Bài toán M2026—M2035; F2033—F2042

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 4 năm 2007 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 1–2007” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2026” hoặc “F2033”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2027–M2030, M2033 đã được trao tại Giải đấu các thành phố XXVIII, bài toán M2031 đã được trao tại Olympic toàn Nga lần thứ II về Hình học mang tên I.F. Sharygin.

Bài toán M2026 – M2035, F2033–F2042

M2026. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA của hình vuông ABCD lần lượt chọn các điểm P, M, N, Q sao cho P MAN $= 45 ^\circ, PM P AN, AM P NQ$. Đoạn thẳng PQ cắt AM và AN lần lượt tại các điểm F và G. Chứng minh rằng diện tích tam giác AFG bằng tổng diện tích của tam giác FMP và GNQ. V.Proizvolov

M2027. Viết ba số tự nhiên x, y, z lên bảng. Petya viết tích của hai số bất kỳ trong số này lên một tờ giấy và lên bảng, anh giảm số thứ ba đi 1. Với ba số mới trên bảng, anh lại thực hiện thao tác tương tự, v.v. cho đến khi một trong các số trên bảng trở thành số 0. Tổng các số trên tờ giấy lúc này sẽ bằng bao nhiêu? E. Gorsky, S. Dorichenko

M2028. Người ta biết rằng kẻ nói dối luôn nói dối, người thật thà luôn nói sự thật, còn người xảo quyệt có thể vừa nói dối vừa nói thật. Bạn có thể đặt những câu hỏi có đáp số “có” hoặc “không” (ví dụ: “Có đúng là người này xảo quyệt không?”). a) Trước mặt bạn có ba kẻ - một kẻ nói dối, một kẻ thật thà và một kẻ xảo quyệt, biết cái nào là cái nào. Làm thế nào bạn có thể tìm ra? b) Trước mặt bạn có bốn người - một người nói dối, một người thật thà và hai người gian xảo (cả bốn người đều biết ai là ai). Chứng minh rằng những người xảo quyệt có thể đồng ý trả lời theo cách mà bạn khi hỏi bốn người này sẽ không biết chắc chắn anh ta là ai. B. Ginzburg, M. Gerver

M2029. Cho hai cấp số vô hạn gồm các số dương: số học và hình học

ical, và bất kỳ số nào xảy ra trong cấp số nhân cũng xảy ra trong cấp số cộng. Chứng minh rằng mẫu số của một cấp số nhân là một số nguyên. B.Frenkin

M2030. Có thể nội tiếp một hình bát diện đều vào một hình lập phương sao cho các đỉnh của hình bát diện đều nằm trên các cạnh của hình lập phương không? L. Radzivilovsky

M2031. Các đường thẳng chứa các đường trung tuyến của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp $\omega$ lần thứ hai tại các điểm $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Các đường thẳng đi qua A, B, C và song song với các cạnh đối diện cắt nhau $\omega$ lần thứ hai tại các điểm $A_{2}, B_{2}, C_{2}$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}$ cắt nhau tại một điểm. A. Zaslavsky

M2032. a) Có số tự nhiên n sao cho với mọi số tự nhiên k ít nhất một trong các số $n^{k} - 1, n^{k} + 1$ có dạng $a^{b}$ với một số số tự nhiên a và b > 1? b*) Ta gọi một số tự nhiên là số nguyên tố nếu nó chia hết cho bình phương của bất kỳ ước nguyên tố nào của nó. Chúng ta gọi hai số tự nhiên là anh em sinh đôi nếu chúng khác nhau 2. Có hữu hạn hay vô số cặp số sinh đôi phản nguyên tố không? V. Người gửi

M2033. Người thuyết trình có một bộ bài gồm 52 lá bài. Khán giả muốn biết các lá bài được xếp theo thứ tự nào (không cần chỉ định, từ trên xuống dưới hoặc từ dưới lên trên). Được phép hỏi người thuyết trình những câu hỏi như “Có bao nhiêu thẻ giữa thẻ này và thẻ kia?” Một trong những khán giả