Kính vạn hoa trong kính vạn hoa

Kính vạn hoa trong kính vạn hoa

Kính vạn hoa «Kvant» số này dành riêng cho… kính vạn hoa! Tên này xuất phát từ các từ tiếng Hy Lạp $\kappa \alpha \lambda ος$ - đẹp, $\varepsilon \iota \delta ος$ - xem, $\sigma \kappa ο\pi \varepsilon \omega$ - nhìn, quan sát. Thiết bị đồ chơi quang học này được phát minh vào đầu thế kỷ 19 và nhanh chóng trở thành trò tiêu khiển được yêu thích ở nhiều nước, trong đó có Nga.

Bên trong ống hình trụ của kính vạn hoa có ba tấm gương hình chữ nhật dài, tạo thành một lăng kính gương. Đằng sau hình tam giác ở đáy lăng kính có một “chèn lấp”. Khi kính vạn hoa quay, nó sẽ rắc nước, tạo ra một bức tranh ngẫu nhiên. Hình ảnh tạo thành trong hình tam giác được phản chiếu trong gương và lấp đầy toàn bộ tầm nhìn bằng một hoa văn đẹp mắt.

Kính vạn hoa thông thường sử dụng gương giống hệt nhau, có nghĩa là hình tam giác ở đáy lăng kính là hình đều.

Hãy phản chiếu một hình tam giác nằm trên một mặt phẳng so với các cạnh của nó, sau đó phản chiếu các hình tam giác mới so với các cạnh thu được, v.v. (mỗi phản xạ tương đương với việc lật hình tam giác). Dần dần, một hình ảnh sẽ xuất hiện, được quan sát trong kính vạn hoa.

34

KVANT 2015/№1

(Để bắt đầu, xem trang 30)

cũng có 2014 điểm khác nhau. Petya viết lên bảng tất cả khoảng cách từ những điểm này đến đường thẳng. Liệu các con số trên bảng có thể tạo thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó không? A. Gribalko

12. Từ 6 que có chiều dài khác nhau, hai hình tam giác có cùng chu vi được gấp lại. Độ dài của các que chênh nhau không quá 7 lần. Có phải luôn luôn có thể cộng hai hình tam giác có chu vi khác nhau từ chúng không? A. Shapovalov

Tổ hợp bài toán

13. Trong hang có 100 bao có khối lượng lần lượt là 1kg và 2kg nằm xếp thành một hàng. Bọn cướp giữ vàng trong một số túi và bạc trong những túi khác. Bên cạnh mỗi túi hai cân có hai túi bạc, bên cạnh mỗi cân có ít nhất một túi bạc. Ali Baba đã lấy hết vàng trong hang. Số vàng lớn nhất mà anh ta có thể nhận được là bao nhiêu? A. Shapovalov

14. Alice và Basilio chia nhau đống 100 chiếc ví thu được, trong đó lần lượt chứa 1, 2, …, 100 miếng vàng. Họ thay phiên nhau, Alice bắt đầu. Trong một lần di chuyển, bạn có thể lấy bất kỳ chiếc ví nào từ đống và lấy nó cho chính mình hoặc đưa cho đối tác của mình. Khi ai đó có 50 ví, người khác sẽ lấy hết số còn lại. Số vàng lớn nhất mà Alice có thể đảm bảo cho mình là bao nhiêu, bất kể Basilio hành động như thế nào? A. Shapovalov

15. Petya đánh dấu 20 chấm đỏ và 20 chấm xanh trên vòng tròn. Sau đó, Vasya vẽ các dây sao cho các đầu của mỗi dây có cùng màu và sao cho các dây này không giao nhau (kể cả ở các đỉnh). Số lượng hợp âm lớn nhất mà Vasya được đảm bảo có thể vẽ được là bao nhiêu, bất kể Petya ghi điểm như thế nào? E. Bakaev

