Olympic Toán học LXXIII Mátxcơva

48

KVANT 2010/№4

lớp 10 – 11

1 (3). Có thể chia tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng thành các cặp đường vuông góc sao cho mỗi đường thẳng thuộc đúng một cặp không? A. Shapovalov

2. a) (2) Có một miếng pho mát. Cho phép chọn một số vô tỷ a > 0 và cắt miếng này theo tỷ lệ 1: a theo trọng lượng, sau đó cắt bất kỳ miếng nào có sẵn theo cùng tỷ lệ, v.v. Có thể tiến hành sao cho sau một số lần cắt hữu hạn, tất cả các miếng phô mai có thể được chia thành hai đống có trọng lượng bằng nhau không? b) (2) Câu hỏi tương tự nhưng số hữu tỉ dương $a \ne 1$ được chọn. A. Shapovalov

3 (6). Có thể áp dụng các hàm sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg cho số 1 theo thứ tự nào đó để thu được số 2010 không? (Mỗi chức năng có thể được sử dụng bao nhiêu lần tùy thích.) S. Markelov

4 (6). 5.000 người yêu điện ảnh tụ tập tại hội nghị, ai cũng đã xem ít nhất một bộ phim. Họ được chia thành hai loại phần: hoặc họ thảo luận về một bộ phim mà tất cả các thành viên trong phần đó đã xem, hoặc mọi người nói về một bộ phim họ đã xem mà chưa có ai khác trong phần đó xem. Chứng minh rằng có thể chia mọi người thành đúng 100 phần. (Được phép chia sẻ phần của một người: anh ấy viết bài đánh giá về bộ phim mà anh ấy đã xem.) I. Mitrofanov

5 (7). Xem bài toán M2189 “Bài toán Kvant”.

6 (8). Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I. M và N là trung điểm của các cạnh AB và CD. Biết rằng IM/AB = IN/CD. Chứng minh ABCD là hình thang hoặc hình bình hành. N. Belukhov, A. Zaslavsky

7 (9). Xem bài toán M2190 “Bài toán Kvant”.

Vòng miệng lớp 11

1. Xem bài toán M2185 “Bài toán Kvant”.

liên tiếp, bắt đầu từ một). Một nhóm học sinh tham dự buổi sáng ở hội trường 1 và buổi chiều ở hội trường 2, cả hai lần đều chiếm hết chỗ ngồi. Được biết, sảnh thứ nhất có hàng ghế 10 chỗ, còn sảnh thứ hai thì không. Chứng minh rằng có hai học sinh ngồi cùng một hàng trong một buổi học và có cùng số ghế ở buổi học kia. A. Bufetov

3. Cho một đường tròn $\omega_{1}$ bán kính 1 trên mặt phẳng. Một vòng tròn $\omega_{2}$ được dựng trên một trong các dây cung của nó làm đường kính. Trên một trong các dây $\omega_{2}$, cũng như trên đường kính, một đường tròn $\omega_{3}$ được dựng, v.v. Tìm khoảng cách lớn nhất có thể có giữa hai điểm, một điểm thuộc về $\omega_{1}$ và điểm còn lại thuộc về $\omega_{1000000}$. M. Murashkin

4. Xe di chuyển qua bàn cờ $8 \times 8$ mà không đi qua cùng một ô hai lần hoặc nhảy qua các ô. Trong trường hợp này, tất cả các lượt sang phải được thực hiện trong các ô màu đen và sang trái - trong các ô màu trắng. Số lượng tế bào lớn nhất có thể đi qua là bao nhiêu? A. Shapovalov

5. Sasha và Luda đang chơi trò chơi. Sasha phải chế tạo một chiếc 13-gon được mô tả với một bên nhất định và Lyuda muốn ngăn anh ta lại. Đầu tiên, Sasha gọi tên số bên - số k từ 1 đến 13. Sau đó Lyuda đặt độ dài của cạnh này - một số thực dương s. Sasha sẽ thắng nếu bây giờ anh ấy mô tả một 13 giác xung quanh vòng tròn đơn vị, trong đó độ dài cạnh lớn thứ k bằng s. Luda có thể ngăn anh ta lại không? (Một cạnh có kích thước thứ k nếu có k – 1 cạnh không ngắn hơn nó và 13 – k cạnh còn lại không dài hơn nó.) A. Shapovalov

