Các phương trình nghĩ cho chúng ta

44

phương trình
nghĩ cho chúng tôi

V. A. NAKHSHIN

Lời giải bất kỳ tính toán bài toán nào trong vật lý bao gồm hai phần - vật lý và toán học.

Trong khi chúng tôi nghĩ về các điều kiện bài toán, phân tích hiện tượng này xảy ra theo các định luật vật lý nào và soạn thảo hệ phương trình thích hợp, chúng tôi là những nhà vật lý. Sau đó, vật lý tạm thời mờ dần. Bây giờ chúng ta là những nhà toán học, và chúng ta đang phải đối mặt với những vấn đề khác nhau: làm thế nào để giải hệ phương trình kết quả một cách hợp lý nhất và tìm đáp số? Hơn nữa, đáp số phải được tìm thấy ở dạng tổng quát (nghĩa đen), sao cho bên cạnh dấu bằng chỉ có số lượng mong muốn (trong ký hiệu chữ cái) và ở bên phải là sự kết hợp của các đại lượng chỉ đã biết (giống nhau trong ký hiệu chữ cái tương ứng).

Bài viết này được xuất bản lần đầu trên số tháng 9 «Kvant» năm 1981. (Note ped.)

Nhưng bây giờ đáp số đã thu được ở dạng tổng quát và chúng ta lại chuyển sang vật lý: trước khi thay thế dữ liệu số, chúng ta cần kiểm tra thứ nguyên của đại lượng mong muốn và phân tích đáp số từ quan điểm về tính hợp lý của nó. Nếu kích thước đúng và đáp số hợp lý, bạn có thể thay thế dữ liệu và đếm.

Các giai đoạn được mô tả lời giải thực tế vốn có trong tất cả các nhiệm vụ. Tuy nhiên, đôi khi - và chính những trường hợp như vậy sẽ được thảo luận trong bài viết - sau khi tính toán, người ta thu được một kết quả vô lý không mong muốn, điều này cho thấy rằng lời giải không chính xác. Ví dụ, điều này xảy ra khi cả điều kiện bài toán, trực giác hay lẽ thường đều không thể cho biết quá trình này hoặc quá trình kia đang diễn ra theo hướng nào hoặc kết quả cuối cùng sẽ như thế nào.

Bắt đầu với lời giải bài toán, chúng ta buộc phải giả định một số tùy chọn và theo đó, tạo ra một hệ phương trình. Nếu đáp số trở nên vô lý, bạn không nên đăng ký. Chúng tôi chỉ không may mắn: giả định của chúng tôi hóa ra là sai. Tuy nhiên, chúng tôi vẫn nhận được thông tin - quá trình này không diễn ra theo hướng mong đợi.

45

Chà, hãy nói một lựa chọn khác, v.v. Vấn đề trở thành một nghiên cứu nhỏ và phương trình trở thành một điều đáng suy nghĩ. Cuối cùng, họ sẽ không làm chúng tôi thất vọng (tất nhiên, nếu chúng tôi không làm họ thất vọng, tức là chúng tôi không mắc lỗi trong sáng tác và lời giải) và sẽ cho chúng tôi biết về hướng đi thực sự của quá trình hoặc kết quả cuối cùng.

Hãy cùng xem xét một vài bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Trên đỉnh của một mặt phẳng nghiêng có một khối để luồn một sợi dây qua đó. Hai vật có khối lượng $m_1=3$ kg và $m_2=2$ kg được gắn vào đầu sợi chỉ. Tìm gia tốc của hệ và lực ma sát giữa thân lông vũ và mặt phẳng nếu hệ số ma sát là $\mu=0,5$ và góc nghiêng của mặt phẳng so với phương ngang là $\alpha=30^\circ$.

Hệ thống đang tăng tốc ở đâu và nó có đang chuyển động không? Không rõ ràng về điều kiện bài toán. Trong khi đó, điều rất quan trọng là phải biết điều này. Vì vậy, nếu hệ đang chuyển động thì xảy ra ma sát trượt và mô hình của lực này bằng $F_{\text{rp}}=\mu N$ (N là mô hình của phản lực pháp tuyến). Nếu hệ kết thúc, vật thứ nhất chịu tác dụng của lực ma sát tĩnh, người ta chỉ biết lực ma sát tĩnh này không lớn hơn lực ma sát trượt.

