hình học affine

8

KVANT 2009/№1

hình học affine

A. ZASLAVSKY

MẶC DÙ TẤT CẢ TRẺ EM HỌC HÌNH HỌC, ít ai có thể hình dung rõ ràng chính xác những gì chúng đang học. Khi hỏi học sinh câu hỏi này, tôi thường nhận được đáp số những câu như: “Hình học nghiên cứu các tính chất hình học của các hình”. Đồng thời, chuyển sang câu hỏi tiếp theo: “Các hình hình học chính xác có đặc điểm gì?” – đáp số không thể lấy được nữa. Trên thực tế, đối tượng nghiên cứu của hình học truyền thống trong trường học là những tính chất của hình không thay đổi trong quá trình biến đổi tương tự. Ví dụ, hai hình tam giác đều, một trong số đó được vẽ bằng phấn trên bảng đen và hình còn lại bằng bút chì trong vở, đều giống nhau về mặt hình học. Tuy nhiên, điều thú vị là đi sâu hơn

song song), kết quả là hình ảnh của bản vẽ này xuất hiện trên tường. Nếu các mặt phẳng của kính và tường song song, hình ảnh sẽ lặp lại chính xác như hình vẽ, nhưng nếu không thì nó có thể bị biến dạng đáng kể. Ví dụ: các đoạn bằng nhau có thể trở nên không bằng nhau, các giá trị góc không được giữ nguyên, v.v. Tuy nhiên, dễ dàng nhận thấy rằng các thuộc tính sau của hình vẽ vẫn được giữ nguyên trong ảnh. 1. Bất kỳ đường thẳng nào trong hình vẽ đều tương ứng với một đường thẳng trong hình ảnh, và các đường thẳng song song tương ứng với các đường thẳng song song. 2. Tỷ lệ độ dài của các đoạn song song được bảo toàn. 3. Tỷ lệ diện tích của hình bất kỳ với diện tích ảnh của nó là không đổi đối với tất cả các hình. Chúng ta hãy lưu ý một tính chất quan trọng hơn của phép chiếu song song. Phát biểu 1. Mọi tam giác đều có thể biến thành tam giác đều bằng phép chiếu song song. Bằng chứng. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng $\pi$. Lấy mặt phẳng $\pi ¢$ cắt nhau $\pi$ dọc theo đường thẳng AB và tam giác đều ABC¢ nằm trong đó. Rõ ràng phép chiếu $\pi$ lên $\pi ¢$ song song với đường thẳng CC¢ là điều bắt buộc.

Bài tập. Chứng minh rằng bất kỳ tam giác nào cũng có thể biến đổi thành bất kỳ thành phần nào khác (áp dụng tuần tự) của một số hình chiếu song song. Gợi ý. Chứng tỏ rằng thành phần của hai hình chiếu có thể biến đổi một tam giác đều thành một tam giác khác.

các thuộc tính được bảo tồn không chỉ dưới những điểm tương đồng mà còn dưới những biến đổi khác. Trước hết, điều này áp dụng cho cái gọi là phép biến đổi affine, mà chúng ta phải giải quyết ngay cả trong chương trình giảng dạy thông thường ở trường. Ví dụ: khi vẽ một hình khối, chúng ta không cố gắng và sẽ không thể mô tả tất cả các mặt của nó là hình vuông, mà chúng ta vẽ chúng ở dạng hình bình hành, tức là. Thuộc tính thiết yếu đối với chúng ta không phải là sự bằng nhau hay vuông góc của các cạnh của hình lập phương mà là tính song song của chúng.

