Избранные задачи Ленинградской городской олимпиады по математике
56
Избранные задачи
Ленинградской городской олимпiadы
по математике
1(7). Имеется инструкiment для геометрических построений на плоскости, позволяющий делать следующее:
a) если данные две точки, то можно проведити прохождение через них прямую,
b) если дана прямая и точка на ней, то можно воспользовать перепределкур к этой прямой в этой точке.
Как с помощью этого инструкента опустить перепределкур из данной точки на прямую, не проходящую через эту точку?
Д. Фомин
2(8, 10). Имеется неограниченный запас монет достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 коп. и 1 руб. Известно, что А копеек можно размещать при помощи В монет. Докажите, что тогда В рублей можно размещать при помощи А монет.
Ф. Назаров
3(8). На ветях большого дуба сидит несколько ворон. По сигналу они начинают пересекаивать. Каждый минуту одну из ворон проогонют соседки, сидящие на той же ветке, и эта ворона перелетает на следующее по высоте (более высокую) ветку; если сверху веток нет, ворона улетает. Все ветки расположены на различной высоте. Докажите, что время, через которое проесся закониться (т. е. на каждой ветке будет не более одной вертикали), зависит только от начального расположения ворон, но не от порядка перелетов.
Д. Фомин
4(9). Клетки доски 8×8 раскрашены в шахматном порядке. Разрешается менять местами любые две горизонтали или две любые вертикали. Можно ли при помощи этих операций получить доску, вся лева поливна которой окрашена в черный цвет, а правая поливна — в белый?
В. Уфнаровский
5(9, 10). В точках A и B пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перепределкульрыми. Пусть M — произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM и BM за точку M до пересечения в точках X и Y с окружностью, содержащей M внутри себя. Докажите, что XY — диаметр этой окружности.
Д. Фомин
6(9, 10). Астроном, наблюдая на небе 50 звезд, обнаружил, что сумма всех попарных расстояний между ними равна S. Набежавшее облако заслонило 25 звезд. Докажите, что сумма попарных расстояний между видными звездами меньше S/2.
С. Фомин
7(8, 9). Даны положительные числа a, b, c, d. Докажите, что если cd=1, то на промежутке с концами ab и (a+c)(b+d) найдется по крайней мере один квадрат целого числа:
Л. Курляндчик
8(8). Плоскость разрезали по несколько окружностей, среди которых есть пересекающие. Докажите, что вырезанные при этом из плоскости кусочки не удается сложить в виде нескольких непересекающих кругов.
А. Анджанс
9(9, 10). Восемь неотрицательных вещественных чисел, сумма которых равна 1, расставлены в вершинах куба. Для каждой ребра стоящие в его концах числа переменных. Докажите, что сумма всех полученных таким образом произведений не больше 1/4.
Д. Фомин
10(9). Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, a3, an, …, в которой a1<1987 и ai+1=ai+2 для всех натуральных i. Докажите, что если для некоторого n числа a1—an и a2+an−1 делятся на 1987, то число n нечетно.
С. Генкин
11(10). Дана последовательность действительных чисел x1, x2, … и натуральное число T. Докажите, что если среди всех возможных упорядоченных T — элементы наборов вида (xk+1, xk+2, …, xk+T) имеется не более T различных, то последовательность x1, x2, … перiodична.
И. Лифшич
12(10). Диагонали вписанной четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что
Ф. Назаров
13(10). В n- элементном множестве выделили S подмножества, содержащих A1, A2, …, An элементов соответствующего. Известно, что среди этих подмножества ни одно не содержится в другом. Докажите, что
где
А. Меркурьев
14(10). Неперрывные функции f, g: [0; 1] → [0; 1] обладают тем свойством, что f(g(x))=g(f(x)) для каждой x ∈ [0; 1]. Докажите, что если f возвращает, то f(a)=(a)=a для некоторого a ∈ [0; 1].
Д. Фомин