Bài toán M2101—M2110; F2108—F2117

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 1 năm 2009 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 5–2008” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2101” hoặc “F2108”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng là [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2101, M2102 đã được đưa ra ở giai đoạn IV và bài toán M2103 - M2110 - ở giai đoạn V của Olympic toàn Nga lần thứ XXXIV dành cho học sinh môn toán.

Bài toán M2101–M2110, F2108–F2117

2

M2101. Cho tam thức bậc hai f(x) = x + ax + b. Biết rằng với mọi số thực x đều có số thực y sao cho f(y) = f(x) + y. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của a. D. Tereshin

M2102. Các số màu đỏ và xanh được đặt xung quanh vòng tròn. Mỗi số màu đỏ bằng tổng các số lân cận của nó và mỗi số màu xanh bằng một nửa tổng các số lân cận của nó. Chứng minh rằng tổng các số màu đỏ bằng 0. I. Bogdanov

M2103. Cho một bảng n ѣ n, các cột của nó được đánh số từ 1 đến n. Các số 1, 2, …, n được xếp vào các ô của bảng sao cho ở mỗi hàng, mỗi cột tất cả các số đều khác nhau. Chúng ta gọi một ô là tốt nếu số trong ô đó lớn hơn số cột chứa ô đó. Với n nào thì có sự sắp xếp sao cho tất cả các hàng đều có cùng số ô tốt? K. Chuvilin

M2104. Ảo thuật gia đoán diện tích của 2008-giác lồi $A_{1} A_{2} K A_{2008}$ nằm phía sau màn hình. Trong một câu hỏi, anh ta nêu tên hai điểm trên chu vi của đa giác; khán giả đánh dấu những điểm này, vẽ một đường thẳng xuyên qua chúng và cho ảo thuật gia biết diện tích nhỏ hơn trong hai diện tích của phần mà hình vuông năm 2008 được chia bởi đường thẳng này. Trong trường hợp này, với tư cách là một điểm, ảo thuật gia có thể đặt tên cho một đỉnh hoặc một điểm chia cạnh mà anh ta đã chỉ ra trong phần chỉ định

về mặt số học. Chứng minh rằng trong câu hỏi năm 2006, một nhà ảo thuật có thể đoán được diện tích của một đa giác. N. Agakhanov

M2105. Đường tròn $\omega$ tâm O nội tiếp góc BAC và tiếp xúc với các cạnh của nó tại các điểm B và C. Chọn điểm Q bên trong góc BAC. Điểm P được tìm thấy trên đoạn AQ sao cho $AQ \perp OP$. Đường thẳng OP cắt các đường tròn $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ ngoại tiếp hai tam giác BPQ và CPQ, thứ hai tại các điểm M và N. Chứng minh OM = ON. A. Hakobyan

M2106. Với những số tự nhiên nào n > 1 thì có các số tự nhiên $b_{1}, K, b_{n}$ (không phải tất cả đều bằng nhau) sao cho với mọi số tự nhiên k thì số $( b_{1} + k )( b_{2} + k ) K ) K ( b_{n} + k )$ là lũy thừa của số tự nhiên? (Số mũ có thể phụ thuộc vào k, nhưng phải luôn lớn hơn 1.) V. Proizvolov, V. Senderov

M2107. Cho tam giác cân ABC, H và M lần lượt là giao điểm của đường cao và đường trung tuyến. Qua các đỉnh A, B, C lần lượt vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng AM, BM, CM. Chứng minh rằng giao điểm các đường trung tuyến của tam giác tạo bởi các đường thẳng nằm trên đường thẳng MH. L. Emelyanov

M2108. Cho một tập hữu hạn các số nguyên tố P. Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên x sao cho nó có thể biểu diễn dưới dạng $x = a^{p} + b^{p}$ (với tự nhiên