Phép chiếu song song và các tính chất của nó

Giả sử một số bức vẽ trên kính được chiếu sáng bởi mặt trời (các tia mặt trời được coi là

01_24.p65

Từ Tuyên bố 1, suy ra rằng bất kỳ tính chất nào của một tam giác chỉ liên quan đến tỉ số độ dài của các đoạn thẳng hoặc diện tích song song cũng đủ để chứng minh cho một tam giác thuộc một loại đặc biệt, ví dụ như tam giác đều. Tuyên bố tương tự cũng đúng đối với các hình bình hành, vì người ta có thể cắt mỗi hình bình hành theo đường chéo thành hai hình tam giác bằng nhau và chiếu “một nửa” hình bình hành này thành “một nửa” hình bình hành kia. Đặc biệt, định lý các đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm và chia nhau theo tỉ lệ 2:1 trở nên hoàn toàn hiển nhiên - vì nó chỉ nói về quan hệ của các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng, và các quan hệ này không thay đổi khi chiếu song song nên đủ để chứng minh điều đó cho một tam giác đều. Hãy xem xét một số bài toán. Bài toán 1. Chứng minh rằng giao điểm của các đường chéo của hình thang, giao điểm của các cạnh và tâm của hai đáy cùng nằm trên một đường thẳng. Lời giải. Gọi các cạnh bên của hình thang AB và CD

11

Affine

Hình chiếu trực giao được sử dụng trong bản vẽ có thể được coi là nén so với đường thẳng. Nếu hai mặt phẳng không vuông góc $\pi$ và $\pi ¢$ cắt nhau dọc theo một đường thẳng l, thì tỷ số giữa khoảng cách đến l từ bất kỳ điểm X nào của mặt phẳng $\pi$ và hình chiếu X¢ của nó lên $\pi ¢$ là không đổi. Ngoài ra, hình chiếu của X và X¢ lên l rõ ràng là trùng khớp. Do đó, nếu chúng ta coi $\pi$ và $\pi ¢$ là hai bản sao của cùng một mặt phẳng thì hình chiếu trực giao sẽ là phép nén so với l với hệ số bằng cosin của góc giữa các mặt phẳng. Tuy nhiên, hóa ra bất kỳ phép biến đổi affine nào cũng là sự rút gọn đối với một đường thẳng theo một nghĩa nào đó. Chính xác hơn, định lý sau đây là đúng. Định lý 2. Bất kỳ phép biến đổi affine nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần nén đối với một đường thẳng và độ tương tự. Bằng chứng. Chúng ta hãy lấy một mạng vuông tùy ý trên mặt phẳng. Phép biến đổi affine này biến nó thành một mạng hình bình hành. Nếu những hình bình hành này là hình chữ nhật thì định lý này là hiển nhiên. Ngược lại, xét một số bình phương của mạng OACB. Cho góc A ¢ O ¢ B ¢ nhọn trong hình bình hành tương ứng O ¢ A ¢ C ¢ B ¢. Chúng ta sẽ xoay mạng hình vuông quanh điểm O. Hình bình hành O ¢ A ¢ C ¢ B ¢ sẽ xoay quanh O¢, thay đổi hình dạng của nó. Khi mạng hình vuông quay một góc vuông, điểm A¢ sẽ tiến tới B¢ và B¢ đến đỉnh của hình bình hành kề với O ¢ A ¢ C ¢ B ¢, và góc A ¢ O ¢ B ¢ sẽ trở nên tù (hình6). Vì thế có

Hình 6

giá trị trung gian của góc quay mà tại đó góc đó vuông góc. Mạng hình vuông tương ứng với góc này biến thành hình chữ nhật, điều này chứng minh định lý. Lưu ý rằng việc nén tương ứng với một đường thẳng rất dễ thực hiện bằng cách sử dụng phép chiếu song song được thảo luận ở đầu bài viết. Thật vậy, nếu hướng chiếu vuông góc với đường giao nhau của mặt phẳng kính và tường thì kết quả của phép chiếu sẽ bị nén so với đường này. Bằng cách thay đổi góc giữa các mặt phẳng và hướng chiếu, có thể đảm bảo rằng tỷ lệ nén nhận bất kỳ giá trị nhất định nào. Vì vậy, phép chiếu song song có thể được coi là một ví dụ phổ biến của phép biến đổi affine. bài toán tiếp theo có thể giải dễ dàng bằng cách áp dụng Định lý 2.

