Bài toán 6—10

29

ĐẾN

M

Sh

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo ở môn lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Gửi Lời giải bài toán trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ điền tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh sự tham gia vào cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu vòng tròn lãnh đạo cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

6. Có 11 quả cân có khối lượng lần lượt là 1 g, 2 g, 4 g,… …, 1024 g. Mỗi trọng lượng được dán nhãn khối lượng tính bằng gam, nhưng các nhãn có thể bị nhầm lẫn. Làm thế nào bạn có thể phát hiện ra sau 10 lần cân trên cân cốc xem có chữ khắc nào không chính xác hay không (không quan trọng là chữ nào)? Liệu có thể thực hiện điều này trong 9 lần cân không? K. Shramov

7. Trong một ngôi sao năm cánh “không đều”, các đường phân giác của các góc tại các đỉnh cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng các đường phân giác của một ngũ giác bên trong cắt nhau tại một điểm. Văn hóa dân gian

8. Gọi một số tự nhiên là số tốt nếu có một tam giác vuông có các cạnh nguyên, một trong hai cạnh bằng a. Tìm tất cả các số tốt. E.Porshnev

9. Chứng minh rằng qua giao điểm các đường trung tuyến của một tam giác không thể vẽ được đường thẳng chia diện tích của tam giác đó theo tỉ lệ 2:1. V. Dotsenko

10. Các đầu của năm mươi đoạn trên trục số đều là các số tự nhiên từ 1 đến 100. Độ dài mỗi đoạn là bội số của 5 và tổng các độ dài đó là 2500. Chứng minh rằng các đoạn thẳng có thể chia thành năm chục sao cho tổng độ dài các đoạn đó bằng 500. V. Proizvolov

Giải đấu mùa hè mang tên A.P. Savin “Toán học 6-8”

Trong một đa giác lồi, tổng các góc tù là $2008^\circ.$ Đa giác này có bao nhiêu cạnh? A. Shapovalov

Từ ngày 26 tháng 6 đến ngày 2 tháng 7 năm 2008, một giải đấu mùa hè gồm các trận đấu toán học mang tên A.P. Savin đã được tổ chức gần thành phố Sudislavl, vùng Kostroma. Đây là giải đấu thứ 14 như vậy và mức độ phổ biến của nó đang tăng lên hàng năm. Đơn vị tổ chức giải đấu là chương trình giáo dục “Big Change” (giám đốc G.V. Kondkov) và trung tâm giải trí “Berendeyevy Polyany”. Chỉ quy mô của cơ sở đã buộc ban tổ chức phải giới hạn ở 32 đội từ lớp 6–9. Ngoài Muscovites, những người chiếm tỷ trọng lớn trong các đội, các đội từ Ivanovo, Kirov, Kostroma, vùng Leningrad, Magnitogorsk, Kharkov và Chernogolovka đã tham gia giải đấu. Các đội được chia thành 5 giải đấu: 4 giải đấu chính theo hạng và một giải đấu khác thống nhất 4 đội còn lại của hạng 6 và 7.

Vào ngày đầu tiên, một trò chơi toán học mới $«Абака»^{1}$ đã được chơi để khởi động, đã thu hút sự quan tâm lớn của các em học sinh. Ngày thứ hai, các em lớn bắt đầu thi đấu vòng tròn tính điểm (5 hiệp), các em nhỏ có đội thi miệng Olympic để chia thành các liên đoàn và 4 hiệp đấu bắt đầu vào ngày hôm sau. Ở giải lớp 9, tình tiết hấp dẫn vẫn kéo dài đến phút cuối cùng: các đội Magnitogorsk (thủ lĩnh N.S. Nikiforova), Kostroma (thủ lĩnh D.A. Kalinin) và “Kvantik-1” đến từ Moscow (thủ lĩnh I.A. Nikolaev) đánh nhau trong vòng tròn và đánh bại 3 đội còn lại. Trận chiến chớp nhoáng đã đưa Kostroma lên vị trí đầu tiên, Quantik-1 lên vị trí thứ 2, bỏ xa Magnitogorsk ở vị trí thứ 3. Ở giải hạng 8, cuộc cạnh tranh bớt gay gắt hơn: với tỷ số cách biệt đáng chú ý, thắng tất cả các trận, đội Eureka đến từ Kharkov (thủ lĩnh A.L. Bershtein) đã giành chiến thắng, vị trí thứ 2 và thứ 3 thuộc về Moscow

1Xem thêm bài viết “Abaka dành cho các nhà toán học” của K. Knop trên báo “Toán học” (“Ngày đầu tháng 9”) số 16/2008.