6. Chúng ta hãy biểu thị bằng $[ a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} ]$ tích của tất cả các khác biệt có thể có theo cặp $a_{i} - a_{j}$, trong đó $1 \le i < j \le n$. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ thì số $[ a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} ]$ đều chia hết cho [ 1,2, … ,n]. M. Bershtein

Ấn phẩm được biên soạn bởi S. Dorichenko, L. Mednikov, A. Shapovalov

2. Rạp chiếu phim có hai hội trường với số lượng ghế như nhau. Mỗi hội trường có nhiều hàng (chỗ ngồi ở hàng nào cũng được đánh số

Olympic Toán học LXXIII Mátxcơva

NHIỆM VỤ

lớp 6

1. Các vòng ngang mỏng được vẽ trên ổ xúc xích. Nếu cắt dọc theo vòng màu đỏ sẽ được 5 miếng, cắt dọc theo vòng màu vàng là 7 miếng, cắt dọc theo vòng màu xanh lá cây là 11 miếng. Bạn sẽ nhận được bao nhiêu miếng xúc xích nếu cắt thành các vòng có đủ ba màu? A. Shapovalov

2. Chỉ có yêu tinh và người lùn sống ở Forest Mountain. Người lùn nói dối khi nói về vàng của họ, nhưng mặt khác họ lại nói sự thật. Yêu tinh nói dối khi nói về người lùn, nhưng trong những trường hợp khác, họ nói sự thật. Một ngày nọ, hai cư dân Forest Mountain nói: A: Tôi đã lấy trộm tất cả vàng của mình từ con Rồng. B: Bạn đang nói dối. Xác định xem mỗi người trong số họ là yêu tinh hay thần lùn. I. Raskin

49

Thế Vận Hội

3. Piglet Naf-Naf đã tìm ra cách gấp một hình song song từ các hình khối giống hệt nhau và che nó bằng ba hình vuông mà không có khoảng trống hoặc chồng lên nhau. Làm điều này quá. A. Shapovalov

4. Tại văn phòng đổi tiền, hai loại giao dịch được thực hiện: 1) tặng 2 euro - nhận 3 đô la và một chiếc kẹo làm quà; 2) tặng 5 đô la - nhận 3 euro và một chiếc kẹo làm quà. Khi Buratino giàu có đến quầy đổi tiền, anh ta chỉ có đô la. Khi anh ấy rời đi, số đô la ít hơn, đồng euro không bao giờ xuất hiện nhưng anh ấy nhận được 50 chiếc kẹo. “Món quà” này có giá bao nhiêu đô la Pinocchio? I. Raskin

5. Sasha cắt bàn cờ $8 \times 8$ dọc theo ranh giới của các ô thành 30 hình chữ nhật sao cho các hình chữ nhật bằng nhau không chạm vào cả các góc (hình1). Cố gắng cải thiện thành tích của nó bằng cách cắt bảng thành nhiều hình chữ nhật hơn trong khi vẫn duy trì tình trạng tương tự. A. Shapovalov

Hình 1

6. Có 30 tách trà cách đều nhau trên mép bàn xoay tròn. Thỏ tháng Ba và Chuột sóc ngồi xuống bàn và bắt đầu uống trà từ khoảng hai chiếc cốc (không nhất thiết phải là những chiếc cốc liền kề). Khi uống trà xong, Thỏ lật bàn sao cho trước mặt mỗi người lại có một cốc đầy. Khi những chiếc cốc này đã cạn, Thỏ lại lật bàn (có lẽ sang một góc khác), và một chiếc cốc đầy lại xuất hiện trước mặt mọi người. Và điều này tiếp tục cho đến khi uống hết trà. Chứng minh rằng nếu Thỏ luôn lật bàn sao cho cốc mới của nó đứng liền kề với cốc trước thì chúng cũng có thể uống hết trà (tức là lần nào cả hai cốc cũng sẽ đầy). I. Raskin

lớp 7

1. Yura có một máy tính cho phép bạn nhân một số với 3, thêm 3 vào một số hoặc (nếu số đó chia hết cho 3) chia cho 3. Làm thế nào bạn có thể sử dụng máy tính này để lấy số 11 từ số 1? T. Golenishcheva-Kutuzova

