Giải đấu thành phố XXXVI

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XXXVI

MỤC ĐÍCH CỦA DU LỊCH MÙA THU (2014)

Tùy chọn cơ bản

lớp 8 – 9

1. (3) Có 99 que có độ dài 1, 2, 3,…, 99. Có thể dùng chúng để tạo thành đường viền của một hình chữ nhật không? E. Bakaev

1

2. Có phải có mười số tự nhiên phân biệt từng cặp sao cho trung bình số học của chúng lớn hơn ước số chung lớn nhất của chúng: a) (2) đúng sáu lần; b) (2) chính xác là năm lần? I. Akulich

3. (5) Điểm K trên cạnh AB của hình vuông ABCD và điểm L trên cạnh BC sao cho KB = LC. Các đoạn AL và CK cắt nhau tại điểm P. Chứng minh rằng các đoạn DP và KL vuông góc. E. Bakaev

4. (5) Xem bài toán M2366 “Bài toán Kvant

5. Cho N tam giác vuông. Họ chọn một chân trong mỗi chân và tìm tổng chiều dài của chúng, sau đó tìm tổng chiều dài của các chân còn lại và cuối cùng, tìm tổng chiều dài của tất cả các cạnh huyền. Hóa ra ba số tìm được là độ dài các cạnh của một tam giác vuông nào đó. Chứng minh rằng mọi tam giác ban đầu đều có cùng tỷ lệ cạnh lớn và cạnh nhỏ nếu: a) (2) N = 2; b) (3) N – bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn 1. E. Bakaev

lớp 10 – 11

1. a) (1) Xem bài toán 2,a dành cho lớp 8–9. b) (2) Xem bài toán 2, b dành cho lớp 8–9.

2. (4) Các đỉnh của tam giác được dán nhãn A, B, C theo chiều kim đồng hồ. Tam giác được xoay tuần tự theo chiều kim đồng hồ: đầu tiên quanh đỉnh A một góc bằng $\angle A$, sau đó quanh đỉnh B một góc bằng $\angle B$, v.v. theo một chu kỳ (mỗi lần thực hiện phép quay quanh vị trí hiện tại của đỉnh tiếp theo). Chứng minh rằng sau sáu lần quay tam giác sẽ ở vị trí ban đầu. V. Rastorguev

3. (5) Cho 15 số nguyên, không có số nào giống hệt nhau. Petya viết lên bảng tất cả các số tiền có thể có của 7 số này, và Vasya viết ra tất cả các số tiền có thể có của 8 số này. Có thể nào họ viết những dãy số giống nhau lên bảng? (Nếu một số nhất định được lặp lại nhiều lần trong bộ của Petya thì bộ của Vasya phải lặp lại số lần đó.) I. Bogdanov

4. (5) Xem bài toán 5, b cho lớp 8–9.

1 Trong ngoặc đơn sau số bài toán số điểm tối đa được trao cho lời giải được biểu thị. Kết quả được tổng hợp dựa trên ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất.

5. (5) Có một đống đồng bạc trên bàn. Mỗi hành động hoặc thêm một đồng vàng và ghi số đồng bạc lên tờ giấy đầu tiên, hoặc lấy đi một đồng bạc và ghi số đồng tiền vàng lên tờ giấy thứ hai. Kết quả là chỉ còn lại những đồng tiền vàng trên bàn. Chứng minh rằng tại thời điểm này tổng các số ở tờ thứ nhất bằng tổng các số ở tờ thứ hai. E. Bakaev

Tùy chọn phức tạp

lớp 8–9

1. (4) Cho một bảng hình vuông. Trong mỗi ô của nó có một điểm cộng hoặc một điểm trừ và có số lượng điểm cộng và điểm trừ bằng nhau. Chứng minh rằng có hai hàng hoặc hai cột có số điểm cộng bằng nhau. B.Frenkin

2. (5) Xem bài toán M2367 “Bài toán Kvant”.

3. (6) Xem bài toán M2370 và “Bài toán Kvant”.

4. (7) Có 25 trạm kiểm soát định kỳ trên đường vành đai, mỗi trạm đều do một cảnh sát quản lý. Các cảnh sát được đánh số theo thứ tự nào đó từ 1 đến 25. Yêu cầu họ băng qua đường sao cho mỗi đồn đều có một cảnh sát, nhưng theo chiều kim đồng hồ sau số 1 có số 2, sau số 2 có số 3,…, sau số 25 có số 1. Chứng minh rằng nếu tổ chức vượt đường sao cho tổng quãng đường đi được là nhỏ nhất thì một người cảnh sát sẽ ở lại đồn của mình. E. Bakaev

5. (8) Xem bài toán M2368 “Bài toán Kvant”.

6. (8) Gọi một số tự nhiên ngay cả khi tất cả các chữ số của nó giống nhau (ví dụ: 4, 111, 999999). Chứng minh rằng mọi số có n chữ số đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của nhiều nhất n + 1 số chẵn. A. Shapovalov

7. Trang web có dạng lưới ca rô gồm các nút $100 \times 100$ (nói cách khác, đó là lưới gồm các ô $99 \times 99$). Ở một góc nào đó của nó có một con nhện và ở khoảng 100 nút có những con ruồi bị mắc kẹt trên mạng. Trong quá trình di chuyển, con nhện có thể di chuyển đến bất kỳ nút nào gần nó. Liệu một con nhện có thể được đảm bảo ăn hết ruồi nếu chi không quá: a) (5) 2100 lần di chuyển; b) (5) 2000 nước đi? I. Bogdanov

lớp 10–11

1. (4) Xem bài toán M2367 “Bài toán Kvant”.

2. (5) Xem bài toán 4 cho lớp 8–9.

3. (6) Xem bài toán M2369 “Bài toán Kvant”.

4. (7) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm $A ', B ', C '$