30

KVANT 2008/№5

đội “L2SH” (tức là lyceum “Trường thứ hai”, người đứng đầu A.G. Kondakova) và phòng tập thể dục 1514 (người đứng đầu L.O. Bychkova). Ở giải hạng 7, bằng cấp 1 thuộc về đội “Moscow-South” (thủ lĩnh T.P. Zorina), bằng cấp 2 thuộc về các đội Kirov (thủ lĩnh N.N. Franceschi) và “2007-B” từ Moscow (thủ lĩnh D.V. Prokopenko), bằng cấp 3 thuộc về các đội vùng Leningrad (thủ lĩnh S.P. Pavlov) và “2007-A” từ Moscow (người đứng đầu O.E. Danchenko). Ở giải hạng 6, đội Kirov (thủ lĩnh M.A. Prokashev) giành bằng cấp 1, đội Kostroma 6-6-6 (thủ lĩnh N.L. Chernyatyev) và đội Trí tuệ Matxcova (thủ lĩnh N.M. Netrusova), cấp 3 thuộc về đội Eureka-1 và Eureka-2 của Kharkov (thủ lĩnh E.L. Arinkina). Một trong những ngày giữa giải đấu được dành cho cuộc thi Olympic miệng cá nhân. Người tham gia được phát một tờ giấy với ba nhiệm vụ. Sau khi giải được một bài, người tham gia nhận được tờ giấy thứ hai với ba bài toán nữa. Giải được bài toán từ mảnh giấy thứ hai, người tham gia nhận được mảnh giấy cuối cùng, thứ ba với ba bài toán nữa. Học sinh lớp 6–7 giải bài toán giống nhau, nhưng bằng các bài kiểm tra riêng. Olympic cá nhân được tổ chức tương tự cho học sinh lớp 8 và lớp 9.

Các vận động viên đoạt giải Olympic cá nhân

Giải Grand Prix đã giành chiến thắng bởi học sinh lớp bảy Vsevolod Gulin (Eureka, Kharkov), em đã dẫn trước những người khác trong Cuộc thi dành cho học sinh cuối cấp 2 bài toán và chia sẻ vị trí đầu tiên trong Cuộc thi dành cho học sinh cuối cấp và học sinh lớp sáu Yulia Grebennikova (Trí thức, Moscow), người dẫn trước các bạn cùng lứa một điểm bài toán.

Evgeniy Glukhov - Kostroma, lớp 9, Semyon Nikolaev - Moscow, “Quantik-1”, lớp 9, Olga Burova - Moscow, “L2Sh”, lớp 8, Sergey Lisichkin - Kharkov, “Eureka”, lớp 8, Maria Sandrikova - Moscow, trường 218, lớp 7, Lev Sinykov – Moscow, “Moscow-South”, lớp 7, Lyubchik Evgeniy – Kharkov, “Eureka-2”, lớp 6, Zverev Ivan – Moscow, “Moscow-South”, lớp 6.

Artem Ziborov - Moscow, trường 218, lớp 9, Mikhail Nozdrin - Magnitogorsk, lớp 9, Denis Pastukh - Moscow, trường 218, lớp 9, Maxim Yatskevich - Moscow, nhà thi đấu 1514, lớp 9, Vilkul Daniil - Moscow, “L2Sh”, lớp 8, Matveevsky Dmitry – Kharkov, “Eureka”, lớp 7 và 8, Logvinov Sergey – Moscow, “Moscow-South”, lớp 7, Baev Budimir – Moscow, “Fractal”, lớp 6, Bakunov Nikita – Kharkov, “Eureka-2”, lớp 6, Gorbunov Dmitry – Moscow, “Trí tuệ”, lớp 6

Bằng cấp III đã được nhận bởi Abrahamyan Levon - Magnitogorsk, lớp 9, Derevitsky Ivan - Magnitogorsk, lớp 9, Lanina Natalya - Moscow, “Quantik-1”, lớp 9, Yatskevich Maxim - Moscow, nhà thi đấu 1514, lớp 9,

