Bài toán M2184—M2190; F2190—F2197

19

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này phải được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 11 năm 2010 đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Lời giải bài toán từ các số tạp chí khác nhau hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) hãy gửi vào các phong bì khác nhau. Trên phong bì, ở cột “Tới”, viết: “Bài toán Kvant Số 4–2010” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M2184” hoặc “F2190”. Trong cột “Từ”, vui lòng viết họ và tên của bạn một cách rõ ràng. Trong thư, vui lòng gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn và bộ tem được yêu cầu (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Lời giải bài toán trong toán học và vật lý cũng có thể được gửi đến các địa chỉ email tương ứng là [email protected] và [email protected]. Vui lòng gửi các điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản trong một phong bì riêng thành hai bản cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán Kvant, bài toán mới trong vật lý” hoặc “Bài toán Kvant, bài toán mới trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học. Bài toán M2184–M2186, M2188–M2190 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XXXI. Bài toán F2195 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLIV dành cho học sinh môn vật lý.

Bài toán M2184–M2190, F2190–F2197

M2184. Sau đây đã biết về hàm f(x): bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng tọa độ đều có số điểm chung với đồ thị y = f(x) như với parabol $y = x^{2}$. Chứng minh rằng hàm f(x) bằng $x^{2}$. A. Shapovalov

M2185. Cho một số tự nhiên $n \ge 5$. Người ta biết về kim tự tháp $SA_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ rằng đáy của nó $A_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ là một n-giác đều và tất cả các mặt bên đều là tam giác cân (không nhất thiết phải có đỉnh S). Kim tự tháp này có nhất thiết phải đúng không? G. Galperin

M2186. Nam tước Munchausen yêu cầu nghĩ ra một đa thức P(x) không cố định với các hệ số nguyên không âm và chỉ cho ông ta biết các giá trị của P(2) và P(P(2)). Baron tuyên bố rằng ông luôn có thể xây dựng lại đa thức mong muốn chỉ từ những dữ liệu này. Nam tước có nhầm không? S.Markelov

M2187. Trong tam giác nhọn ABC, các đường cao $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng $A_{1} C_{1}$ và AC cắt nhau tại điểm D. Chứng minh đường thẳng DH vuông góc với đường trung tuyến vẽ từ đỉnh B. S. Ilyasov (học sinh lớp 8, Almaty)

M2188. Chiếc kim nằm trên mặt phẳng. Được phép xoay kim $45^\circ$ xung quanh bất kỳ đầu nào của nó. Liệu bằng cách thực hiện nhiều lượt như vậy, có thể đạt được

để chiếc kim trở về vị trí ban đầu nhưng đồng thời hai đầu của nó bị tráo đổi? A. Gribalko

M2189. Ba mươi ba anh hùng cưỡi ngựa dọc theo đường vành đai ngược chiều kim đồng hồ. Liệu họ có thể lái xe vô thời hạn với nhiều tốc độ không đổi khác nhau nếu chỉ có một điểm trên đường mà các anh hùng có cơ hội vượt nhau? A. Klyachko, E. Frenkel

M2190. Một số tự nhiên được cho. Bạn được phép đặt dấu cộng giữa các chữ số của số một cách tùy ý và tính tổng (ví dụ: từ số 123456789 bạn có thể nhận được 12345 + 6 + 789 = 13140). Với số kết quả, một hoạt động tương tự lại được phép, v.v. Chứng minh rằng từ bất kỳ số nào bạn cũng có thể nhận được một chữ số bằng cách thực hiện không quá 10 phép tính như vậy. A.Tolpygo

F2190. Một hòn đá được ném với vận tốc ban đầu $v_{0} = = 40$ m/s theo góc $\alpha = 30 ^\circ$ so với phương ngang. Tìm vận tốc góc quay cực đại của vectơ vận tốc của hòn đá trong quá trình bay tự do. A.Kamnev

F2191. Trên một chiếc bàn nằm ngang nhẵn có một thanh đèn, ở hai đầu của thanh đèn được buộc những đoạn dây nhẹ ngắn, không giãn (hình1). Để miễn phí

Hình 1