Решения задач М1056—М1060; Ф1067—Ф1072

24

shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS). Please print your name and address in BLOCK LETTERS.

M1080. Suppose $q$ is an integer, $q \geqslant 3$. Prove that if $k^2 + k + q$ is simple for all integer $k$, where $0 \leqslant k \leqslant \sqrt{q/3}$ then $k^2 + k + q$ is simple for all integer $k$ satisfying $0 \leqslant k \leqslant q - 2$.

V. F. Lev

P1088. A weightless ladder is fixed to a weightless support, rotating with velocity $f = 10$ rev/min, so that the ladder can oscillate relatively to the upper step (figure Pisc. 2, p. 23). A monkey of mass $m = 30$ kg begins to climb down the ladder. At what distance $l$ from the support will it be, when the vertical position of the ladder ceases to be the equilibrium one?

A. V. Andrianov

P1089. In the flight from the station “Mir” to the station “Salut-7”, which were on the same orbit, our astronauts slowed down their ship, switched to a lower orbit and in time $t = 30$ hours caught up with “Salut-7”, which had been flying $L = 3000$ km ahead of “Mir”. Assuming the orbits circular, find how many kilometers lower the intermediate orbit was than the main one. The altitudes of the orbits are much less than the Earth’s radius $R_E = 6400$ km.

M. V. Semionov

P1090. Look at the sky on a clear, freezing night. What stars scintillate more noticeably — those high up or those nearer the horizon, and why?

A. S. Butov

P1091. A small ball of mass $m$ and charge $q$ hangs by an unstrechable string of length $l$ in the centre of a hoop, along which the charge $Q$ is uniformly distributed (figure Pisc. 3, p. 23). The hoop’s radius is $R$, the charges have the same sign. Determine the frequency of small oscillations of the ball, using the formula $(1+x)^a \approx 1 + ax$ ($x \ll 1$).

G. V. Grigoriev

P1092. Find the position of the image of a point-like object, located at the distance $L$ from plane parallel the front surface of a thick glass plate whose back surface is silvered (figure Pisc. 4, p. 23). The image is viewed perpendicularly to the plate’s surface. The thickness of the plate is $d$, the refraction index is $n$.

V. K. Peterson

Решения задач
M1056 — M1060*), Ф1067 — Ф1072

Разобъем квадрат на 994 области, как показано на рисунке: первая область — это угловая клетка, второй — квадрат $3 \times 3$ без угловой клетки, третья — квадрат $5 \times 5$ без первых двух области и так далее. В каждом из 993 области, начиная со второй, сумма чисел не превышает 2. Действительно, поместим в такую область квадраты $2 \times 2$ (красные квадраты на рисунке). Клетка $A$ будет покрыться имми дважды, а клетка $B$ не будет покрыта ни один квадратом. Пусть в клетке $A$ стоит число $a$, в клетке $B$ — число $b$. По условию сумма чисел в каждом квадрате $2 \times 2$ равна 0, так что сумма чисел в этой области равна $b - a$, и следовательно, не превышает 2. Таким образом, сумма чисел не превышает $1 + 2 \cdot 993 = 1987$.

C. Иванов (8 кл., с. ш. № 239, Ленинград)

*) Эти решения составлены на основе работы участников Всесоюзной математической олимпiadы этого года.

25

М1057. Два церрока почередно выписывают на доске натуральные числа, не превозходящие р. Правилами церрок запрещается писать на доске делители уже написанных чисел. Производает церрок, который не может сделать очередной ход.
a) Выяснить, кто из церрок имеет выигрывную стратегию для p=10, и указыть ее.
b) Выяснить, кто из церрок имеет выигрывную стратегию для p=1000.

М1058. На целочисленной решетке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отменного узла отключить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отменных узлов, чем неотменных. Доказать, что отменных узлов бесконечно много.

М1059. График функции y=f(x), определяющий на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на угол π/2 вокруг начала координат.
a) Доказать, что уравнение f(x)=x имеетрово odно решение.
b) Привести пример такой функции.

a) Ответ: выигрывает начинаяющий. Первым ходом он должен писать число 6. После этого можно писать только числа 4, 5, 7, 8, 9, 10. Разобъем их на пары: (4, 5), (7, 9), (8, 10). Легко видеть, что в ответ на любое число, написанное вторым игроком, первый всегда сможет писать парное число.

6. Ответ: выигрывает начинаяющий. Докажем это от противного. Пусть у начинаящего нет выигрывной стратегиии, т. е. на любой его ход у второго игрока есть ответ, ведущий в конце концов к выигрыву. В частности, если начинаяший пишет первым ходом 1, его партнер неотменной стратегией может обеспечить себе выигрывши, написав сначала какое-то число n. Тогда, написав первым ходом n, начинаяший той же стратегией обеспечит выигрывши себе, поскольку 1 уже нельзя будет писать. Конечно, это рассужждение годится для любого p.

