образом, спустя два промежутка времени после начала движения тела окажется в точке $A_2$.

Повторяя эту процедуру, мы получим точку $A_3$, в котором тело окажется еще через один промежуток, затем точки $A_4$, $A_5$ и т. д. Заметим, что ускорение $\vec{a} = \vec{g} + \vec{a}_c$ по истечении каждого промежутка времени необходимо определить заново, поскольку составляющая $\vec{a}_c$ зависит от скорости и поэтому в процессе движения не остается постоянной.

Ломаная, прохождение через точки $A_0$, $A_1$, $A_2$, …, представляет собой приближенную траекторию полета тела при наличии сопротивления воздуха. Особенность этой кривой состоит в том, что, в отличие от параболы (см. рис. 3), она не симметрина относительно вертикали, проходящей через навившую точку полета: исходящая ветвь траектории кругче восходящей. Посмотрите теперь на замистованный нами из учебника по бадминтуну*) рисунок 5, на котором изображены траектории полета волна при различных подачах. Видите?

Почти все траектории обладают отмеченной особенностью — они являются несимметричны. В спортивном базиментоне этим пользовется очень широко. Высокую подачу, например, подают обычно настолько высоко, насколько позволяет высота потолка и силы игрока,— при этом на задней линии поля противника волан падает почти вертикально, а по ответно падающей волану нельзя нанести ответного сильного удара, так как мешает оперение.

Тепер естественно условия сгущения, добавив, например, еще одну действующую на тело силы. Оказыва-

*) Рыбаков Д. П., Штильман М. И. Основы спортивного базимента. (М., Физкультура и спорт, 1978.)

29

вается, что это позволяет нам рассмотреть очень красивую задачу о…

Здесь мы советем читателю на несколько минут перевать чтение, сложить из листка бумаги «самолетик» и показать за теми выкрутасами, которые он вытворяет в воздухе, когда его запускают с различными скоростями и под разными углами к горизонту. Во-первых, это дает возможность немного отдохнуть, а во-вторых, после таких экспериментов вам будет намного интереснее читать то, что написано далее.

Как летает бумажный самолетик?

Заранее тут ничего сказаить нельзя. И это, конечно, самое интересное!

А. А. Милл. Виниц-Пух и все-все-все

Проведенные эксперименты, вероятно, убедили вас в том, что бумажный самолетик ведет себя в полете гораздо сложнее и интереснее, чем брошенный камень или волан для бадминтона. Далее бросать его все время строго горизонтально, то в зависимости от начальной скорости он то почти отвесно пикирует на пол, то взмывает под потолок. Угадать заранее траекторию его полета практически невозможно, однако это вовсе не означает, что поведение кувыркашшегося в воздухе бумажника не подается никакому анализу.

Задча о полете бумажного самолета является частьим слуаем более общей задачи о неуправляемом полете безмоторного летательного аппарата. Эту задачу впервые поставил и решил заменять русский ученый, основоположник аэродинамики Н. Е. Жуковский (1847—1921). Здесь мы разберем только тот вариант задачи, который сам Жуковский называл «задачей о планере».

Пусть в воздухной среде летит симметричный планер (рис.6). На него действуют три силы: сила тяжести

$$\vec{F}_T$$, сила лобового сопротивления $$\vec{F}_c$$ и подъемная сила $$\vec{F}_n$$. Сила тяжести $$\vec{F}_T = m\vec{g}$$ поступна по величине и всегда направлена вертикально вниз. Сила лобового сопротивления связи со скоростью $$\vec{v}$$ соответствием $$\vec{F}_c = -\alpha \vec{v}$$, т. е. точно так же, как и в предыдущем случае. Подъемная сила лежит в вертикальной плоскости и направлена перpendicularно вектору скорости, а величина ее, согласно т. н. теореме Жуковского, связана со скоростью соответствием $$\vec{F}_n = \beta v^2$$. Все три силы приложены в центре масс, которые находятся в вертикальной плоскости симметричной планера. Спрашивается, какой будет траектория полета, если планер запускают из точки А₀ с начальной скоростью $$\vec{v}_0$$ под углом φ к горизонту (рис. 7)?

