Lời giải bài toán M1056—M1060; F1067—F1072

24

shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS). Please print your name and address in BLOCK LETTERS.

M1080. Suppose $q$ is an integer, $q \geqslant 3$. Prove that if $k^2 + k + q$ is simple for all integer $k$, where $0 \leqslant k \leqslant \sqrt{q/3}$ then $k^2 + k + q$ is simple for all integer $k$ satisfying $0 \leqslant k \leqslant q - 2$.

V. F. Lev

P1088. A weightless ladder is fixed to a weightless support, rotating with velocity $f = 10$ rev/min, so that the ladder can oscillate relatively to the upper step (figure Pisc. 2, p. 23). A monkey of mass $m = 30$ kg begins to climb down the ladder. At what distance $l$ from the support will it be, when the vertical position of the ladder ceases to be the equilibrium one?

A. V. Andrianov

P1089. In the flight from the station “Mir” to the station “Salut-7”, which were on the same orbit, our astronauts slowed down their ship, switched to a lower orbit and in time $t = 30$ hours caught up with “Salut-7”, which had been flying $L = 3000$ km ahead of “Mir”. Assuming the orbits circular, find how many kilometers lower the intermediate orbit was than the main one. The altitudes of the orbits are much less than the Earth’s radius $R_E = 6400$ km.

M. V. Semionov

P1090. Look at the sky on a clear, freezing night. What stars scintillate more noticeably — those high up or those nearer the horizon, and why?

A. S. Butov

P1091. A small ball of mass $m$ and charge $q$ hangs by an unstrechable string of length $l$ in the centre of a hoop, along which the charge $Q$ is uniformly distributed (figure Pisc. 3, p. 23). The hoop’s radius is $R$, the charges have the same sign. Determine the frequency of small oscillations of the ball, using the formula $(1+x)^a \approx 1 + ax$ ($x \ll 1$).

G. V. Grigoriev

P1092. Find the position of the image of a point-like object, located at the distance $L$ from plane parallel the front surface of a thick glass plate whose back surface is silvered (figure Pisc. 4, p. 23). The image is viewed perpendicularly to the plate’s surface. The thickness of the plate is $d$, the refraction index is $n$.

V. K. Peterson

Lời giải bài toán
M1056 — M1060*), F1067 — F1072

Hình vuông được chia thành 994 khu vực, như minh họa trong hình: khu vực thứ nhất là ô góc, khu vực thứ hai là ô vuông $3 \times 3$ không có ô góc, khu vực thứ ba là ô vuông $5 \times 5$ không có hai khu vực đầu tiên, v.v. Ở mỗi vùng trong số 993 vùng, bắt đầu từ vùng thứ hai, tổng các số không vượt quá 2. Thật vậy, chúng ta hãy đặt các hình vuông $2 \times 2$ (hình vuông màu đỏ trên hình) trong một vùng như vậy. Ô $A$ sẽ được bao phủ bởi immi hai lần và ô $B$ sẽ không được bao phủ bởi bất kỳ ô vuông nào. Đặt số $a$ ở trong ô $A$ và số $b$ ở trong ô $B$. Theo quy ước, tổng các số trong mỗi ô vuông $2 \times 2$ là 0 nên tổng các số trong vùng này là $b - a$ và do đó không vượt quá 2. Như vậy, tổng các số không vượt quá $1 + 2 \cdot 993 = 1987$.

S. Ivanov (lớp 8, s. sh. Số 239, Leningrad)

*) Những lời giải này được biên soạn dựa trên bài làm của những người tham gia Olympic Toán toàn Liên minh năm nay.

25

M1057. Hai Cerrok lần lượt viết lên bảng các số tự nhiên không vượt quá p. Các quy tắc của cerrok cấm viết ước số của các số đã viết sẵn lên bảng. Tạo ra một cerrok không thể thực hiện một động thái nào khác.
a) Tìm ra con cerrok nào có chiến lược chiến thắng với p=10 và chỉ ra chiến lược đó.
b) Tìm xem con cerrok nào có chiến lược thắng với p=1000.

M1058. Một tập hợp các nút không trống được đánh dấu trên một mạng số nguyên. Ngoài ra, một tập hợp hữu hạn các vectơ có tọa độ nguyên được đưa ra. Được biết, nếu tất cả các vectơ đã cho bị ngắt kết nối khỏi bất kỳ nút bị hủy nào thì giữa các đầu của chúng sẽ có nhiều nút bị hủy hơn các nút không bị hủy. Chứng minh rằng có vô số nút xuất sắc.