Д. Иванов (8 кл., с. ш. № 57, Москва)

Введем на плоскости системы координат, помещив ее начало в один из узлов решетки и направив ось абсцисс вправа, а ось ordinативверх. Разобъем данной набор векторов на две части V₁ и V₂. К V₁ относим векторы с координатами (x, y), где y>0 или y=0, а x>0. Остальные векторы относят к V₂. Если число отменных узлов конечно, то среди их можно выбрать узел, имеющий наиболее абсциссу из всех узлов с наиболее ordinатой (самый правый из самых верхих). Отложим от него все векторы (см. рисунок). Тогда концы векторов множества V₁ попадут в неотменные узлы. По условию задачи отследует, что множество V₂ содержит больше векторов, чем V₁. Точно так же, откладывая векторы от самого левого из самых отменных узлов, получим, что в множество V₁ векторов больше, чем в V₂. Это противоречие показывает, что множество отменных узлов бесконечно.

Д. Румынин (9 кл., ФМШ № 165 при НГУ, Новосибирск)

a) Покажем сначала, что f(0)=0. Пусть f(0)=a, т. е. график функции f содержит точку (0, a). После двух поворотов на угол π/2 вокруг начала координат эта точка перейдет в точку (0, —a) (рис. 1), а поскольку она тоже должна лежать на графике, a=—a=0.

Допустим теперь, что уравнение f(x)=x имеет еще одно решение x=b(b≠0), т. е. график проходит через точку (b; b). Тогда он проходит и через точку (b; —b), получаем из (b; b) трея поворотами на π/2 (рис. 1). Но это невозможное.

Итак, уравнение f(x)=x всегда имеет единственное решение x=0.

6. Искомую функцию можно определить так:

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x=0, \\ -x/2 & \text{при } 4^k \leq |x| < 2 \cdot 4^k, \\ 2x & \text{при } 2 \cdot 4^k-1 \leq |x| < 4^k, \end{cases}$$

где k — произвольное целое число (график на рисунке 2).

26

М1060. На плоскости даны две замкнутые ломаны, каждой с нечетным числом зеневов. Все прямы, содержащие зеневя этих ломаны, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Доказать, что из каждой ломанной можно выбрать по одному зену так, чтобы они были противоположными сторонами неокторого выпуклого четырехугольника.

Если одно из звенев первого ломанной параллельно неокторому зену второй, то утверждение задачи очевидно (эти два зенена — основания трапеции). Поэтому будем в дальнейшем предполагать, что никакие два зенена разных ломанных не параллельны.

Примую, содержащую зено, будем называть несущей прямой этого зенена. Поскольку обе ломанные состояят из нечетного числа зеневов, число $N$ точек пересечения несущих прямых одной ломанной с неусущими прямыми другей нечетно.

Допустим, что утверждение задачи неверно. Тогда, как бы ни выбрать на каждой ломанной по зену, точка пересечения их неусущих прямых будет лежать на одном из этих двух зеневов. Следовательно, число $N$ можно представить как (число пересечений первого ломанной с неусущими прямыми второй) + (число пересечений второй ломанной с неусущими прямыми первой) — (число пересечений ломанных друг с другом),
поскольку последнее число дважды учитывается в сумме первых. Покажем, что каждое из этих чисел, а значит, и число $N$, четно, в противоречие со сказанным выше. Тем самым, задача будет решена.

Будем сдигать одну ломанную в неоктором направлении до тех пор, пока она не перестанет пересечаться с другой, и следить за тем, как меняется число точек пересечения. Ясно, что оно может измениться только в тот момент, когда какая-то вершина $A$ одной из ломанных попадет на неокторое зено $l$ другой. Например, когда можно выборать так, чтобы вершина $A$ не могла совпасть с вершиной или точкой самопересечения другой ломанной. Тогда достаточно рассмотреть два случая: когда два зенена, выходящие из вершины $A$, лежат по разные стороны от $l$ (рис. 1) и по одному сторону (рис. 2). В первом случае число пересечений не меняется, во втором — увеличивается или уменьшается на 2. В любом случае четность его сохранения, и так как в конце пересечения не будет, число точек пересечения двух замкнутых ломанных четно. Аналогично доказывается четность числа пересечения замкнутой ло-

28

На рисунке изображены векторы $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$, ориентированные в соответствии с условиям $T_1 < T_2$.

