Задачи М1076—М1080; Ф1088—Ф1092

22

Задчи

M1076 — М1080, Ф1088—Ф1092

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задачи отмечаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 1 марта 1988 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант».
Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 12 — 87» и номера задачи, решения которых вы посылаете, например «M1076» или «Ф1088».
В графе «… адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмеbloжите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения).
Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). В начале каждой письма просим указать номер школа и класс, в котором вы учитель.
Задчи по математике в этом номере предлагались на Международной математической олимпiadе в июле этого года.
Мы разделотить, что две из них принадлежат постоянным автором нашего журнала.

M1076. Биссертиса угла $A$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$, а описанную окружность треугольника — в точке $N$ (отличной от $A$); $K$ и $M$ — основания перпендикуров, опущенных из $L$ на стороны $AB$ и $AC$ (рис. 1). Докажите, что четырехугольник $AKNM$ равновелик треугольнику $ABC$.

И. А. Кушинр

M1077. Пусть $p_n(k)$ — число перестановок множества из $n (n \geq 1)$ элементов, имеющихровно $k$ неподвижных точек. Докажите, что:

a) $\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \dots + n \cdot p_n(n) = n!$

b) $\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!$

При менее ие. Перестановкой конечного множества $S$ называется взаимно однозначное отображение $f$ множества $S$ на себя; число перестановок множества из $n$ элементов равно $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Элемент $a$ множества $S$ называется неподвижной точкой перестановки $f$, если $f(a) = a$.

M1078. Функция $f$ определяна на множестве $N_0$ всех неотрицательных целых чисел и принимает значения в этом множестве. Докажите, что равенство $f(f(n)) = n + 1987$ не может выполнять для всех $n$ из $N_0$.

M1079. Пусть $n$ — натуральное число, $n \geq 3$. Можно ли расположить на плоскости $n$ точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражениями ирациональными числом, а площадь треугольника с вершинами в любых трех — рациональных числом (отличным от нуля)?

M1080. Пусть $q$ — натуральное число, $q \geq 3$. Докажите, что если $k^2 + k + q$ — простое число для всех целых $k$, где $0 \leq k \leq \sqrt{q}/3$, то $k^2 + k + q$ — простое для всех целых $k$, где $0 \leq k \leq q - 2$.

В. Ф. Лев

Ф1088. Невесомая лестница закреплена во врашащшемся со скоростью $f=10$ об/min неевесомом подвеске так, что может свободно качаться относительно верхней ступенки (рис. 2). Обезьяна массой $m=30$ кг начинает спускаться по лестнице. На каком расстоянии $l$ от подвеска она будет находиться, когда вертикальное положение лестницы перестанет быть устойчивым?

А. В. Андрианов

Ф1089. При перелете со станции «Мир» на станцию «Салют-7», которые находились на одной орбите, наши космонавты затормозили свой корабль, перешли на более низкую орбиту и за время $t=30$ часов на гагины «Салют-7», который летел вперед «Мира» на расстоянии $L=3000$ км. Считая орбиты круговыми, определять, на сколько километров промежуточная орбита ниже основной? Высоты орбиты много меньше земли $R_3 \approx 6400$ км.

М. В. Семенов

23

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than March 1st 1988, to the following address: USSR, Moscow, 103006, Москва K-6, ул. Горького, 32/1, Квант. Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate cover; on the envelope write the words: “KVANT’S PROBLEMS” and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an unstamped selfaddressed envelope — we

Ф1090. ЯсноЙ морозной почью посмотрите на небо. Какие звезды мерцают более заметно: нахождения высоко над горизонтом или низко, и почему?

А. С. Бугов

Ф1091. Подвешенный на чертажимой нити длиной $l$ шарик с массой $m$ и зарядом $q$ находится в центре обруча, вдоль которого равномерно распределен заряд $Q$ (рис. 3). Радиус обруча — $R$, заряды $q$ и $Q$ — одноименны. Определить частоту малых колбаний шарика, воспользовавшись формулой $(1+x)^n \approx 1 + \alpha x$ ($x \ll 1$).

Г. В. Григорьев

Ф1092. Найти положение изображения точного объекта, расположенного на расстоянии $L$ от передней поверхности толстой плоскопаралелной стеклянной пластины, посеребренной с задней стороны (рис. 4). Изображение расматривается перпендикулярно к поверхности пластины. Толщина пластины равна $d$, показатель пределления — $n$.

В. К. Петерсон

Problems

M1076 — M1080, P1088 — P1092

M1076. The bisector of angle $A$ in the acute-angled triangle $ABC$ intersects side $BC$ at the point $L$ and the triangle’s incircle at $N$ ($\neq A$); perpendiculars, drawn from $L$ to $AB$ and $AC$, intersect them at $K$ and $M$. Prove that the quadrilateral $AKNM$ has the same area as $ABC$ (see figure Pис. 1)

I. А. Кushnir

M1077. Denote by $p_n(k)$ the number of permutations of an $n$-element set having exactly $k$ fixed points. Prove that

a) $\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = 0 \cdot p_n(0) + 1 \cdot p_n(1) + \ldots + n \cdot p_n(n) = n!$

b) $\sum_{k=0}^{n} (k-1)^2 p_n(k) = n!$

Remark. A permutation of a finite set $S$ is any one-to-one map $f$ of $S$ onto itself; the number of all permutations of an $n$-element set is $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. The element $a$ of the set $S$ is a fixed point of the permutation $f$ if $f(a) = a$.

M1078. The function $f$ is defined on the set $N_0$ of all non-negative integers and ranges over $N_0$. Prove that the relation $f(f(n)) = n + 1987$ cannot hold for all $n$ from $N_0$.

M1079. Suppose $n$ is an integer, $n \geq 3$. Is it possible to choose $n$ points in the plane so that the distance between any two points is irrational, while the area of a triangle with vertices at any three of those points is rational and positive?