Верёвка из паутины

28

КВАНТ 2010/№4

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Найдутся ли 10 разных натуральных чисел, ни одно из которых не является квадратом целого числа, со свойством: а) произведение любых двух из этих чисел является квадратом целого числа; б) произведение любых трех из этих чисел является квадратом целого числа? С.Дориченко

2. Фигура «соты» представляет собой объединение трех равных правильных шестиугольников. Разрежьте эту фигуру на три одинаковые части и сложите из них один правильный шестиугольник. Н.Авилов

3. Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как обычная шахматная ладья. Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в ее цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на черную доску размером $8 \times 8$ клеток. Сможет ли он раскрасить ее в шахматном порядке? Фольклор

4. В прямоугольном треугольнике вписанная окружность касается одной из средних линий. Докажите, что длины сторон этого треугольника относятся друг к другу как 3:4:5. Р.Гордин

5. В числе, являющемся натуральной степенью двойки, переставили цифры. Может ли полученное число оказаться большей натуральной степенью двойки? Фольклор

Веревка из паутины

Д.БАГРОВ

КАЖДЫЙ МОЖЕТ ЛЕГКО СМАХНУТЬ ПАУТИНУ, ВИСЯ- щую между ветками дерева или под потолком в дальнем углу комнаты. Но мало кто знает, что если бы паутина имела диаметр 1 мм, то она могла бы выдержать груз массой приблизительно 200 кг. Стальная проволока того же диаметра выдерживает существенно меньше: 30–100 кг, в зависимости от типа стали. Почему же паутина обладает такими исключительными свойствами? Некоторые пауки прядут до семи типов нитей, каждая из которых имеет собственное назначение. Нити могут использоваться не только для ловли добычи, но и для строительства коконов и парашютирования (взлетая на ветру, пауки могут уходить от внезапной угрозы, а молодые пауки таким способом расселяются на новые территории). Каждый из типов паутины производится специальными железами. Паутина, используемая для ловли добычи, состоит из нескольких типов нитей (рис.1): каркасной, радиальной, ловчей и вспомогательной. Наибольший интерес ученых вызывает каркасная нить: она имеет одновременно высокую прочность и высокую эластичность – именно это сочетание свойств является уникальным. Предельное напряжение на разрыв каркасной нити паука Araneus diadematus составляет 1,1–2,7 ГПа. Для сравнения: предел

29

К

Рис.1. Различные нити в составе паутины: каркасная нить самая прочная, она держит всю паутину в целом; радиальная нить тонкая и не липкая, она поддерживает липкую ловчую нить; вспомогательная спираль помогает расположить ловчую нить

прочности стали 0,4–1,5 ГПа, человеческого волоса $\sim 0,25$ ГПа. В то же время каркасная нить способна растягиваться на 30–35%, а большинство металлов выдерживают деформацию не более 10–20%. Представим себе летящее насекомое, которое ударяется в натянутую паутину. При этом нить паутины должна растянуться так, чтобы кинетическая энергия летящего насекомого превратилась в тепло. Если бы паутина запасала полученную энергию в виде энергии упругой деформации, то насекомое отскочило бы от паутины, как от батута. Важное свойство паутины состоит в том, что она выделяет очень большое количество теплоты при быстром растяжении и последующем сокращении: энергия, выделяемая в единице объема, составляет более 150 МДж $м^{3}$ (сталь выделяет $\sim 6$ МДж $м^{3} ).$ Это позволяет паутине эффективно рассеивать энергию удара и не слишком сильно растягиваться, когда в нее попадает жертва. Паутина или полимеры, обладающие аналогичными свойствами, могли бы стать идеальными материалами для легких бронежилетов. В народной медицине есть такой рецепт: на рану или ссадину, чтобы остановить кровь, можно приложить паутину, аккуратно очистив ее от застрявших в ней насекомых и мелких веточек. Оказывается, паутина обладает кровеостанавливающим действием и ускоряет заживление поврежденной кожи. Хирурги и трансплантологи могли бы использовать ее в качестве материала для наложения швов, укрепления имплантантов и даже как заготовки для искусственных органов. С помощью паутины можно существенно улучшить механические свойства множества материалов, которые в настоящее время применяются в медицине. Итак, паутина – необычный и очень перспективный материал. Какие же молекулярные механизмы отвечают за ее исключительные свойства? Мы привыкли к тому, что молекулы – чрезвычайно маленькие объекты. Однако это не всегда так: вокруг нас широко распространены полимеры, которые имеют длинные молекулы, состоящие из одинаковых или похожих друг на друга звеньев. Все знают, что генетическая информация живого организма записана в длинных молекулах ДНК. Все держали в руках полиэтиленовые пакеты, состоящие из длинных переплетенных молекул полиэтилена. Молекулы полимеров могут достигать огромных размеров.

М

Ш

Например, масса одной молекулы ДНК человека порядка $1,9 \cdot 10^{12}$ а.е.м. (однако это приблизительно в сто миллиардов раз больше, чем масса молекулы воды), длина каждой молекулы составляет несколько сантиметров, а общая длина всех молекул ДНК человека достигает $10^{11}$ км. Важнейшим классом природных полимеров являются белки, они состоят из звеньев, которые называются аминокислотами. Разные белки выполняют в живых организмах чрезвычайно разные функции: управляют химическими реакциями, используются в качестве строительного материала, для защиты и т.д. Каркасная нить паутины состоит из двух белков, которые получили названия спидроинов 1 и 2 (от английского spider – паук). Спидроины – это длинные молекулы с массой от 120000 до 720000 а.е.м. У разных пауков аминокислотные последовательности спидроинов могут отличаться друг от друга, но все спидроины имеют общие черты. Если мысленно вытянуть длинную молекулу спидроина в прямую линию и посмотреть на последовательность аминокислот, то окажется, что она состоит из повторяющихся участков, похожих друг на друга (рис.2). В молекуле чередуются два типа участков: относительно гидрофильные (те, которым энергетически выгодно контактировать с молекулами воды) и относительно гидрофобные (те, которые избегают контакта с водой). На концах каждой молекулы присутствуют два неповторяющихся гидрофильных участка, а гидрофобные участки состоят из множества повторов аминокислоты, называемой аланином. Длинная молекула (например, белок, ДНК, синтетический полимер) может быть представлена как скомканная запутанная веревка. Растянуть ее не составляет труда, потому что петли внутри молекулы могут расправляться, требуя сравнительно небольшого усилия. Некоторые полимеры (например, резина) могут растягиваться на 500% своей начальной длины. Так что способность паутины (материала, состоящего из длинных молекул) деформироваться больше, чем металлы, не вызывает удивления. Откуда же берется прочность паутины? Чтобы понять это, важно проследить за процессом формирования нити. Внутри железы паука спидроины накапливаются в виде концентрированного раствора. Когда происходит формирование нити, этот раствор выходит из железы по узкому каналу, это способствует вытягиванию молекул и ориентации их вдоль направления вытяжки, а соответствующие химические изменения вызывают слипание молекул. Фрагменты молекул, состоящие из аланинов, соединяются вместе и образуют упорядоченную структуру, похожую на

Рис.2. Молекула спидроина и модель ее укладки в волокне