Введем систему координат с началом в точке падения осокла № 3. Тогда зависимости координат первого и третього осоклов от времени имеют вид

$$y_1(t) = H + \frac{1}{2} vt - \frac{gt^2}{2},$$

$$y_3(t) = H - vt - \frac{gt^2}{2}.$$

Поскольку $y_1(T_2) = 0, y_3(T_1) = 0$, то из уравнений (2)

$$0 = H + \frac{1}{2} vT_2 - \frac{gT_2^2}{2}, \quad 0 = H - vT_1 - \frac{gT_1^2}{2}$$

находим

$$H = g \frac{T_2T_1}{2} \frac{T_1 + 2T_2}{2T_1 + T_2}.$$

Ю. Г. Павленко

Ф1069. На уzel величины $a$, сознутый из тонкого главного стержня, надета лезкая петля длиной $l$ с прикреплением к ней небольшим грузом; уzel установлен вертикально. Найдите расстояние от груза до вершины угла в положении равновесия и перiod малых колебаний груза в плоскости угла.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф1070. Мальчик выдуает из длиной грубки мыльный пузырь. Надуть пузырь, он выпускает грубку из рта, при этом пузырь сдувает обратно в грубку и окончательно исчезает время $t$. За какое время сдуется таким же образом пузырь ввода большшего радиуса? Считать, что воздух движется по грубке достаточно медленно.

Воздух вытекает через грубку медленно, зачит, силу вззкого треня можно считать пропорциональной скорости потока воздуха. Избитьочное давление в пузыре мало по сравнению с атмосферным давлением, поэтому изменением плотности воздуха в пузыре мы пренебрегаем.

Сила вззкого треня в любой момент почти уравновешивает силу избыточного давления, а $\Delta p$ обратно пропорционально радиусу пузыря. Тогда можно записать:

$$v \sim \Delta p \sim \frac{1}{r}, \quad \frac{\Delta V}{\Delta t} \sim \frac{1}{r},$$

29

ленино, свойства мыльной пленки у обих пузырей одинаковы.

$$\frac{\Delta V}{V} \sim \frac{\Delta t}{r^4}.$$

Если у нас есть два пузыря радиусами $r_1$ и $r_2$, то отношения времени, за которые объем каждого из них уменьшится на одну и ту же малую часть —

$$\frac{\Delta t_1}{\Delta t_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4},$$

но при этом отношение радиусов остается тем же, значит, и относение времени исчезновения пузырей будет таким же. Итак,

$$t_2 = 16t_1.$$

Д. А. Купцов

Ф1071. В схеме, указанной на рисунке 1, лампочка горит одинаково ярко как при замкнутом, так и при разомкнутом ключе К; $R_1 = R_3 = 90$ Ом, $R_2 = 180$ Ом, $U = 54$ В. Най-дите направление на лампочке.

Заметим, что сопротивление лампочки зависит от направления на ней: с повышением напряжения увеличается разогрев нити накаливания, и сопротивление лампочки растет. По условиям задачи накаал нити при замкнутом и разомкнутом ключе одинаков; следовательно, направление на лампочке $U_\pi$ и ее сопротивление $R_\pi$ и те же в обих случаях.

На рисунках 2 и 3 показаны эквивалентные схемы при замкнутом и разомкнутом ключе. Сопротивление участков $BC$ и $AC$ —

$$R_{BC} = \frac{RR_3}{R + R_3}, \quad R_{AC} = R_2 + R_{BC}. \tag{1}$$

Подставив в (1) значения сопротивлений $R_2$ и $R_3$ (в омах), получим

$$R_{BC} = \frac{90R}{R + 90}, \quad R_{AC} = \frac{270(R + 60)}{R + 90}. \tag{2}$$

Напряжение на лампочке при замкнутом ключе

$$U_\pi = \frac{U}{R_{AC}} R_{BC}.$$

С учетом (2) и того, что $U = 54$ В, получаем

$$U_\pi = \frac{18R}{R + 60}. \tag{3}$$

Аналогичный расчет при разомкнутом ключе дает

$$U_\pi = \frac{36R}{R + 150}. \tag{4}$$

Из уравнений (3) и (4) находится напряжение на лампочке:

$$U_\pi = 6 \text{ В.}$$

В. И. Чивилёв

Ф1072. Почему наличие ультрафиллетового компонента в спектре ухудшает резкость изображения, получаемого на фотопленке?

Показатель предполнения стекла и, следовательно, фокусное расстояние объекта зависит от длины волны излучения. Выбором формы и материалов объекта и оптимального расстояния до фотопленки добавится практического исключания размытия изображения при фотографировании. Соответствующие ухидрения не касаются длины волны за пределами видимой части спектра. Поэтому попадание ультрафиллетовых лучей на фотопленку приведет к общему размытию изображения. Для борьбы с этим недостатком применяют фильтры, не пропускающие ультрафиллетовое изображение. По той же причине на некоторых объектах наносится отдельная шкафа расстояний для съемки в инфракрасном диапазоне.

Л. А. Ашкинazu