M1059. Đồ thị của hàm y=f(x), xác định toàn bộ trục số, biến thành chính nó khi quay một góc π/2 quanh gốc tọa độ.
a) Chứng minh rằng phương trình f(x)=x là duy nhất lời giải.
b) Cho ví dụ về hàm số đó.

a) Đáp số: Người bắt đầu thắng. Nước đi đầu tiên anh ta phải viết là số 6. Sau đó anh ta chỉ viết được các số 4, 5, 7, 8, 9, 10. Chia chúng thành các cặp: (4, 5), (7, 9), (8, 10). Dễ dàng nhận thấy rằng trong đáp số đối với bất kỳ số nào được viết bởi người chơi thứ hai, người đầu tiên sẽ luôn có thể viết được một số ghép đôi.

6. Đáp số: Người khởi đầu thắng. Hãy chứng minh điều này bằng phản chứng. Hãy để người mới bắt đầu không có chiến lược chiến thắng, tức là, đối với bất kỳ nước đi nào của mình, người chơi thứ hai có đáp số, điều này cuối cùng dẫn đến chiến thắng. Đặc biệt, nếu người bắt đầu viết số 1 với nước đi đầu tiên của mình, đối tác của anh ta có thể, như một chiến lược không thể thay đổi, đảm bảo chiến thắng bằng cách viết số n trước tiên. Sau đó, khi viết n ở nước đi đầu tiên, người bắt đầu với chiến lược tương tự sẽ đảm bảo chiến thắng cho mình vì 1 không thể được viết nữa. Tất nhiên, lý do này đúng với mọi p.

D. Ivanov (lớp 8, s. sh. Số 57, Moscow)

Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ trên mặt phẳng, đặt gốc tọa độ của nó tại một trong các nút mạng và hướng trục hoành sang phải và trục thông thường hướng lên trên. Thể tích của tập hợp vectơ này được chia thành hai phần V₁ và V₂. Đối với V₁, chúng tôi bao gồm các vectơ có tọa độ (x, y), trong đó y>0 hoặc y=0 và x>0. Các vectơ còn lại được gọi là V₂. Nếu số lượng nút xuất sắc là hữu hạn, thì trong số đó, bạn có thể chọn nút có nhiều trục hoành nhất trong số các nút có nhiều thứ tự nhất (ngoài cùng bên phải của nút trên cùng). Chúng ta hãy đặt tất cả các vectơ khỏi nó sang một bên (xem hình). Khi đó các đầu vectơ của tập V₁ sẽ rơi vào các nút không thể thay thế được. Theo điều kiện bài toán thì tập V₂ chứa nhiều vectơ hơn V₁. Theo cách tương tự, vẽ đồ thị các vectơ từ ngoài cùng bên trái của các nút xuất sắc nhất, chúng ta thấy rằng có nhiều vectơ trong tập V₁ hơn trong V₂. Mâu thuẫn này cho thấy tập hợp các nút bị hủy là vô hạn.

D. Romanin (lớp 9, Trường Vật lý số 165, NSU, Novosibirsk)

a) Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng f(0)=0. Cho f(0)=a, tức là đồ thị của hàm f chứa điểm (0, a). Sau hai phép quay qua một góc π/2 quanh gốc tọa độ, điểm này sẽ tiến tới điểm (0, -a) (hình 1) và vì nó cũng phải nằm trên đồ thị nên a=-a=0.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng phương trình f(x)=x có thêm một lời giải x=b(b≠0), tức là đồ thị đi qua điểm (b; b). Sau đó, nó cũng đi qua điểm (b; -b), từ (b; b) ta thu được bộ ba bằng cách quay π/2 (hình 1). Nhưng điều này là không thể.

Vì vậy, phương trình f(x)=x luôn có duy nhất lời giải x=0.

6. Hàm yêu cầu có thể được định nghĩa như sau:

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x=0, \\ -x/2 & \text{при } 4^k \leq |x| < 2 \cdot 4^k, \\ 2x & \text{при } 2 \cdot 4^k-1 \leq |x| < 4^k, \end{cases}$$

trong đó k là số nguyên tùy ý (đồ thị trên hình 2).

26

M1060. Có hai đường đứt nét khép kín trên mặt phẳng, mỗi đường có số lẻ zen. Tất cả các đường thẳng chứa zenev của các đường gãy này đều khác nhau và không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng có thể chọn một zen từ mỗi đường đứt đoạn sao cho chúng là các cạnh đối diện của một tứ giác lồi nhất định.