16. Có $n^{3}$ khối đơn vị. Petya sơn chúng bằng hai màu (có thể theo nhiều cách khác nhau), với mỗi cạnh một màu. Vasya sẽ thắng nếu anh ta có thể sử dụng tất cả các hình khối để tạo thành một khối có cạnh n và mỗi mặt cùng màu. Ở mức tối thiểu nào thì Petya sẽ không thể ngăn cản anh ta? A. Shapovalov

17. Mỗi ống nghiệm trong số n ống nghiệm giống hệt nhau chứa không quá một nửa ống nghiệm chứa dung dịch có nồng độ khác nhau. Nhà hóa học biết mọi thứ ở đâu và có thể đổ từ ống nghiệm này sang ống nghiệm khác bất kỳ lượng dung dịch nào anh ta cần (miễn là ống nghiệm không bị tràn). Hỏi số lần truyền máu tối thiểu là bao nhiêu để đảm bảo rằng dung dịch trong mỗi ống nghiệm sẽ có cùng nồng độ (với một số ống nghiệm có thể rỗng)? A. Shapovalov

18. Ở Vương quốc Thiên Bình cong vẹo, những chiếc cân chảo thể hiện sự cân bằng khi khối lượng của tải trọng trên chảo bằng nhau đều bị cấm. Tuy nhiên, với bất kỳ a > 1 nào, cho phép sử dụng các cân có nhánh không bằng nhau, biểu thị trạng thái cân bằng nếu trọng lượng của tải ở đĩa bên trái lớn hơn trọng lượng ở đĩa bên phải một lần. Chỉ có một chiếc cân, Tolya có thể xác định được một trong số 8 đồng xu giả (nhẹ hơn) trong hai lần cân. Giá trị của a trên thang Tolya là bao nhiêu? (Tất cả các đồng tiền thật đều có trọng lượng như nhau.) A. Shapovalov

19. Sáu đội thi đấu một vòng ghi được 10, 7, 6, 6, 3 và 3 điểm. Có bao nhiêu điểm (không nhất thiết phải là số nguyên) cho một trận thắng, nếu hòa 1 điểm và 0 điểm nếu thua? A. Shapovalov

20. Có 14 kỳ thủ tham gia một giải đấu cờ vua. Trong mỗi hiệp, họ được chia ngẫu nhiên thành từng cặp, nhưng hai kỳ thủ đã từng đấu với nhau trước đó không được chơi lần thứ hai. Giải đấu kết thúc khi không thể thực hiện được sự phân chia như vậy. Tìm số chuyến tham quan tối thiểu có thể. A. Blinkov

21. Dải ca rô 1 ¥ n được chia thành các ô đơn lẻ. Có thể sơn các cạnh của ô bằng ba màu để khi ném ra các đoạn màu bất kỳ, dọc theo các đoạn còn lại có thể đi từ đỉnh này sang đỉnh khác không? A. Shapovalov

22. Andrey đã vẽ một số ô của hình vuông 100 ¥ 100. Sau đó, anh ta được phép tô màu các ô theo quy tắc sau: nếu ba ô được sơn thành hình vuông 2 ¥ 2 thì anh ta sơn ô thứ tư. Hỏi ban đầu Andrey phải vẽ số ô nhỏ nhất để sau này có thể sơn toàn bộ hình vuông là bao nhiêu? A.Garkavy

23. Bàn vuông 5 ¥ 5 chứa đầy các con số. Petya đã sắp xếp lại các cột của mình để không còn cột nào ở nguyên vị trí. Trong bảng kết quả, Vasya đã sắp xếp lại các hàng để không còn hàng nào còn nguyên. Kết quả là bảng gốc. Số lớn nhất có thể có của các số khác nhau trong đó là bao nhiêu? B.Frenkin

24. Có một quân xe vô hình trên bàn cờ ¥100. Trong một câu hỏi, bạn có thể chỉ định bất kỳ tập hợp ô nào và tìm hiểu xem có bao nhiêu ô trong số đó bị quân xe bắt giữ. Cần bao nhiêu câu hỏi như thế này để biết chắc chắn vị trí của quân Xe? (Người ta coi quân Xe chạm vào ô vuông nơi nó đứng.) A. Shapovalov