Траектория строится в точности так же, как и раньше, только теперь для нахождения полногоускорения придется складывать не два вектора, а три: $$\vec{g}, \vec{a}_c$$ и $$\vec{a}_n$$, где вызываемое подъемной силойускорение $$\vec{a}_c = \vec{F}_n/m$$ направлено perpendicularно вектору скорости $$\vec{v}$$ и равно ($\beta/m)v^2$ по величине. Для упрощения построения полезно воспользоваться приведенными на рисунке 7 графиками зависимости $$a_c$$ и $$a_n$$ от $$\vec{v}$$.

Построение траектории планера, как видите, хотя и громоздкое, но не сложное. Это посмотрене, какую изумительную кривую мы получили! Наш планер описал самую настоящую «мертвую петлю»! В данном случае петля одна, но в принципе планер может описать несколько таких петель, после чего он переходит в режим характерного «порхающего» петля: он то проваливается вниз, то снова набирает высоту и, постепенно уменьшая амплитуду таких «провалов», выравнивает свой полет и движется равномерно по некоторой наклонной прямой.

30

Итак, мы построили траекторию и получили описание наиболее характерных особенностей полета симметричного планера, несмотря на то, что точное решение задачи о планире (решение сложной системы дифференциальных уравнений) перевести на понятный школьник язык совершенного невозможно.

Наблюдательный читатель, верятно, заметил, что бумажный самолёт в некоторых отношениях отличается от рассмотренного нами идеального планера. Например, самолёт может не быть идеально симметричный: у него могут быть разными сила тяжестями, подъемная сила и сила сопротивления воздуха, действующие на правое илевое крылья. Это приводит к тому, что в полете одного крыло самолета будет располагаться выше другого, и самолёт начинает как по наклонной плоскости, «соскальзывать» в сторону опущенного крыла.

При таком поперечном «скольжения» носовая и хвостовая часть самолета будет испытывать неодинаковые силы сопротивления воздуха, поэтому самолёт начинает поворачивать вокруг вертикальной оси, т. е. будет лететь не прямо вперед, а поворачиваясь вправо или влево. Короче говоря, к рассмотрению нами «кувырканию» и «порханию» планера в вертикальной плоскости добавляется повороты вправо или влево.

Поскольку разные типы сил, действующих на самолёт, по-разному зависит от скорости, то радиус повората и даже его направление тоже будет зависит от скорости. Поведение самолетки, которые на больших скоростях поворачивают вправо, а на малых влево, оказывается особенно интересным. Позапускайте несколько таких самолетков разных типов, присмогите к их полету — и вы увидите, что многое в их поведении будет вам теперь более понятным.

В принципие, с помощью изложенного метода можно рассматривать и еще более сложные задачи, связанные с повышением летаательных аппаратов. Например, полет самолета. Для этого достаточно вспомнить, что самолет — это тот же планер, только с двигателем. Поэтому добавить к рассмотренным в задаче о планере trem силам постоянную по величины сил тягги двигается $\vec{F}$, направленную вдоль вектора скорости, мы сможем построить траекторию полета самолета. Если представить, что в кабине этого самолета сидит пилот, который управляет двигаителем и рулем высоты (т. е. изменять величины $\vec{F}$ и параметр $\beta$), то можно моделировать даже повышение самолета в управляемом полете. Перiodически включая и выключая двигаель такого самолета, терпельный читатель сравнительно легко может добиться того, что самолет перейдет в волнообразный режим полета, напоминающий полет синиц, стрижей и других небольших птиц. А уменный в этом режиме массу $m$ и увеличив параметры $\alpha$ и $\beta$, можно получить траектории, которые будут достаточно точно воспроизводитьxaотическая возможность.