Nếu một trong các liên kết của đường gãy thứ nhất song song với một số zen của đường đứt thứ hai, thì phát biểu bài toán là hiển nhiên (hai zen này là đáy của hình thang). Do đó, chúng ta sẽ giả định thêm rằng không có hai zenin nào có các đường gãy khác nhau song song với nhau.

Đường chứa zeno sẽ được gọi là đường truyền của zeno này. Vì cả hai đường gãy đều bao gồm một số lẻ zenev, nên số $N$ giao điểm của các đường sóng mang của một đường gãy với các đường không hỗ trợ của đường kia là số lẻ.

Giả sử rằng phát biểu bài toán là sai. Khi đó, cho dù bạn chọn một zen trên mỗi đường gãy như thế nào thì giao điểm của các đường thẳng không tồn tại của chúng sẽ nằm trên một trong hai zzen này. Do đó, số $N$ có thể được biểu diễn dưới dạng (số giao điểm của đường đứt nét thứ nhất với các đường phi tuyến tính của đường thứ hai) + (số giao điểm của đường đứt nét thứ hai với các đường phi tuyến tính của đường đứt nét thứ nhất) - (số giao điểm của các đường đứt nét với nhau),
vì số cuối cùng được tính hai lần vào tổng của số đầu tiên. Chúng ta hãy chứng minh rằng mỗi số trong số này, và do đó, số $N$, là số chẵn, mâu thuẫn với những gì đã nói ở trên. Như vậy, bài toán sẽ được giải quyết.

Chúng ta sẽ uốn cong một đường đứt nét theo một hướng nhất định cho đến khi nó ngừng giao nhau với đường kia và xem số lượng giao điểm thay đổi như thế nào. Rõ ràng là nó chỉ có thể thay đổi tại thời điểm khi một số đỉnh $A$ của một trong các đường gãy rơi vào một zeno $l$ nào đó của đường kia. Ví dụ: khi bạn có thể chọn sao cho đỉnh $A$ không thể trùng với đỉnh hoặc điểm tự giao nhau của một đường đứt quãng khác. Khi đó, chỉ cần xét hai trường hợp: khi hai zen xuất hiện từ đỉnh $A$ nằm đối diện nhau của $l$ (hình 1) và trên cùng một phía (hình 2). Trong trường hợp đầu tiên, số lượng giao điểm không thay đổi, trong trường hợp thứ hai, nó tăng hoặc giảm 2. Trong mọi trường hợp, tính chẵn lẻ của nó được giữ nguyên và vì sẽ không có giao điểm ở cuối nên số giao điểm của hai đường đứt nét khép kín là chẵn. Tính chẵn lẻ của số giao điểm của một lo-

28

hình hiển thị các vectơ $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ được định hướng theo các điều kiện $T_1 < T_2$.

Ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ có gốc tọa độ tại điểm va chạm của mảnh số 3. Khi đó sự phụ thuộc thời gian của tọa độ của mảnh thứ nhất và mảnh thứ ba có dạng

$$y_1(t) = H + \frac{1}{2} vt - \frac{gt^2}{2},$$

$$y_3(t) = H - vt - \frac{gt^2}{2}.$$

Vì $y_1(T_2) = 0, y_3(T_1) = 0$, thì từ phương trình (2)

$$0 = H + \frac{1}{2} vT_2 - \frac{gT_2^2}{2}, \quad 0 = H - vT_1 - \frac{gT_1^2}{2}$$

chúng tôi tìm thấy

$$H = g \frac{T_2T_1}{2} \frac{T_1 + 2T_2}{2T_1 + T_2}.$$

Yu. G. Pavlenko

F1069. Một nút thắt có kích thước $a$, được làm từ một thanh chính mỏng, được gắn một vòng mỏng có chiều dài $l$ có ​​gắn một vật nặng nhỏ; yzel được cài đặt theo chiều dọc. Tìm khoảng cách từ tải đến đỉnh góc ở vị trí cân bằng và chu kỳ dao động nhỏ của tải trong mặt phẳng góc.

Hình 1.

Hình 2.

F1070. Một cậu bé thổi bong bóng xà phòng từ một thanh dài thô. Thổi phồng bong bóng, nó nhả ấu trùng ra khỏi miệng, trong khi bong bóng thổi ngược vào ấu trùng và thời gian $t$ cuối cùng biến mất. Sẽ mất bao lâu để xì hơi một bong bóng đầu vào có bán kính lớn hơn theo cách tương tự? Giả sử rằng không khí di chuyển qua lớp thô khá chậm.