Topekha Arthur – Moscow, “Quantik-2”, lớp 9, Zavadsky Dmitry – vùng Leningrad, lớp 8, Ziegler Alexander – Magnitogorsk, lớp 8, Sholokhov Alexander – Ivanovo, lớp 8, Vinogradov Alexey – Moscow, nhà thi đấu 1514, lớp 7, Kotelnikova Daria – Kirov, lớp 7., Mirsky Alexey – Moscow, “Trí tuệ”, Lớp 7., Rakhmatulin Yan – Kirov, lớp 7., Zhabrev Ilya – Vùng Leningrad, lớp 6., Kalashnikov Vadim – Kharkov, “Eureka-1”, lớp 6., Knyazeva Alisa – Kharkov, “Eureka-2”, lớp 6., Koryakin Danil – Kirov, lớp 6, Malygin Vitaly - Kirov, lớp 6, Mizyuk Solomiya - Moscow, trường 2007, lớp 6, Sirotina Anastasia - Moscow, trường 2007, lớp 6.

Học sinh lớp bảy đã được trao bằng tốt nghiệp: Nikita Kozitsyn và Roman Marakulin, cư dân Kirov, Muscovites Irina Bulusheva, Artem Zakirov và Sergey Rafaelov (tất cả đều học từ trường 2007), Denis Buleiko (phòng tập thể dục 1514), Natalya Ostroukhova (trường 218) và Maria Shcherbakova (“Fractal”). Sách và các giải thưởng khác dành cho người chiến thắng được cung cấp bởi các biên tập viên của tạp chí «Kvant», công ty Yandex và Quỹ Giáo dục và Khai sáng Toán học. Việc lựa chọn bài toán và tổng hợp các phương án được thực hiện bởi ủy ban phương pháp của giải đấu: A.L. Bershtein, M.A. Bershtein, A.D. Blinkov, Yu.A. Blinkov, A.S. Gorskaya, N. Grebenik, S.A. Dorichenko, A. Efremov, D. A. Kalinin, P. Martynov, K. Matveev, D. V. Prokopenko, V.A. Người gửi, A.B. Skopenkov, K. Skoptsov, S.I. Tokarev, A.V. Shapovalov.

Yêu thích bài toán của giải đấu

Theo truyền thống có từ những giải đấu đầu tiên, hầu hết các giải đấu bài toán đều mới và độc đáo. Trong số này, chúng tôi đã cố gắng chọn những nơi có, mặc dù là một điều kỳ diệu nhỏ: một chút tuân theo các điều kiện hơn mức có thể mong đợi, hoặc trong lời giải có một sự thay đổi và ngắn gọn bất ngờ. Mỗi bài toán cho biết lớp nào phù hợp nhất và tác giả của nó là ai. Những câu khó bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị, những câu khó đặc biệt được đánh dấu bằng hai dấu hoa thị.

1 (6–7). Một số điểm được đánh dấu trên bề mặt khối Rubik 3 → 3 → 3 sao cho mỗi ô trong số 54 ô vuông, bao gồm cả đường viền của nó, có chính xác một điểm được đánh dấu. Số điểm nhỏ nhất có thể được đánh dấu là bao nhiêu? A. Shapovalov

2 (6–7). Cho một số tự nhiên có các chữ số là số lẻ, trừ một. Có thể chia được cho năm 2008 không? S. Tokarev

3 (6–8). 14 đội tham gia giải bóng chuyền một lượt. Hãy gọi đội thắng số trận lẻ là thú vị và đặc biệt

31

ĐẾN

M

Sh

11 (7–8). Cho hai hình chữ nhật bằng nhau ABCD và AEFG (AB = AE, AD = AG) sao cho điểm G nằm trên đoạn BC. Điểm P là giao điểm của đoạn FG và CD. Chứng minh rằng các đoạn PB và PE bằng nhau. D. Kalinin

12 (7–9). Có 2.000 hiệp sĩ ngồi quanh một chiếc bàn tròn, đại diện cho 999 mệnh lệnh hiệp sĩ, mỗi mệnh lệnh được đại diện bởi một người nào đó. Trong số 1000 hiệp sĩ ngồi thành hàng, có đại diện của không quá 500 mệnh lệnh. Có bao nhiêu hiệp sĩ hạng nhất có mặt tại bàn tròn? Tìm tất cả đáp số có thể và chứng tỏ rằng không có ai khác. K. Matveev

