Giải đấu thành phố XXXI

47

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXI

MỤC ĐÍCH CỦA DU LỊCH XUÂN

Tùy chọn cơ bản

các mặt là các tam giác đều, 4 mặt gặp nhau ở mỗi đỉnh.) N. Avilov

lớp 8–9

4 (5). Xem bài toán M2186 “Bài toán Kvant”.

$1 (3)^{1}$. Sáu giỏ đựng lê, mận và táo. Số mận trong mỗi giỏ bằng số táo ở các giỏ còn lại cộng lại, số táo trong mỗi giỏ bằng số lê ở các giỏ còn lại cộng lại. Chứng minh tổng số quả chia hết cho 31. M. Murashkin, A. Shapovalov

5 (6). Xem bài toán M2188 “Bài toán Kvant”.

2 (3). Kid và Carlson đang cắt một chiếc bánh hình vuông. Carlson chọn một điểm trên đó (không phải trên đường viền). Sau đó, Kid thực hiện một đường cắt thẳng từ điểm đã chọn đến cạnh (theo bất kỳ hướng nào). Sau đó, Carlson thực hiện đường cắt thẳng thứ hai từ điểm đã chọn đến cạnh, vuông góc với điểm đầu tiên và đưa mảnh nhỏ hơn trong hai mảnh thu được cho Kid. Đứa trẻ muốn lấy được ít nhất một phần tư cái bánh. Carlson có thể ngăn anh ta lại không? M. Murashkin

3. Góc được vẽ và chỉ có một la bàn. a) (2) Cần vẽ số đường tròn nhỏ nhất để xác định chắc chắn một góc đã cho có nhọn hay không? b) (2) Làm thế nào để xác định một góc cho trước có bằng $31^\circ$ (bạn có thể vẽ bao nhiêu hình tròn tùy thích)? G. Feldman, D. Baranov

4 (5). Trong số những người tham gia Olympic, mọi người đều biết ít nhất ba người khác. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một nhóm chẵn người tham gia (nhiều hơn hai người) và xếp họ ngồi vào một bàn tròn sao cho mọi người đều biết cả hai người hàng xóm. Văn hóa dân gian (do A. Shapovalov đề xuất)

5 (5). Có 101 số được viết trên bảng: $1^{2},2^{2}$, … $,101^{2}$. Trong một thao tác, bạn có thể xóa hai số bất kỳ và thay vào đó viết giá trị tuyệt đối của hiệu chúng. Số nhỏ nhất có thể thu được sau 100 phép tính là bao nhiêu? M. Malkin

lớp 10–11

1 (3). Từ Nam Mỹ đến Nga, năm 2010 tàu chở chuối, chanh và dứa. Số chuối trên mỗi tàu bằng số chanh trên các tàu khác cộng lại, và số chanh trên mỗi tàu bằng số dứa trên các tàu khác cộng lại. Chứng minh tổng số quả chia hết cho 31. M. Murashkin, A. Shapovalov

2 (4). Xem bài toán M2184 “Bài toán Kvant”.

3 (5). Có thể phủ lên bề mặt của một hình bát diện đều bằng một số hình lục giác đều mà không bị chồng lên nhau hoặc có khoảng trống không? (Một bát diện đều có 6 đỉnh, tất cả đều

1 Ở đây và bên dưới, trong ngoặc đơn sau số bài toán, số điểm tối đa được trao cho lời giải của nó được chỉ định.

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1 (3). Có một miếng phô mai. Bạn được phép chọn bất kỳ số dương nào (có thể không phải là số nguyên) $a \ne 1$ và cắt miếng phô mai này theo tỷ lệ 1:a theo trọng lượng, sau đó cắt bất kỳ miếng nào có sẵn theo cùng tỷ lệ, v.v. Có thể tiến hành sao cho sau một số lần cắt hữu hạn, tất cả các miếng phô mai có thể được chia thành hai đống có trọng lượng bằng nhau không? A. Shapovalov

2 (4). Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm cạnh AC, điểm P nằm trên cạnh BC. Đoạn AP cắt BM tại điểm O. Suy ra BO = BP. Tìm tỉ số OM:PC. M. Volchkevich

3. Có 999 số được sắp xếp trên một vòng tròn, mỗi số bằng 1 hoặc –1 và không phải số nào cũng giống nhau. Hãy lấy tất cả tích của 10 số liên tiếp và cộng chúng lại. a) (3) Số tiền nhỏ nhất có thể đạt được là bao nhiêu? b) (3) Cái nào lớn nhất? A.Tolpygo

4 (6). Tổng các chữ số của số tự nhiên n là 100. Tổng các chữ số của số $n^{3}$ có thể bằng $100^{3}$ không? A. Kanel-Belov

5. a) (3) Ba anh hùng cưỡi ngựa đi dọc đường vành đai ngược chiều kim đồng hồ. Liệu họ có thể lái xe vô thời hạn với nhiều tốc độ không đổi khác nhau nếu chỉ có một điểm trên đường mà các anh hùng có cơ hội vượt nhau? b) (5) Nếu có mười anh hùng thì sao? A. Klyachko, E. Frenkel

6 (8). Trên mặt phẳng cho trước một đường đứt nét mở, không tự cắt nhau, trong đó có 31 mắt xích (các mắt xích lân cận không nằm trên cùng một đường thẳng). Qua mỗi mắt xích vẽ một đường thẳng chứa mắt xích này. Chúng tôi đã nhận được 31 cái trực tiếp, một số trong số chúng có thể trùng khớp. Có thể thu được số dòng khác nhau nhỏ nhất là bao nhiêu? A.Tolpygo

7 (11). Trên một số ô vuông của bảng $10 \times 10$ có một con bọ chét. Mỗi phút một lần, bọ chét nhảy đồng loạt, mỗi con nhảy sang lồng liền kề (ở bên cạnh). Con bọ nhảy đúng theo một trong bốn hướng song song với các cạnh của bảng, duy trì hướng đó càng lâu càng tốt, nếu không thì sẽ chuyển sang hướng ngược lại. Con chó Barbos đã quan sát lũ bọ chét trong một giờ và không bao giờ thấy hai con nào ngồi chung một chuồng. Số bọ chét lớn nhất có thể nhảy lên bảng là bao nhiêu? M. Murashkin