LXXIII Московская математическая олимпиада

48

КВАНТ 2010/№4

10 – 11 классы

1 (3). Можно ли все прямые на плоскости разбить на пары перпендикулярных прямых так, чтобы каждая прямая входила ровно в одну пару? А.Шаповалов

2. а) (2) Есть кусок сыра. Разрешается выбрать иррациональное a > 0 и разрезать этот кусок в отношении 1: a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса? б) (2) Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное $a \ne 1$. А.Шаповалов

3 (6). Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.) С.Маркелов

4 (6). На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждают фильм, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.) И.Митрофанов

5 (7). См. задачу М2189 «Задачника «Кванта».

6 (8). Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что IM/AB = IN/CD. Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм. Н.Белухов, А.Заславский

7 (9). См. задачу М2190 «Задачника «Кванта».

Устный тур для 11 класса

1. См. задачу М2185 «Задачника «Кванта».

ются подряд, начиная с единицы). Группа школьников побывала на утреннем сеансе в первом зале, а на дневном сеансе – во втором, оба раза заняв все места. Известно, что в первом зале есть ряд из 10 мест, а во втором – нет. Докажите, что найдутся два школьника, которые на одном из сеансов сидели в одном ряду, а на другом – имели одинаковый номер места. А.Буфетов

3. На плоскости дана окружность $\omega_{1}$ радиуса 1. На одной из ее хорд как на диаметре построена окружность $\omega_{2}$. На одной из хорд $\omega_{2}$ как на диаметре построена окружность $\omega_{3}$, и т.д. Найдите наибольшее возможное расстояние между двумя точками, одна из которых принадлежит $\omega_{1}$, а другая принадлежит $\omega_{1000000}$. М.Мурашкин

4. Ладья прошлась по шахматной доске $8 \times 8$, не проходя дважды через одну и ту же клетку и не перепрыгивая через клетки. При этом все повороты направо делались в черных клетках, а налево – в белых. Какое наибольшее число клеток могло быть пройдено? А.Шаповалов

5. Саша и Люда играют в игру. Саша должен построить описанный 13-угольник с одной заданной стороной, а Люда хочет ему помешать. Сначала Саша называет номер стороны – число k от 1 до 13. Затем Люда задает длину этой стороны – действительное положительное число s. Саша выиграет, если опишет теперь вокруг единичного круга 13-угольник, где длина k-й по величине стороны равна s. Может ли Люда ему помешать? (Сторона k-я по величине, если найдутся k – 1 сторон не короче нее и при этом остальные 13 – k сторон не длиннее нее.) А.Шаповалов

6. Обозначим через $[ a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} ]$ произведение всевозможных попарных разностей $a_{i} - a_{j}$, где $1 \le i < j \le n$. Докажите, что для любых натуральных $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ число $[ a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} ]$ делится на [ 1,2, … ,n ]. М.Берштейн

Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников, А.Шаповалов

2. В кинотеатре два зала с одинаковым числом мест. В каждом зале несколько рядов (места в любом ряду нумеру-

LXXIII Московская математическая олимпиада

ЗАДАЧИ

6 класс

1. На батоне колбасы нарисованы тонкие поперечные кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 кусков, если по желтым – 7 кусков, а если по зеленым – 11 кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трех цветов? А.Шаповалов

2. В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про свое золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды два лесогорца сказали: А: Все мое золото я украл у Дракона. Б: Ты лжешь. Определите, эльфом или гномом является каждый из них. И.Раскина

49

ОЛИМПИАДЫ

3. Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы. А.Шаповалов

4. В обменном пункте совершаются операции двух типов: 1) дай 2 евро – получи 3 доллара и конфету в подарок; 2) дай 5 долларов – получи 3 евро и конфету в подарок. Когда богатенький Буратино пришел в обменник, у него были только доллары. Когда ушел – долларов стало поменьше, евро так и не появились, зато он получил 50 конфет. В сколько долларов обошелся Буратино такой «подарок»? И.Раскина