Ấn phẩm được biên soạn bởi L. Mednikov, A. Gribalko

45

TOÁN HỌC

C > 0 sao cho tổng các số ở cột bất kỳ không nhỏ hơn C và tổng các số ở hàng bất kỳ không lớn hơn C. Khi đó có thể chọn một ô có số dương trong mỗi cột để các ô được chọn sẽ ở các hàng khác nhau. Vì vậy, có thể chọn đại diện của các cột từ các ô có số dương. Thực tế là các số không âm rất quan trọng: đối với các số tùy ý, câu lệnh bài toán 4a là sai. Hãy kiểm tra nó. Vấn đề kinh điển về người đại diện là bài toán về đám cưới. Bài toán 5. Xét một tập hữu hạn các chàng trai, mỗi người biết một số cô gái. Câu hỏi đặt ra là, với những điều kiện nào thì nam thanh niên có thể kết hôn để mỗi người cưới một cô gái mà mình quen biết? Định lý (Philip Hall, 1935). Lời giải bài toán về đám cưới tồn tại khi và chỉ khi bất kỳ K chàng trai nào trong một nhóm N chàng trai nhất định đều quen thuộc với ít nhất K cô gái $( 1 \le K \le N ).$ Nhu cầu này là hiển nhiên. Nếu một số chàng trai K biết ít hơn K cô gái thì một số người trong số họ sẽ không tìm được người phù hợp. Ta hãy chứng minh tính đủ bằng phản chứng. Gọi N là số tự nhiên nhỏ nhất mà định lý sai. Rõ ràng là N > 1. Có thể là mọi K chàng trai $( 1 \le K < N )$ đều biết nhiều hơn K cô gái, hoặc có thể có một tập hợp con K chàng trai biết chính xác K cô gái. Trong trường hợp đầu tiên, chàng trai đầu tiên có thể cưới bất kỳ cô gái nào anh ta biết, và khi đó điều kiện của định lý vẫn được thỏa mãn đối với những chàng trai và cô gái còn lại. Thật vậy, hãy để mọi chàng trai K biết nhiều hơn K cô gái. Một trong những cô gái này có thể đã kết hôn với chàng trai đầu tiên. Nhưng không có cô ấy thì các chàng trai cũng biết ít nhất K cô gái. Điều này có nghĩa là sau khi kết hôn của bất kỳ cặp vợ chồng nào cũng còn lại N - 1 bé trai và M - 1 bé gái (trong đó M là số bé gái ban đầu), thỏa mãn điều kiện của định lý. Nhưng N là nhỏ nhất nên định lý này sai, nghĩa là tất cả thanh niên đều có thể kết hôn. Trong trường hợp thứ hai, có K chàng trai biết chính xác K cô gái. Vì K < N nên chúng ta có thể gả những chàng trai này cho những cô gái này. Hãy chứng minh rằng những thanh niên còn lại cũng có thể kết hôn. Xét một tập con tùy ý gồm N – K thanh niên còn lại. Hãy để L thanh niên trong đó. Khi đó, theo định lý, K chàng trai đã kết hôn cộng với chàng trai L này biết ít nhất K + L cô gái. Vì K chàng trai đã có gia đình không quen với những cô gái chưa chồng nên những chàng trai L còn lại phải quen ít nhất L những cô gái chưa chồng. Điều này có nghĩa là đối với N – K thanh niên còn lại, điều kiện của định lý được thỏa mãn và họ sẽ có thể kết hôn. Định lý đã được chứng minh. Định lý Hall cho phép chúng ta giải bài toán 4 theo cách khác. Hãy gọi học sinh là nam và nữ phục vụ đĩa. Chúng ta hãy coi những người quen của cậu học sinh là những chiếc đĩa đặt miếng bánh mà cậu học sinh mang đến. Điều kiện của định lý Hall được thỏa mãn, vì bất kỳ K học sinh nào cũng mang ít nhất K kg bánh nướng và chúng sẽ cần ít nhất K đĩa. Định lý (D. Koenig, 1931). Cho một bảng hình chữ nhật, trong đó có các ô chứa số 1 và số 0. Một dòng trong bảng đề cập đến cả một hàng và một cột của bảng này. Khi đó, số dòng tối thiểu chứa tất cả các đơn vị bằng số lượng đơn vị tối đa có thể được chọn sao cho trong số chúng không có hai đơn vị nào nằm trên cùng một dòng. Có nhiều cách trực tiếp để chứng minh định lý Koenig nhưng sử dụng định lý Hall sẽ dễ dàng hơn. Hãy để tôi –