Có lẽ trực giác sẽ giúp ích? Một mặt, vật thứ nhất nặng hơn vật thứ hai, nhưng mặt khác, vật thứ hai lơ lửng trên không, còn vật thứ nhất nằm trên mặt phẳng nghiêng, ngoài ra còn có một đoàn tàu. Không, trực giác sẽ không giúp ích gì cho chúng ta, chúng ta cần phân tích. Hãy thử chuyển những lo lắng của chúng ta sang các phương trình.

Giả sử rằng khối quay theo chiều kim đồng hồ, tức là vật thứ hai đi xuống với một gia tốc nhỏ và vật thứ nhất bay lên dọc theo mặt phẳng với cùng gia tốc. Hãy mô tả các liên kết tác dụng lên mỗi vật (hình 1) và viết ra hệ phương trình của định luật thứ hai. Newton trong các hình chiếu lên các hướng tương ứng (đối với vật thể thứ nhất, đây là các hướng dọc theo mặt phẳng và vuông góc với nó, còn đối với vật thể thứ hai, đây là hướng thẳng đứng):

$$\begin{align*} T &= m_1 g \sin \alpha - \mu N = m_1 a, \\ N &= m_1 g \cos \alpha = 0, \\ m_2 g &= T = m_2 a. \end{align*}$$

Giải hệ này, ta được

$$a = g \frac{m_2 - \mu m_1 \cos \alpha - m_1 \sin \alpha}{m_1 + m_2} \approx -1.6 \text{ m/c}^2$$

• hình chiếu của hình chiếu lên hướng đã chọn là âm. Điều này có nghĩa là giả định của chúng tôi là không chính xác.

Điều gì sau đó xảy ra với hệ thống? Di chuyển theo hướng ngược lại? Và với sự chân thành như thế nào?

Ở chỗ này, nhiều người mắc sai lầm khi cho rằng hệ được tăng tốc theo hướng ngược lại với cùng mô hình gia tốc ($\approx 1.6 \text{ m/c}^2$). Đôi khi điều này có thể được coi là hợp lệ. Ví dụ, nếu không có lực ma sát trong hệ thống này, khi hướng chuyển động đã chọn thay đổi sang ngược lại, hình chiếu của tất cả các lực sẽ thay đổi dấu của chúng, và gia tốc sẽ có cùng mô đun, nhưng có dấu ngược lại. Trong trường hợp của chúng ta, theo giả định mới, hình chiếu của lực ma sát vẫn âm nên hệ phương trình tương ứng sẽ khác (hình2):

$$\begin{align*} m_1 g \sin \alpha - T - \mu N = m_1 a, \\ N - m_1 g \cos \alpha = 0, \\ T - m_2 g = m_2 a. \end{align*}$$

46

Từ đây

$$a = g \frac{m_1 \sin \alpha - \mu m_1 \cos \alpha - m_2}{m_1 + m_2} \approx -3,6 \text{ m/c}^2.$$

Và một lần nữa phép chiếu gia tốc hóa ra lại âm; do đó, giả định mới cũng không đúng.

Vì vậy, các phương trình do chúng ta “nghĩ” ra sẽ dẫn đến kết luận rằng hệ không tăng tốc, tức là

$$a = 0.$$

Điều này có nghĩa là để tìm lực ma sát, hay chính xác hơn là lực ma sát tĩnh, bạn không thể sử dụng công thức $F_{\tau p} = \mu N$, công thức này đúng cho lực ma sát trượt.

Để xác định lực cần thiết, chúng ta hãy xem những lực khác (hoặc hình chiếu của chúng) tác dụng lên vật thứ nhất theo hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng. Đây là hình chiếu của lực dây, có mô đun bằng $m_1 g \sin \alpha = 15 \text{ H}$, và lực căng chỉ, mô hình của lực này có thể được tìm thấy từ điều kiện phần còn lại của vật thứ hai: $T = m_2 g = 20 \text{ H}$. Do đó, lực ma sát tĩnh hướng xuống dọc theo mặt phẳng và có độ lớn bằng

$$F_{\tau p, n} = T - m_1 g \sin \alpha = 5 \text{ H}.$$

Nhân tiện, không khó để xác minh rằng trong trường hợp này lực ma sát $F_{\tau p, n} = 5 \text{ H}$ thực sự nhỏ hơn $\mu N = \mu m_1 g \cos \alpha \approx 13 \text{ H}.$

Bài toán 2. Một nhiệt lượng kế chứa $m_1 = 3$ kcal ở nhiệt độ $t_1 = -10^\circ \text{C}$ chứa đầy $m_2 = 2$ kcal ở nhiệt độ $t_2 = 80^\circ \text{C}$. Nhiệt độ nào sẽ được thiết lập do sự trao đổi nhiệt? Nhiệt dung của nhiệt lượng kế không được tính đến.