5. Саша разрезал шахматную доску $8 \times 8$ по границам клеток на 30 прямоугольников так, чтобы равные прямоугольники не соприкасались даже углами (рис.1). Попытайтесь улучшить его достижение, разрезав доску на большее число прямоугольников с соблюдением того же условия. А.Шаповалов

Рис. 1

6. На краю круглого вращающегося стола через равные промежутки стояли 30 чашек с чаем. Мартовский Заяц и Соня сели за стол и стали пить чай из каких-то двух чашек (не обязательно соседних). Когда они допили чай, Заяц повернул стол так, что перед каждым опять оказалось по полной чашке. Когда и эти чашки опустели, Заяц снова повернул стол (возможно, на другой угол), и снова перед каждым оказалась полная чашка. И так продолжалось до тех пор, пока весь чай не был выпит. Докажите, что если бы Заяц всегда поворачивал стол так, чтобы его новая чашка стояла через одну от предыдущей, то им бы тоже удалось выпить весь чай (т.е. тоже каждый раз обе чашки оказывались бы полными). И.Раскина

7 класс

1. У Юры есть калькулятор, который позволяет умножать число на 3, прибавлять к числу 3 или (если число делится на 3 нацело) делить на 3. Как на этом калькуляторе получить из числа 1 число 11? Т.Голенищева-Кутузова

2. На вертикальную ось надели несколько колес со спицами. Вид сверху изображен на рисунке 2,а. После этого колеса повернули. Новый вид сверху изображен на рисунке 2,б. Могло ли колес быть: а) три; б) два? Т.Голенищева-Кутузова, В.Клепцын, И.Ященко

4. В конкурсе пения участвовали Петух, Ворона и Кукушка. Каждый член жюри проголосовал за одного из трех исполнителей. Дятел подсчитал, что в жюри было 59 судей, причем за Петуха и Ворону было в сумме подано 15 голосов, за Ворону и Кукушку – 18 голосов, за Кукушку и Петуха – 20 голосов. Дятел считает плохо, но каждое из четырех названных им чисел отличается от правильного не более чем на 13. Сколько судей проголосовали за Ворону? И.Раскина

5. а) Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить параллелепипед из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы. б) А может ли Наф-Наф добиться, чтобы при этом каждые два квадрата граничили друг с другом? А.Шаповалов

6. Легко разместить комплект кораблей для игры в «Морской бой» на доске $10 \times 10$ (рис.3). А на какой наименьшей квадратной доске можно разместить этот комплект? (Напомним, что согласно правилам корабли не должны соприкасаться даже углами.) А.Блинков

Рис. 3

8 класс

1. КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. (КУБ и ШАР – трехзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.) А.Хачатурян

2. На столе в виде треугольника выложены 28 монет одинакового размера (рис.4). Известно, что суммарная масса любой тройки монет, которые попарно касаются друг друга, равна 10 г. Найдите суммарную массу всех 18 монет на границе треугольника. А.Шаповалов

Рис. 4

3. В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО = = ВР. Найдите отношение ОМ: РС. М.Волчкевич

4. См. задачу М2189 «Задачника «Кванта».

5. В треугольнике АВС точка I – центр вписанной окружности. Точки М и N – середины сторон ВС и АС соответственно. Известно, что угол AIN прямой. Докажите, что угол BIM также прямой.

Рис. 2

3. Маленькие детки кушали конфетки. Каждый съел на 7 конфет меньше, чем все остальные вместе, но все же больше одной конфеты. Сколько всего конфет было съедено? А.Шаповалов

4. В некоторых клетках квадрата $20 \times 20$ стоит стрелочка в одном из четырех направлений. На границе квадрата все стрелочки смотрят вдоль границы по часовой стрелке (рис.5). Кроме того, стрелочки в соседних (возможно, по диагонали) клетках не смотрят в противоположных направ-

Рис. 5