2. Một số bánh xe có nan hoa được đặt trên trục thẳng đứng. Chế độ xem trên cùng được hiển thị ở hình 2,a. Sau đó bánh xe quay. Chế độ xem trên cùng mới được hiển thị trong hình 2, b. Có thể có: a) ba bánh xe; b) hai? T. Golenishcheva-Kutuzova, V. Kleptsyn, I. Yashchenko

4. Cuộc thi hát có sự tham gia của Dậu, Quạ và Cúc. Mỗi thành viên ban giám khảo bình chọn cho một trong ba nghệ sĩ biểu diễn. Chim gõ kiến ​​tính toán rằng có 59 giám khảo trong ban giám khảo, với tổng số 15 phiếu bầu cho Gà trống và Gà trống, 18 phiếu cho Gà trống và Gà trống, và 20 phiếu cho Gà trống và Gà trống. Con chim gõ kiến ​​đếm kém, nhưng mỗi con số trong số bốn con số mà nó đặt tên đều khác với con số đúng không quá 13. Có bao nhiêu giám khảo đã bình chọn cho con Quạ? I. Raskin

5. a) Piglet Naf-Naf đã tìm ra cách gấp một hình song song từ các hình khối giống hệt nhau và che nó bằng ba hình vuông mà không có khoảng trống hoặc chồng lên nhau. Làm điều này quá. b) Naf-Naf có thể đảm bảo rằng hai ô vuông đều giáp nhau không? A. Shapovalov

6. Thật dễ dàng để đặt một nhóm tàu ​​để chơi Battleship trên bảng $10 \times 10$ (hình3). Bảng hình vuông nhỏ nhất mà bộ này có thể được đặt trên là bao nhiêu? (Hãy nhớ rằng theo quy định, tàu thậm chí không được chạm vào các góc.) A. Blinkov

Hình 3

lớp 8

1. CUBE là một khối lập phương. Chứng minh BÓNG không phải là hình lập phương. (CUBE và BALL là các số có ba chữ số, các chữ cái khác nhau biểu thị các số khác nhau.) A. Khachaturian

2. Có 28 đồng xu có cùng kích thước (hình4) được đặt trên bàn theo hình tam giác. Biết rằng tổng khối lượng của ba đồng xu bất kỳ chạm vào nhau theo cặp là 10 g. Tìm tổng khối lượng của tất cả 18 đồng xu trên ranh giới của tam giác. A. Shapovalov

Hình 4

3. Cho tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh AC, điểm P nằm trên cạnh BC. Đoạn AR cắt VM tại điểm O. Hoá ra VO = = BP. Tìm tỉ số OM:RS. M. Volchkevich

4. Xem bài toán M2189 “Bài toán Kvant”.

5. Cho tam giác ABC, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Biết rằng góc AIN là góc vuông. Chứng minh góc BIM cũng đúng.

Hình 2

3. Các em nhỏ ăn kẹo. Mọi người đều ăn ít hơn những người khác 7 viên kẹo nhưng vẫn nhiều hơn một viên. Tổng cộng có bao nhiêu viên kẹo đã được ăn? A. Shapovalov

4. Một số ô của hình vuông $20 \times 20$ có mũi tên theo một trong bốn hướng. Tại đường viền của hình vuông, tất cả các mũi tên chỉ theo chiều kim đồng hồ dọc theo đường viền (hình5). Ngoài ra, các mũi tên trong các ô liền kề (có thể là đường chéo) không trỏ theo hướng ngược nhau.

Hình 5