01_24.p65

HÌNH HỌC

Bài toán 8. Chứng minh rằng phép biến đổi affine biến một đường tròn cho trước thành một đường tròn là đồng dạng. Lời giải. Chúng ta hãy mô tả một hình vuông xung quanh một hình tròn nhất định và xoay nó để phép biến đổi này biến nó thành hình chữ nhật. Hình tròn, là ảnh của hình đã cho, sẽ nội tiếp trong hình chữ nhật này. Nhưng hình tròn không thể nội tiếp được trong hình chữ nhật không phải hình vuông. Do đó, phép biến đổi này biến một mạng hình vuông thành một hình vuông và do đó, là một sự tương tự. Chúng ta hãy đưa ra hai ví dụ thú vị hơn về các phép biến đổi affine. Chúng ta hãy chọn một hệ tọa độ trên mặt phẳng và xem xét một phép biến đổi lấy một điểm có tọa độ ( x, y ) thành một điểm ( x ¢, y ¢ ), trong đó x ¢ = kx, y ¢ = y k, k > 0. Phép biến đổi này là affine, vì nó có thể được biểu diễn dưới dạng thành phần của hai phép nén đối với các trục tọa độ. Ngoài ra, hiển nhiên xy = x ¢ y ¢. Điều này có nghĩa là bất kỳ hyperbola nào có phương trình xy = c đều đi vào chính nó và bằng cách chọn giá trị của tham số k, bạn có thể chuyển bất kỳ điểm nào của hyperbola sang bất kỳ điểm nào khác (hình7). Do đó, dưới tác động của phép biến đổi này, mỗi hyperbol như vậy dường như tự trượt, giống như chúng tự trượt dưới tác dụng quay quanh gốc tọa độ $окруж-^{Рис.} 7$ với phương trình $x^{2} + y^{2} = R^{2}$. Do đó, phép biến đổi như vậy được gọi là phép quay hyperbol. Bài toán 9. Tiếp tuyến của một hyperbol cắt các trục tọa độ tại các điểm X, Y. Chứng minh diện tích tam giác OXY không phụ thuộc vào điểm tiếp tuyến. Gợi ý. Chứng minh rằng phép quay hyperbol bảo toàn diện tích. Bài toán 10. Một đường thẳng cắt một hyperbol tại các điểm A, B và trục tọa độ tại các điểm X và Y. Chứng minh rằng AX = BY. Lời giải. Sử dụng phép quay hyperbol, chúng ta biến đổi các điểm A, B thành các điểm A¢, B¢, đối xứng qua phân giác của góc XOY. Sau đó, bằng cách sử dụng tính đối xứng đối với đường phân giác, chúng ta hoán đổi các điểm A¢, B¢ và bằng một phép quay hyperbol nghịch đảo, chúng ta chuyển chúng sang các điểm B, A. Kết quả là các đoạn AX và BY sẽ biến đổi thành nhau và mối quan hệ của chúng sẽ được bảo toàn, điều này chỉ có thể thực hiện được nếu AX = BY. Xét trường hợp suy biến của bài toán này, khi đường thẳng tiếp xúc với hyperbol, ta thấy điểm tiếp tuyến chia đôi đoạn XY. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một phép biến đổi lấy điểm ( x, y ) thành điểm ( x ¢, y ¢ ), trong đó x ¢ = x + v 2, y ¢ = vx +

$+ y + v^{2} 4$. Người ta ngay lập tức xác minh rằng phép biến đổi này biến đổi các đường thành các đường và y ¢ $- x ¢^{2} = y - x^{2}$. Do đó, phép biến đổi này bảo toàn parabol với phương trình $y = x^{2} + c$.