VÒNG TRÒN

số dòng tối thiểu chứa tất cả các dòng đơn vị và M là số lượng dòng đơn vị tối đa, không có hai dòng nào nằm trên cùng một dòng. Rõ ràng là $m \ge M$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $m \le M$. Giả sử độ bao phủ tối thiểu của m dòng bao gồm r hàng và s cột, trong đó r + s = m. Vì việc sắp xếp lại hàng và cột không ảnh hưởng đến m và M nên chúng ta có thể sắp xếp lại hàng và cột sao cho đường bao phủ là r hàng và s cột đầu tiên. Hãy gọi r hàng đầu tiên của bảng là bé trai và bé gái là các cột có số lớn hơn s (hình 2). Một chàng trai và một cô gái sẽ được coi là người quen nếu có một đơn vị ở giao điểm của hàng và cột tương ứng. Các điều kiện của định lý Hall được thỏa mãn do số lượng dòng tối thiểu, nếu không, một số K hàng phủ sóng có thể được thay thế bằng K – 1 cột và tất cả các cột sẽ bị gạch bỏ. Vì vậy, có thể kết hôn với nam thanh niên, tức là chọn một người ở mỗi hàng đầu tiên sao cho không có hai người nào nằm cùng một cột và không có ai nằm ở cột s đầu tiên. Lập luận tương tự, chúng ta có thể chọn s đơn vị trong s cột đầu tiên nằm ở các hàng khác nhau và không nằm ở r hàng đầu tiên. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được sự tồn tại của m đơn vị, trong đó không có hai đơn vị nào

Hình 2

rykh không nằm trên cùng một đường. Do đó, $m \le M$, và chứng minh hoàn tất. Ngược lại, định lý Hall lại tiếp nối định lý König. Thật vậy, cho một bảng gồm M hàng và N cột chứa các số trong ô nếu chàng trai đánh số cột quen với cô gái đánh số hàng. Rõ ràng là tất cả các đơn vị trong bảng như vậy không thể gạch bỏ dưới N dòng, vì sau khi gạch bỏ K cột trong N – K cột còn lại sẽ còn lại các đơn vị trong ít nhất N – K hàng.

Bài toán dành cho độc lập lời giải

1. Trên bàn cờ $8 \times 8$ 16 ô vuông được đánh dấu sao cho trên mỗi hàng dọc và mỗi hàng ngang có hai ô vuông được đánh dấu. Chứng minh rằng có thể đặt 8 quân trắng và 8 quân đen vào các ô đã đánh dấu sao cho trên mỗi đường dọc và một đường ngang đều có một quân trắng và một quân đen. 2. Học sinh giải bài toán theo vòng tròn. Hóa ra mỗi câu giải được 4 bài toán và mỗi câu bài toán được giải bởi bốn học sinh. Chứng minh rằng có thể tổ chức phân tích bài toán sao cho mỗi học sinh nói đúng một bài toán và tất cả bài toán đều được phân tích. 3. Cho mỗi chàng trai biết ít nhất m cô gái, mỗi cô gái biết không quá m chàng trai (m là tùy ý)

(Tiếp theo trang 53)