Rõ ràng nhiệt độ cuối cùng $t$ nằm trong khoảng từ $-10$ đến $+80^\circ \text{C}$:

$$-10^\circ \text{C} < t < 80^\circ \text{C}.$$

Do đó, nó có thể lớn hơn $0^\circ \text{C}$, nhiệt độ lực kéo băng, nhỏ hơn nhiệt độ này hoặc bằng nó. Không thể nói trước chính xác nó diễn ra như thế nào. Chúng ta sẽ tiến tới mục tiêu “bằng cách chạm”, xem xét các lựa chọn khả thi và dựa vào ý chí của phương trình.

Giả sử rằng $t > 0^\circ \text{C}$, tức là sẽ chỉ có nước trong nhiệt lượng kế. Sau đó, băng nhận được Tello theo ba giai đoạn: tự nó là băng, nóng lên từ $-10$ đến $0^\circ \text{C}$, biến thành nước ở $0^\circ \text{C}$ và đã là nước, nóng lên từ $0^\circ \text{C}$ đến $t$. Trong trường hợp này, nước sẽ chỉ tách cơ thể khi được làm lạnh từ nhiệt độ $t_2$ đến $t$. Viết phương trình cân bằng nhiệt tương ứng:

$$c_1 m_1 (0 - t_1) + \lambda m_1 + c_2 m_1 (t - 0) + c_2 m_2 (t - t_2) = 0,$$

trong đó $c_1 = 2,1 \cdot 10^3$ J/(kg K) và $c_2 = 4,2 \cdot 10^3$ J/(kg K) là nhiệt dung riêng của nước đá và nước, và $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ J/kg là nhiệt dung riêng của băng. Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy

$$t = \frac{c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_2 - \lambda m_1}{c_2 (m_1 + m_2)}.$$

Thay thế dữ liệu số, chúng ta nhận được $t < 0^\circ \text{C}$. Điều này có nghĩa là giả định của chúng tôi là không chính xác.

Bây giờ hãy giả sử rằng $t < 0^\circ \text{C}$. Do đó, giả định thứ hai của chúng tôi cũng không chính xác.

Lựa chọn duy nhất còn lại là $t = 0^\circ \text{C}$. Đây sẽ là đáp số bài toán.

Ở đây, chúng tôi dự đoán số lượng tài liệu dành cho người đọc sẽ tăng lên: tại sao tác giả lại chọn các ví dụ trong đó tất cả các giả định ban đầu đều không chính xác và cả lời giải cồng kềnh như vậy đều dẫn đến kết quả tương đối đơn giản ($a = 0, t = 0^\circ \text{C}$)? Trên thực tế, tại sao không giả định trước những lựa chọn đơn giản này?

Con đường này có thể thực hiện được, nhưng nó sẽ không mua được sự nhẹ nhõm. Vì vậy, trong bài toán đầu tiên, giả sử đứng yên và không có công thức tính lực ma sát tĩnh, chúng ta sẽ phải lập hệ ba phương trình cân bằng, nhưng khi đã giải và tìm được lực ma sát, chúng ta nhất định phải kiểm tra xem lực ma sát trượt là thực hay thay đổi. Nếu không phải vậy, mọi thứ lời giải được mô tả ở trên sẽ phải bắt đầu lại.

47

Trong bài toán thứ hai, giả sử $t = 0^\circ\text{C}$, chúng ta cần xác nhận phương trình cân bằng nhiệt này, nhưng không biết cách xây dựng nó. Chúng ta không biết cái nào đạt đến số 0: băng “từ bên dưới” hay nước “từ trên cao”, và kết quả là - một phần (và phần nào) của băng đã tan chảy hay một phần nước đã đóng băng? Tất nhiên, bạn có thể giả định lại điều gì đó, nhưng số lượng tùy chọn sẽ không ít, thậm chí nhiều hơn so với lời giải ở trên.

Bài toán 3. Tìm các điểm trong tất cả các nhánh của sơ đồ hiển thị ở hình 3. Đây là $\mathcal{C}_1 = \mathcal{C}_2 = \mathcal{C} = 1\text{ B}$, $r_1 = r_2 = r = 1\text{ Om}$ và $R_1 = R_2 = R_3 = R = 10\text{ Om}$.

