XXXI Турнир городов

47

ОЛИМПИАДЫ

XXXI Турнир городов

ЗАДАЧИ ВЕСЕННЕГО ТУРА

Базовый вариант

грани – равносторонние треугольники, в каждой вершине сходятся 4 грани.) Н.Авилов

8–9 классы

4 (5). См. задачу М2186 «Задачника «Кванта».

$1 (3)^{1}$. В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31. М.Мурашкин, А.Шаповалов

5 (6). См. задачу М2188 «Задачника «Кванта».

2 (3). Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выбирает на нем точку (не на границе). После этого Малыш делает прямолинейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении). Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от выбранной точки до края, перпендикулярный первому, и отдает меньший из получившихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть торта. Может ли Карлсон ему помешать? М.Мурашкин

3. Нарисован угол, и еще имеется только циркуль. а) (2) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым? б) (2) Как определить, равен ли данный угол $31^\circ$ (разрешается проводить сколько угодно окружностей)? Г.Фельдман, Д.Баранов

4 (5). Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из четного числа участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так, чтобы каждый был знаком с обоими соседями. Фольклор (предложил А.Шаповалов)

5 (5). На доске записано 101 число: $1^{2},2^{2}$, … $,101^{2}$. За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности. Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций? М.Малкин

10–11 классы

1 (3). Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы, лимоны и ананасы.Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 31. М.Мурашкин, А.Шаповалов

2 (4). См. задачу М2184 «Задачника «Кванта».

3 (5). Можно ли поверхность правильного октаэдра оклеить несколькими правильными шестиугольниками без наложений и пробелов? (В правильном октаэдре 6 вершин, все

1 Здесь и далее в скобках после номера задачи указано максимальное количество баллов, присуждавшихся за ее решение.

Сложный вариант

8–9 классы

1 (3). Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное (возможно, нецелое) число $a \ne 1$ и разрезать этот кусок в отношении 1: a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса? А.Шаповалов

2 (4). В треугольнике ABC точка M – середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO = BP. Найдите отношение OM: PC. М.Волчкевич

3. На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или –1, причем не все числа одинаковые. Возьмем все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их. а) (3) Какая наименьшая сумма может получиться? б) (3) А какая наибольшая? А.Толпыго

4 (6). Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр числа $n^{3}$ равняться $100^{3}$? А.Канель-Белов

5. а) (3) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга? б) (5) А если богатырей десять? А.Клячко, Е.Френкель

6 (8). На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые из них, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться? А.Толпыго

7 (11). На некоторых клетках доски $10 \times 10$ сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причем каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырех направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске? М.Мурашкин