Không khí di chuyển qua hạt thô chậm nên lực ma sát có thể coi là tỷ lệ thuận với tốc độ của dòng không khí. Áp suất dư trong bong bóng nhỏ so với áp suất khí quyển nên chúng ta bỏ qua sự thay đổi mật độ không khí trong bong bóng.

Lực ma sát tại bất kỳ thời điểm nào gần như cân bằng lực của áp suất dư và $\Delta p$ tỷ lệ nghịch với bán kính của bong bóng. Sau đó chúng ta có thể viết:

$$v \sim \Delta p \sim \frac{1}{r}, \quad \frac{\Delta V}{\Delta t} \sim \frac{1}{r},$$

29

Lenino, tính chất của màng xà phòng đối với cả hai bong bóng đều giống nhau.

$$\frac{\Delta V}{V} \sim \frac{\Delta t}{r^4}.$$

Nếu chúng ta có hai bong bóng có bán kính $r_1$ và $r_2$, thì tỉ số thời gian mà thể tích của mỗi bong bóng giảm đi một phần nhỏ như nhau là

$$\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4},$$

nhưng đồng thời tỷ lệ bán kính vẫn giữ nguyên, nghĩa là tỷ lệ thời gian biến mất của bong bóng sẽ như nhau. Vì thế,

$$t_2 = 16t_1.$$

D. A. Kuptsov

F1071. Trong sơ đồ ở hình 1, bóng đèn cháy sáng như nhau khi phím K đóng và khi phím K mở; $R_1 = R_3 = 90$ Ohm, $R_2 = 180$ Ohm, $U = 54$ V. Tìm hướng đi của bóng đèn.

Lưu ý rằng điện trở của bóng đèn phụ thuộc vào hướng đặt trên nó: khi điện áp tăng, nhiệt độ của dây tóc tăng và điện trở của bóng đèn tăng. Theo các điều kiện bài toán, độ nóng của ren khi phím đóng và mở là như nhau; do đó, hướng của bóng đèn $U_\pi$ và điện trở của nó $R_\pi$ đều giống nhau trong cả hai trường hợp.

Hình 2 và 3 thể hiện các mạch tương đương khi công tắc đóng và mở. Điện trở của các phần $BC$ và $AC$ —

$$R_{BC} = \frac{RR_3}{R + R_3}, \quad R_{AC} = R_2 + R_{BC}. \tag{1}$$

Thay thế vào (1) các giá trị của điện trở $R_2$ và $R_3$ (tính bằng ohm), ta thu được

$$R_{BC} = \frac{90R}{R + 90}, \quad R_{AC} = \frac{270(R + 60)}{R + 90}. \tag{2}$$

Điện áp trên bóng đèn khi đóng chìa khóa

$$U_\pi = \frac{U}{R_{AC}} R_{BC}.$$

Xét đến (2) và thực tế là $U = 54$ B, chúng ta thu được

$$U_\pi = \frac{18R}{R + 60}. \tag{3}$$

Một phép tính tương tự với phím mở sẽ cho

$$U_\pi = \frac{36R}{R + 150}. \tag{4}$$

Từ phương trình (3) và (4), điện áp trên bóng đèn được tìm thấy:

$$U_\pi = 6 \text{ В.}$$

V. I. Chivilev

F1072. Tại sao sự hiện diện của thành phần siêu phi lê trong quang phổ lại làm giảm độ sắc nét của hình ảnh thu được trên phim ảnh?

Chỉ số lấp đầy thủy tinh và do đó, tiêu cự của vật thể phụ thuộc vào bước sóng của bức xạ. Bằng cách chọn hình dạng và chất liệu của vật thể cũng như khoảng cách tối ưu đến phim, tính năng loại bỏ hiện tượng mờ ảo của hình ảnh khi chụp ảnh sẽ được thêm vào. Các thủ thuật tương ứng không liên quan đến các bước sóng nằm ngoài phần nhìn thấy được của quang phổ. Do đó, sự tiếp xúc của tia siêu di thể với phim chụp ảnh sẽ dẫn đến hiện tượng mờ hình ảnh nói chung. Để khắc phục nhược điểm này, người ta sử dụng các bộ lọc không truyền hình ảnh tia cực tím. Vì lý do tương tự, trên một số vật thể, một tủ khoảng cách riêng biệt được áp dụng để chụp trong phạm vi hồng ngoại.

L. A. Ashkinazu