Giả sử rằng các điểm $I_1, I_2$ và $I_3$ có hướng như trong hình 3, mặc dù chúng ta không biết chắc chắn về điều này. Nếu chúng ta sai, các phương trình tương ứng sẽ sửa lại cho chúng ta.*)

Vì điện tích không tích lũy tại các điểm phân nhánh (nút), nên điện tích đi vào nút trong một đơn vị thời gian bằng điện tích rời nút trong cùng thời gian, tức là.

$$I_1 = I_2 + I_3.$$

Chúng ta hãy chọn hai đường viền khép kín đơn giản trong sơ đồ này, chẳng hạn như trái và phải, và chọn hướng đi ngang trong chúng, chẳng hạn như ngược chiều kim đồng hồ. Theo định luật bảo toàn năng lượng, tổng đại số của suất điện động bằng tổng đại số của các phương:

$$\mathcal{C} - \mathcal{C} = I_1R + I_1r + I_2r + I_2R,$$
$$-\mathcal{C} = -I_2R - I_2r + I_3R.$$

Hãy kết hợp các phương trình thu được trong hệ thống và thay thế dữ liệu số bằng các phương trình đơn giản:

$$I_1 = I_2 + I_3,$$
$$10I_1 + I_1 + I_2 + 10I_2 = 0,$$
$$10I_2 + I_2 - 10I_3 = 1.$$

Giải hệ này, ta tìm được

$$I_1 = -\frac{1}{31}A,$$
$$I_2 = \frac{1}{31}A,$$
$$I_3 = -\frac{2}{31}A.$$

Dòng điện thứ nhất và thứ ba hóa ra là âm. Điều này có nghĩa là giả định của chúng tôi về hướng đi của chúng là không chính xác. Chúng tôi đã tìm thấy các giá trị số một cách chính xác và hướng của các dòng điện này ngược lại với hướng được mong đợi.

Bài toán 4. Một vật được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu $v_0 = 25\text{ m/c}$. Sẽ mất bao lâu để nó đạt được độ cao $h = 40\text{ m}$?

Chúng ta hãy viết ra công thức nổi tiếng về tọa độ của một vật được ném thẳng đứng lên trên (chúng ta coi hướng đi lên là dương):

$$h = v_0t - \frac{gt^2}{2}.$$

Giải nó cho $t$, chúng ta nhận được

$$t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}.$$

Tuy nhiên, khi thay thế dữ liệu số, biểu thức dưới gốc là âm. Điều này có nghĩa là gì?

Hóa ra phương trình này, bằng ngôn ngữ riêng của nó, cho chúng ta biết rằng vật thể này hoàn toàn không đạt đến độ cao như vậy. Trên thực tế, chiều cao tối đa của một subbem là $h_{\max} = v_0^2/2g \approx 31,5\text{ m}$, nhỏ hơn $h = 40\text{ m}$.

Thế nên có những lúc một phương trình được “tưởng” một cách bất ngờ, ngoài dự tính.

Bài tập

1. Một đòn bẩy đồng nhất có khối lượng $m = 10\text{ кг}$ được mô tả trên một giá đỡ nằm cách đầu bên trái của nó một khoảng $l_1 = 25\text{ cm}$. Chiều dài đòn bẩy $l = 1\text{ м}$. Một khối lượng $m_1 = 2\text{ кг}$ được treo ở đầu bên trái của đòn bẩy. Cần dùng lực bao nhiêu để tác động xuống đầu bên phải một góc $a = 30^\circ$ so với phương ngang để đòn bẩy cân bằng?

2. Trong nhiệt lượng kế, nơi có $m_1 = 1\text{ кг}$ nước đá ở nhiệt độ $t_1 = 0^\circ\text{C}$, thì có $m_2 = 500\text{ г}$ hơi nước ở nhiệt độ $t_2 = 100^\circ\text{C}$. Sau khi truyền nhiệt xảy ra sẽ đạt nhiệt độ bao nhiêu? Có thể tính được nhiệt dung của nhiệt lượng kế.

3. Một vật được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu $v_0 = 15\text{ m/c}$. Nó sẽ đi được bao xa trong chuyến bay $t = 2\text{ с}$? Gia tốc rơi tự do được coi là bằng $g = 10\text{ m/c}^2$.