– một đội đã thắng một số trận đấu lẻ trước những trận đấu thú vị. Chứng minh rằng số lệnh đặc biệt là số chẵn. S. Tokarev

13 (7–9). Có số nguyên nào khác 0 $x_{1}, x_{2}, K, x_{2008}$ sao cho x 1 x 2 K x 2008 = ( x 1 + x 2 )( x 2 + x 3 ) K ( x 2008 + x 1 ) không? S. Tokarev, V. Senderov

4 (6–8). Hai người chơi được phát một thẻ có số a và b từ bộ, trong đó mỗi thẻ 1, 2,…, 10 xuất hiện một lần. Mọi người chỉ nhìn thấy số của riêng mình. Người chơi thứ nhất và thứ hai lần lượt gọi các số, mỗi số phải lớn hơn số trước và hiển nhiên (đối với người gọi) chia LOC(a, b). Ai không thể di chuyển sẽ thua cuộc. Có lá bài nào mà Người đầu tiên có thể chắc chắn thắng khi nhận được nó không? A. Shapovalov

14 (7–9). Cho một hình vuông ca rô n ѣ n, trong đó tất cả các ô phía trên đường chéo chính đã bị xóa. Trong mỗi ô của hình còn lại, 0 hoặc 1 được viết và nếu một ô có ghi đơn vị thì các ô liền kề ở bên trái và trên cùng cũng phải có một đơn vị. Có bao nhiêu cách có thể thực hiện được điều này? A. Gorskaya

5 (6–9). Hỏi số quân tượng nhỏ nhất có thể đặt trên bàn cờ 2 N = 2 N để mỗi ô trống được chiếm đúng một lần là bao nhiêu? A. Shapovalov

6 (6–9). Các quân xe được đặt lần lượt trên bàn cờ sao cho mỗi quân xe được đặt sẽ chiếm được (tại thời điểm đặt) một số ô trống chẵn. Số lượng xe lớn nhất có thể được đặt là bao nhiêu? A. Shapovalov

$7^{**}$ (6–9). Có thể bao phủ bề mặt của một khối lập phương mà không bị chồng lên nhau bởi ba hình ngũ giác giống hệt nhau không? S. Tokarev

$8^{*}$ (7–8). Trong tứ giác ABCD $\angle A = 85^\circ, \angle B = 115^\circ, AD =$ BC. Các đường trung trực của các cạnh AB và CD cắt nhau tại điểm M. Tìm $\angle MAB.$ A. Shapovalov

9 (7–8). Số tự nhiên n có thể được thay thế bằng một trong 6 số sau: 3n, 3n + 1, 3n + 2, n/3, (n + 1)/3, (n + 2)/3, với điều kiện số thu được là số nguyên. Chứng minh rằng bằng các phép tính như vậy bạn có thể nhận được số tự nhiên bất kỳ từ số tự nhiên bất kỳ. L.Smirnova

10 (7–8). Căn bậc n của một số có n chữ số bằng tổng các chữ số của số đó (n > 1). Tìm tất cả các giá trị mà gốc này có thể nhận. S.Shestakov

15 (7–9). Đường kính của một hình tam giác là độ dài cạnh dài nhất của nó. Chứng minh rằng mọi tam giác đều có thể chia thành hai tam giác có cùng đường kính. A. Shapovalov

16 (7–9). Cho một bảng gồm 40 hàng và 20 cột. Trong cột đầu tiên, ô thấp nhất được tô bóng, ở cột thứ hai, 3 ô dưới cùng được tô bóng, v.v.; ở cột thứ 20, 39 ô dưới cùng được tô bóng. Hai người chơi lần lượt đặt các quân xe vào các ô vuông có bóng mờ để các quân xe không tấn công lẫn nhau. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Người chơi nào có thể giành chiến thắng dù đối thủ chơi thế nào? K. Matveev

$17^{*}$ (7–9). Số tự nhiên N bằng tích của l số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên nhỏ hơn N đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của nhiều ước tự nhiên khác nhau N. K. Matveev

$18^{*}$ (7–9). Trong hệ thống hành lang được hiển thị ở hình, khoảng cách giữa hai ngã ba liền kề là như nhau. Một con chuột chạy dọc hành lang, có khả năng đạt tốc độ lên tới 7 m/s. Đằng sau con chuột đồng ý-

(Tiếp theo trang 34)